احصاء - الفصل 4: الوحدة الرابعة:المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية

# ملخص: الوحدة الرابعة:المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية

> **المادة:** إحصاء | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم

1.  يتعرف الطالب على مفهوم المتغير العشوائي ويفهم الفرق بين المتغير العشوائي المتقطع والمتصل.
2.  يتعلم الطالب كيفية استخدام دالة الكثافة لمتغير عشوائي متصل لحساب الاحتمالات.
3.  يفهم الطالب مفهوم التوقع (المتوسط) والتباين لمتغير عشوائي.
4.  يتعلم الطالب كيفية استنتاج الانحراف المعياري لمتغير عشوائي.
5.  يفهم الطالب كيفية تعيين معامل الاختلاف.
6.  يتعرف الطالب على التوزيعات المتصلة وتوزيعات الاحتمال المختلفة.

## المصطلحات والتعريفات الإحصائية

*   **المتغير العشوائي:** دالة ربط بين فضاء العينة وناتج عددي، يرمز له بالرمز M.
*   **المتغير العشوائي المتقطع (Discrete Random Variable):** متغير عشوائي يكون مداه مجموعة محدودة من الأعداد الحقيقية.
*   **المتغير العشوائي المتصل (Continuous Random Variable):** متغير عشوائي يكون مداه مجموعة غير منتهية من الأعداد الحقيقية.
*   **التوزيعات الاحتمالية (Probability Distributions):** طريقة لوصف توزيع القيم العشوائية لمتغير عشوائي.
*   **دالة الكثافة الاحتمالية (Probability Density Function):** دالة تعبر عن كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي متصل.
*   **التوقع (المتوسط) (Expectation/Mean):** قيمة متوقعة لمتغير عشوائي، تُحسب باستخدام دالة الكثافة الاحتمالية.
*   **التباين (Variance):** مقياس لمدى تباين قيم متغير عشوائي حول المتوسط.
*   **الانحراف المعياري (Standard Deviation):** مقياس لمدى تباين قيم متغير عشوائي حول المتوسط، وهو الجذر التربيعي للتباين.
*   **معامل الاختلاف (Coefficient of Variation):** مقياس لمدى تباين قيم متغير عشوائي حول المتوسط، ويُحسب كنسبة مئوية.

## القوانين والمعادلات الإحصائية

### معادلة دالة التوزيع الاحتمالي المتقطعة

$$
د(س) = ل(M = س)
$$

**الرموز:**

| الرمز | المعنى |
| --- | --- |
| د(س) | دالة التوزيع الاحتمالي |
| س | قيمة المتغير العشوائي |
| M | المتغير العشوائي |
| ل(M = س) | احتمال أن يكون المتغير العشوائي M مساوياً للقيمة س |

**شروط الاستخدام:** تُستخدم هذه المعادلة لحساب احتمال وقوع قيمة معينة لمتغير عشوائي متقطع.

**مثال عددي:**

إذا كان لدينا متغير عشوائي متقطع M مع مدى {0, 1, 2}، ودوال التوزيع الاحتمالي كما يلي:

| س | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| د(س) | 1/4 | 1/2 | 1/4 |

فيمكننا استخدام المعادلة لحساب احتمال أن يكون M = 1:

$$
د(1) = ل(M = 1) = \frac{1}{2}
$$

### معادلة التوقع (المتوسط)

$$
E(M) = \sum س \cdot د(س)
$$

**الرموز:**

| الرمز | المعنى |
| --- | --- |
| E(M) | التوقع (المتوسط) لمتغير عشوائي M |
| س | قيمة المتغير العشوائي |
| د(س) | دالة التوزيع الاحتمالي |

**شروط الاستخدام:** تُستخدم هذه المعادلة لحساب التوقع (المتوسط) لمتغير عشوائي.

**مثال عددي:**

إذا كان لدينا متغير عشوائي متقطع M مع مدى {0, 1, 2}، ودوال التوزيع الاحتمالي كما يلي:

| س | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| د(س) | 1/4 | 1/2 | 1/4 |

فيمكننا استخدام المعادلة لحساب التوقع (المتوسط) لمتغير عشوائي M:

$$
E(M) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
$$

### معادلة التباين

$$
Var(M) = E(M^2) - (E(M))^2
$$

**الرموز:**

| الرمز | المعنى |
| --- | --- |
| Var(M) | التباين لمتغير عشوائي M |
| E(M^2) | التوقع (المتوسط) لمتغير عشوائي M^2 |
| E(M) | التوقع (المتوسط) لمتغير عشوائي M |

**شروط الاستخدام:** تُستخدم هذه المعادلة لحساب التباين لمتغير عشوائي.

**مثال عددي:**

إذا كان لدينا متغير عشوائي متقطع M مع مدى {0, 1, 2}، ودوال التوزيع الاحتمالي كما يلي:

| س | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| د(س) | 1/4 | 1/2 | 1/4 |

فيمكننا استخدام المعادلة لحساب التباين لمتغير عشوائي M:

$$
E(M^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{4} + 1^2 \cdot \frac{1}{2} + 2^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4}
$$

$$
Var(M) = \frac{5}{4} - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{7}{16}
$$

## الشرح المفصل للموضوع الأول: المتغيرات العشوائية

المتغيرات العشوائية هي دوال ربط بين فضاء العينة وناتج عددي. يمكن أن تكون المتغيرات العشوائية متقطعة أو متصلة. المتغيرات العشوائية المتقطعة لها مدى محدود من الأعداد الحقيقية، بينما المتغيرات العشوائية المتصلة لها مدى غير منتهي من الأعداد الحقيقية.

### أمثلة على المتغيرات العشوائية

*   عدد الصور في إلقاء قطعة نقود ثلاث مرات متتالية.
*   عدد الحوادث على إحدى الطرق السريعة خلال أسبوع.
*   عدد المكالمات التليفونية الصادرة لأسرة خلال شهر.

## الشرح المفصل للموضوع الثاني: التوزيعات الاحتمالية

التوزيعات الاحتمالية هي طريقة لوصف توزيع القيم العشوائية لمتغير عشوائي. يمكن أن تكون التوزيعات الاحتمالية متقطعة أو متصلة. التوزيعات الاحتمالية المتقطعة لها مدى محدود من الأعداد الحقيقية، بينما التوزيعات الاحتمالية المتصلة لها مدى غير منتهي من الأعداد الحقيقية.

### أمثلة على التوزيعات الاحتمالية

*   التوزيع الاحتمالي لعدد الصور في إلقاء قطعة نقود ثلاث مرات متتالية.
*   التوزيع الاحتمالي لعدد الحوادث على إحدى الطرق السريعة خلال أسبوع.
*   التوزيع الاحتمالي لعدد المكالمات التليفونية الصادرة لأسرة خلال شهر.

## مسائل محلولة بالكامل

### مسألة 1

إذا كان لدينا متغير عشوائي متقطع M مع مدى {0, 1, 2}، ودوال التوزيع الاحتمالي كما يلي:

| س | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| د(س) | 1/4 | 1/2 | 1/4 |

فما هو التوقع (المتوسط) لمتغير عشوائي M؟

### حل

$$
E(M) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
$$

### مسألة 2

إذا كان لدينا متغير عشوائي متقطع M مع مدى {0, 1, 2}، ودوال التوزيع الاحتمالي كما يلي:

| س | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| د(س) | 1/4 | 1/2 | 1/4 |

فما هو التباين لمتغير عشوائي M؟

### حل

$$
E(M^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{4} + 1^2 \cdot \frac{1}{2} + 2^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4}
$$

$$
Var(M) = \frac{5}{4} - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{7}{16}
$$

### مسألة 3

إذا كان لدينا متغير عشوائي متقطع M مع مدى {0, 1, 2}، ودوال التوزيع الاحتمالي كما يلي:

| س | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| د(س) | 1/4 | 1/2 | 1/4 |

فما هو الانحراف المعياري لمتغير عشوائي M؟

### حل

$$
\sigma = \sqrt{Var(M)} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}
$$

## تنبيهات الامتحان

1.  يجب على الطالب فهم المفاهيم الأساسية للمتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية.
2.  يجب على الطالب القدرة على حل المسائل باستخدام المعادلات الإحصائية.
3.  يجب على الطالب فهم كيفية استخدام الدوال الإحصائية لحساب التوقع والتباين والانحراف المعياري.
4.  يجب على الطالب القدرة على تحليل البيانات وتفسير النتائج.

## قائمة المراجعة

1.  تعريف المتغير العشوائي.
2.  تعريف التوزيع الاحتمالي.
3.  معادلة دالة التوزيع الاحتمالي المتقطعة.
4.  معادلة التوقع (المتوسط).
5.  معادلة التباين.
6.  معادلة الانحراف المعياري.
7.  أمثلة على المتغيرات العشوائية.
8.  أمثلة على التوزيعات الاحتمالية.
9.  كيفية حل المسائل باستخدام المعادلات الإحصائية.
10. كيفية استخدام الدوال الإحصائية لحساب التوقع والتباين والانحراف المعياري.
11. كيفية تحليل البيانات وتفسير النتائج.
12. فهم المفاهيم الأساسية للمتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية.

## جميع المعادلات دفعة واحدة

$$
د(س) = ل(M = س)
$$

$$
E(M) = \sum س \cdot د(س)
$$

$$
Var(M) = E(M^2) - (E(M))^2
$$

$$
\sigma = \sqrt{Var(M)}
$$

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

التعرف على مفهوم المتغير العشوائي

يفهم الطالب تعريف المتغير العشوائي كدالة تحول نتائج التجربة العشوائية إلى قيم عددية.

2

التمييز بين المتغيرات العشوائية

يحدد الطالب الفرق بين المتغير العشوائي المتقطع والمتصل مع إعطاء أمثلة.

3

تحديد مدى المتغير العشوائي المتقطع

يتمكن الطالب من إيجاد مجموعة القيم الممكنة (المدى) لمتغير عشوائي متقطع.

4

فهم دالة التوزيع الاحتمالي المتقطع

يتعرف الطالب على مفهوم دالة التوزيع الاحتمالي للمتغيرات المتقطعة.

5

كتابة دالة التوزيع الاحتمالي المتقطع

يستطيع الطالب كتابة دالة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي متقطع في صورة جدول.

6

التحقق من شروط دالة التوزيع الاحتمالي

يتحقق الطالب من أن دالة معطاة تحقق شروط دالة التوزيع الاحتمالي (الشرطين).

7

حساب احتمالات باستخدام دالة التوزيع

يستخدم الطالب دالة التوزيع الاحتمالي لحساب احتمالات قيم معينة للمتغير العشوائي.

8

التعرف على مفهوم التوقع (المتوسط)

يفهم الطالب تعريف التوقع (المتوسط) كقيمة متوقعة للمتغير العشوائي.

9

التعرف على مفهوم التباين

يفهم الطالب تعريف التباين كمقياس لتشتت قيم المتغير العشوائي.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: الوحدة الرابعة:المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية - 1

LO-1

الوحدة الرابعة:المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية

أهداف الدرس الأساسية

التعرف على مفهوم المتغير العشوائي

التمييز بين المتغيرات العشوائية

تحديد مدى المتغير العشوائي المتقطع

فهم دالة التوزيع الاحتمالي المتقطع

كتابة دالة التوزيع الاحتمالي المتقطع

التحقق من شروط دالة التوزيع الاحتمالي

حساب احتمالات باستخدام دالة التوزيع

التعرف على مفهوم التوقع (المتوسط)

التعرف على مفهوم التباين

الشرح المرئي (Slides)

كمّل مذاكرة مع الزتونة