ملخص الإحصاء تالتة ثانوي المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• المتغير العشوائي: دالة مجالها فضاء العينة ف ومجالها المقابل مجموعة الأعداد الحقيقية ح، ورمزه س: ف ← ح، وهو يقسم فضاء العينة إلى أحداث متنافية. مثال: عند رمي عملة ثلاث مرات إذا كان س عدد مرات ظهور الصورة فإن مدى س = {٠ ، ١ ، ٢ ، ٣}.
• المتغير العشوائي المتقطع: مداه مجموعة منتهية (يمكن عدّها) من الأعداد الحقيقية، مثل عدد حوادث السيارات في أسبوع.
• المتغير العشوائي المتصل: مداه فترة من الأعداد الحقيقية (مجموعة غير قابلة للعد)، مثل درجة الحرارة المتوقعة أو طول لاعب.
• التوزيع الاحتمالي لمتغير متقطع: الدالة د(سر) = ل(س = سر)، ويُكتب في جدول. شرطاه: د(سر) ≥ ٠ لكل ر، ومجموع الاحتمالات = ١.
• مقياس التشتت النسبي (معامل الاختلاف): نسبة الانحراف المعياري إلى المتوسط، ويصلح للمقارنة بين مجموعتين مختلفتين في الوحدات أو المتوسطات.
• تجربة برنولي: تجربة لها ناتجان فقط (نجاح أو فشل).

القوانين والنظريات والقواعد

التوقع (المتوسط)

μ = Σ سر × د(سر) = س١·د(س١) + س٢·د(س٢) + … + سن·د(سن)

التباين والانحراف المعياري

σ² = Σ سر² × د(سر) − μ²   ،   σ = √(σ²)

ملاحظة: التباين والانحراف المعياري كميتان موجبتان دائمًا.

معامل الاختلاف

معامل الاختلاف = (σ ÷ μ) × ١٠٠٪

كلما قل معامل الاختلاف كانت المجموعة أكثر تجانسًا.

التوزيع الهندسي: س ~ هندسي (ح)

شروطه: محاولات مستقلة، لكل محاولة ناتجان، ثبات احتمال النجاح ح، والتوقف عند أول نجاح. س = رقم المحاولة التي يحدث فيها أول نجاح.

ل(س = ن) = ح (١ − ح)^(ن−١) ، ن = ١ ، ٢ ، ٣ ، …
μ = ١ ÷ ح   ،   σ² = (١ − ح) ÷ ح²
ل(س > ن) = (١ − ح)^ن

توزيع ذي الحدين: س ~ ذو حدين (ن ، ح)

شروطه: محاولات مستقلة، ناتجان لكل محاولة، ثبات احتمال النجاح ح، وعدد محدد من المحاولات ن.

ل(س = ر) = ⁿCر × ح^ر × (١ − ح)^(ن−ر)   (حيث ⁿCر عدد التوافيق)
μ = ن × ح   ،   σ² = ن × ح × (١ − ح)

دالة كثافة الاحتمال (متغير متصل)

شرطاها: د(س) ≥ ٠ لكل س في مجالها، والمساحة تحت المنحنى فوق محور السينات = ١. ويكون ل(أ < س < ب) = المساحة المحصورة تحت المنحنى بين س = أ و س = ب (باستخدام مساحة المستطيل أو المثلث أو شبه المنحرف = ½ (مجموع القاعدتين المتوازيتين) × الارتفاع).

أمثلة محلولة

مثال ١ (إيجاد ثابت): د(س) = (ك + ٢س) ÷ ٢٤ ، س = ٠ ، ١ ، ٢ ، ٣. مجموع الاحتمالات = (ك + ك+٢ + ك+٤ + ك+٦) ÷ ٢٤ = ١ ⇒ ٤ك + ١٢ = ٢٤ ⇒ ك = ٣. التوزيع: ٣/٢٤ ، ٥/٢٤ ، ٧/٢٤ ، ٩/٢٤.

مثال ٢ (التوقع): س = −١ ، ٠ ، ١ ، ٢ ، ٣ باحتمالات ٠٫٣ ، ٠٫١ ، ٠٫١ ، أ ، ٠٫٢ ⇒ أ = ٠٫٣. μ = −٠٫٣ + ٠ + ٠٫١ + ٠٫٦ + ٠٫٦ = ١.

مثال ٣ (التوقع والتباين ومعامل الاختلاف): صندوق به ٦ بطاقات: بطاقتان ٢ وثلاث بطاقات ٣ وبطاقة ١١. التوزيع: ١/٣ ، ١/٢ ، ١/٦. μ = ٢/٣ + ٣/٢ + ١١/٦ = ٤. Σس²د = ٤/٣ + ٩/٢ + ١٢١/٦ = ٢٦. σ² = ٢٦ − ١٦ = ١٠ ، σ = √١٠ ≈ ٣٫١٦ ، معامل الاختلاف ≈ (٣٫١٦ ÷ ٤) × ١٠٠ ≈ ٧٩٪.

مثال ٤ (المقارنة): متوسط درجات التاريخ ٧٠ بانحراف ٧، والجغرافيا ٩٦ بانحراف ٨. معامل الاختلاف للتاريخ = ١٠٪ وللجغرافيا ≈ ٨٫٣٪، فامتحان الجغرافيا أكثر تجانسًا.

مثال ٥ (هندسي): س ~ هندسي (٠٫٤): ل(س = ٢) = ٠٫٤ × ٠٫٦ = ٠٫٢٤ ؛ ل(س > ٤) = (٠٫٦)⁴ = ٠٫١٢٩٦ ؛ ل(س = ٦) = ٠٫٤ × ٠٫٦⁵ ≈ ٠٫٠٣١١. وفي قرص من ٨ أقسام احتمال العدد الأولي ح = ٤/٨ = ٠٫٥ فاحتمال أن يستغرق الأمر أكثر من ٤ مرات = (٠٫٥)⁴ = ٠٫٠٦٢٥، والتوقع ١ ÷ ٠٫٥ = ٢.

مثال ٦ (ذو الحدين): فريق يفوز باحتمال ٠٫٦ ويلعب ٧ مباريات: ل(الفوز في ٤ فقط) = ٣٥ × ٠٫٦⁴ × ٠٫٤³ = ٠٫٢٩٠٣٠٤. ورمي عملة ١٥ مرة: ل(٥ صور) = ¹⁵C₅ ÷ ٢¹⁵ = ٣٠٠٣ ÷ ٣٢٧٦٨ ≈ ٠٫٠٩١٦. وإذا ظهرت أعراض جانبية لـ ١٠٪ من الأطفال فمن ١٥٠ طفلًا المتوقع μ = ١٥٠ × ٠٫١ = ١٥ طفلًا.

مثال ٧ (كثافة): د(س) = (٢س − ١) ÷ ٦ ، ١ < س < ٣ : د(١) = ١/٦ ، د(٣) = ٥/٦ فمساحة شبه المنحرف = ½ (١/٦ + ٥/٦) × ٢ = ١ فهي دالة كثافة. ل(س < ٢) = ½ (١/٦ + ٣/٦) × ١ = ١/٣ ، ل(س > ٢٫٥) = ½ (٤/٦ + ٥/٦) × ٠٫٥ = ٣/٨.

مثال ٨ (إيجاد ثابت في الكثافة): د(س) = (٢س + ك) ÷ ٢٤ ، ١ < س < ٤: المساحة = ½ [(٢+ك)/٢٤ + (٨+ك)/٢٤] × ٣ = ١ ⇒ ك = ٣. ل(س > ٣) = ½ (٩/٢٤ + ١١/٢٤) × ١ = ٥/١٢.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان أن مجموع الاحتمالات = ١ عند إيجاد ثابت في التوزيع.
• حساب التباين دون طرح μ².
• تفسير ل(س > ن) في الهندسي على أنه مجموع احتمالات وحسابه خطأً؛ الصحيح (١ − ح)^ن.
• في ذي الحدين: نسيان معامل التوافيق ⁿCر.
• الخلط بين ن (عدد المحاولات) و ر (عدد النجاحات).
• في المتصل: ل(س = أ) = ٠، فلا فرق بين < و ≤.
• مقارنة التشتت بالانحراف المعياري عند اختلاف الوحدات؛ الأنسب معامل الاختلاف.

قائمة المراجعة

• [ ] أكتب مدى المتغير العشوائي وأميز المتقطع من المتصل.
• [ ] أكتب التوزيع الاحتمالي في جدول.
• [ ] أتحقق من شرطي التوزيع الاحتمالي.
• [ ] أحسب ثابتًا مجهولًا من مجموع الاحتمالات = ١.
• [ ] أحسب التوقع μ = Σ س·د(س).
• [ ] أحسب التباين σ² = Σ س²·د(س) − μ².
• [ ] أحسب الانحراف المعياري ومعامل الاختلاف.
• [ ] أطبق ل(س = ن) = ح(١−ح)^(ن−١) في الهندسي.
• [ ] أطبق μ = ١/ح و σ² = (١−ح)/ح² للهندسي.
• [ ] أطبق قانون ذي الحدين وأحسب ⁿCر.
• [ ] أطبق μ = ن·ح و σ² = ن·ح(١−ح).
• [ ] أحسب احتمالات المتغير المتصل بالمساحة.

جميع القوانين دفعة واحدة

د(سر) ≥ 0 ، Σ د(سر) = 1
μ = Σ س·د(س)
σ² = Σ س²·د(س) − μ² ، σ = √σ²
معامل الاختلاف = σ/μ × 100%
هندسي: ل(س = ن) = ح(1−ح)^(ن−1) ، μ = 1/ح ، σ² = (1−ح)/ح²
ذو الحدين: ل(س = ر) = ⁿCر · ح^ر · (1−ح)^(ن−ر) ، μ = ن·ح ، σ² = ن·ح(1−ح)
كثافة: د(س) ≥ 0 ، المساحة الكلية = 1 ، ل(أ<س<ب) = المساحة بين أ و ب