ملخص الإحصاء تالتة ثانوي مقاييس متقدمة في الإحصاء

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الساق والأوراق: نرتب البيانات تصاعديًا، فتكون الورقة هي رقم الآحاد (أصغر منزلة) والساق هو بقية العدد. نرسم خطًا رأسيًا نكتب يساره الساق ويمينه الأوراق، وتُكرر الورقة بعدد مرات ظهورها، وتُرتب الأوراق تصاعديًا، ونضيف مفتاحًا يوضح القراءة (مثال: ١٣ = ١|٣ تعني ١٣).
• التمثيل المزدوج: ساق مشتركة لمجموعتين، أوراق الأولى على يمين الساق وأوراق الثانية على يسارها، ويُستخدم للمقارنة بين مجموعتين.
• مزايا الساق والأوراق: تحتفظ بالبيانات الأصلية (بخلاف الجداول التكرارية)؛ عيبها: لا تناسب مجموعات البيانات الكبيرة.
• المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة.
• الربيعات: ثلاث قيم تقسم البيانات المرتبة إلى أربعة أقسام متساوية:
  • الربيع الأدنى ر₁: يسبقه ربع البيانات (٢٥٪) ويليه ثلاثة أرباعها.
  • الربيع الأوسط ر₂ = الوسيط: يسبقه نصف البيانات.
  • الربيع الأعلى ر₃: يسبقه ثلاثة أرباع البيانات (٧٥٪).
• الصندوق ذو العارضتين: تمثيل بالقيم الخمس مرتبة: أصغر قيمة، ر₁، الوسيط، ر₃، أكبر قيمة؛ ويحتوي الصندوق (من ر₁ إلى ر₃) ٥٠٪ من البيانات.
• نصف المدى الربيعي: مقياس تشتت = (ر₃ − ر₁) ÷ ٢.

القوانين والنظريات والقواعد

رتب الربيعات للبيانات المفردة (ن عدد البيانات)

رتبة ر₁ = (ن + ١) ÷ ٤ ، رتبة ر₂ = (ن + ١) ÷ ٢ ، رتبة ر₃ = ٣(ن + ١) ÷ ٤

• إذا كان (ن + ١) يقبل القسمة على ٤ فالربيع هو إحدى قيم البيانات مباشرة (بعد الترتيب التصاعدي).
• إذا لم يقبل القسمة، (ن زوجي أو فردي): قيمة الربيع = القيمة السابقة + (القيمة التالية − القيمة السابقة) × (رتبة الربيع − رتبة القيمة السابقة).

الربيعات من جدول تكراري

رتبة ر₁ = ن ÷ ٤ ، رتبة ر₂ = ن ÷ ٢ ، رتبة ر₃ = ٣ن ÷ ٤
الربيع = بداية فئة الربيع + [(رتبة الربيع − التكرار المتجمع الصاعد عند بداية الفئة) ÷ تكرار الفئة] × طول الفئة

نكوّن الجدول المتجمع الصاعد، ثم نحدد فئة الربيع (التي تحوي الرتبة).

الربيعات بيانيًا

نرسم المنحنى المتجمع الصاعد، نحدد الرتب (ن/٤ ، ن/٢ ، ٣ن/٤) على المحور الرأسي، ونرسم من كل رتبة خطًا أفقيًا حتى يقطع المنحنى، وإسقاط نقطة التقاطع على المحور الأفقي يعطي قيمة الربيع.

نصف المدى الربيعي

ع = (ر₃ − ر₁) ÷ ٢

ملاحظة: مميزاته: مناسب عند وجود قيم شاذة وسهل الحساب؛ عيبه: لا يأخذ جميع القيم في الاعتبار.

أمثلة محلولة

مثال ١ (بيانات مفردة، ن + ١ يقبل القسمة على ٤): البيانات ٢٣ ، ٧ ، ١٦ ، ٢ ، ٤ ، ٥ ، ١ ، ٢١ ، ١٥ ، ٢٢ ، ١٤ ، ١١ ، ١٠ ، ٩ ، ٣. بعد الترتيب: ١ ، ٢ ، ٣ ، ٤ ، ٥ ، ٧ ، ٩ ، ١٠ ، ١١ ، ١٤ ، ١٥ ، ١٦ ، ٢١ ، ٢٢ ، ٢٣. ن = ١٥ فـ (ن+١) = ١٦ تقبل القسمة على ٤. رتبة ر₁ = ٤ فـ ر₁ = ٤ ، رتبة ر₂ = ٨ فـ ر₂ = ١٠ ، رتبة ر₃ = ١٢ فـ ر₃ = ١٦.

مثال ٢ (استكمال بالتناسب): أعمار ١٠ أشخاص مرتبة: ١٢ ، ١٣ ، ٢٠ ، ٢٢ ، ٢٢ ، ٢٤ ، ٢٥ ، ٢٥ ، ٣١ ، ٣٣. رتبة ر₁ = ١١ ÷ ٤ = ٢٫٧٥ فـ ر₁ = ١٣ + (٢٠ − ١٣)(٢٫٧٥ − ٢) = ١٨٫٢٥. رتبة ر₂ = ٥٫٥ فـ ر₂ = ٢٢ + (٢٤ − ٢٢)(٠٫٥) = ٢٣. رتبة ر₃ = ٨٫٢٥ فـ ر₃ = ٢٥ + (٣١ − ٢٥)(٠٫٢٥) = ٢٦٫٥.

مثال ٣ (جدول تكراري): عدد ساعات العمل لـ ٥٠ عاملًا: الفئات ٢٢– ، ٢٧– ، ٣٢– ، ٣٧– ، ٤٢– ، ٤٧– بتكرارات ٩ ، ٣ ، ١٠ ، ٨ ، ١٢ ، ٨ (طول الفئة ٥). المتجمع الصاعد عند الحدود ٢٧ ، ٣٢ ، ٣٧ ، ٤٢ ، ٤٧ ، ٥٢ هو ٩ ، ١٢ ، ٢٢ ، ٣٠ ، ٤٢ ، ٥٠.

• رتبة ر₁ = ١٢٫٥ تقع في الفئة ٣٢– : ر₁ = ٣٢ + (١٢٫٥ − ١٢) ÷ ١٠ × ٥ = ٣٢٫٢٥.
• رتبة ر₂ = ٢٥ تقع في الفئة ٣٧– : ر₂ = ٣٧ + (٢٥ − ٢٢) ÷ ٨ × ٥ = ٣٨٫٨٧٥.
• رتبة ر₃ = ٣٧٫٥ تقع في الفئة ٤٢– : ر₃ = ٤٢ + (٣٧٫٥ − ٣٠) ÷ ١٢ × ٥ = ٤٥٫١٢٥.

مثال ٤ (نصف المدى الربيعي): مساحات ٦٠ مزرعة مزروعة ذرة، الفئات ١٥– ، ٢٠– ، … ، ٤٠– بتكرارات ٣ ، ٩ ، ١٥ ، ١٨ ، ١٢ ، ٣: ر₁ = ٢٥ + (١٥ − ١٢) ÷ ١٥ × ٥ = ٢٦ ، ر₃ = ٣٥ ، فنصف المدى الربيعي = (٣٥ − ٢٦) ÷ ٢ = ٤٫٥ هكتار.

مثال ٥ (من الساق والأوراق): درجات ١٥ طالبًا ر₁ = ٦٥ ، ر₃ = ٨٠ فنصف المدى الربيعي = (٨٠ − ٦٥) ÷ ٢ = ٧٫٥.

مثال ٦ (الصندوق): درجات ١٥ طالبًا: أصغر قيمة ١٥ ، ر₁ = ٣٢ ، الوسيط ٤٠ ، ر₃ = ٤٩ ، أكبر قيمة ٥٨؛ فيرسم الصندوق من ٣٢ إلى ٤٩ بخط عند ٤٠، وعارضتان إلى ١٥ و ٥٨.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• عدم ترتيب البيانات تصاعديًا قبل تعيين الربيعات.
• الخلط بين رتبة الربيع وقيمته.
• في الجدول التكراري: استخدام رتبة (ن+١)/٤ بدل ن/٤.
• نسيان طرح التكرار المتجمع عند بداية الفئة، أو استخدام طول الفئة الخطأ.
• في الساق والأوراق: عدم تكرار الورقة بعدد مرات ظهورها، أو نسيان المفتاح.
• اعتبار الصندوق يمثل كل البيانات، وهو يمثل ٥٠٪ منها فقط.

قائمة المراجعة

• [ ] أمثل البيانات بالساق والأوراق مع المفتاح.
• [ ] أستخدم التمثيل المزدوج للمقارنة.
• [ ] أحسب المدى لكل مجموعة.
• [ ] أعرف معنى ر₁ ، ر₂ ، ر₃.
• [ ] أحسب رتب الربيعات للبيانات المفردة.
• [ ] أميز حالة (ن+١) تقبل القسمة على ٤.
• [ ] أطبق قانون الاستكمال عند الرتب الكسرية.
• [ ] أنشئ الجدول المتجمع الصاعد وأحدد فئة الربيع.
• [ ] أطبق قانون الربيع للجدول التكراري.
• [ ] أجد الربيعات من المنحنى المتجمع الصاعد.
• [ ] أرسم الصندوق ذا العارضتين بالقيم الخمس.
• [ ] أحسب نصف المدى الربيعي وأقارن به بين مجموعتين.

جميع القوانين دفعة واحدة

المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة
بيانات مفردة: رتبة ر₁ = (ن+١)/٤ ، ر₂ = (ن+١)/٢ ، ر₃ = ٣(ن+١)/٤
الربيع = السابقة + (التالية − السابقة) × (رتبة الربيع − رتبة السابقة)
جدول تكراري: رتبة الربيع = ن/٤ ، ن/٢ ، ٣ن/٤
الربيع = بداية الفئة + [(الرتبة − المتجمع السابق) ÷ تكرار الفئة] × طول الفئة
نصف المدى الربيعي = (ر₃ − ر₁) ÷ ٢