ملخص الإحصاء تالتة ثانوي الاحتمال

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• التجربة العشوائية: تجربة نعرف جميع نواتجها الممكنة قبل إجرائها لكن لا نستطيع التنبؤ بأي ناتج منها سيحدث.
• فضاء العينة (ف): مجموعة جميع النواتج الممكنة، وعدد عناصره ن(ف). عند رمي عملة ٣ مرات ن(ف) = ٢³ = ٨، وعند رمي حجر نرد مرتين ن(ف) = ٦² = ٣٦.
• الحدث: مجموعة جزئية من فضاء العينة. الحدث البسيط عنصره واحد؛ الحدث المؤكد هو ف نفسه (احتماله ١)؛ الحدث المستحيل هو المجموعة الخالية ∅ (احتماله صفر).
• العمليات على الأحداث: الاتحاد أ ∪ ب (حدوث أ أو ب أو كليهما، أي أحدهما على الأقل)؛ التقاطع أ ∩ ب (حدوثهما معًا)؛ المتمم أ′ (عدم حدوث أ) حيث أ ∪ أ′ = ف و أ ∩ أ′ = ∅؛ الفرق أ − ب = أ ∩ ب′ (حدوث أ فقط).
• قانونا دي مورجان: (أ ∩ ب)′ = أ′ ∪ ب′ ، (أ ∪ ب)′ = أ′ ∩ ب′.
• الحدثان المتنافيان: لا يمكن حدوثهما معًا أي أ ∩ ب = ∅. الأحداث البسيطة متنافية، وأي حدث ومتممه متنافيان.
• مسلمات الاحتمال: ٠ ≤ ل(أ) ≤ ١ ؛ ل(ف) = ١ ؛ إذا كان أ، ب متنافيين فإن ل(أ ∪ ب) = ل(أ) + ل(ب).

القوانين والنظريات والقواعد

احتمال حدث (النواتج متساوية الفرصة)

ل(أ) = ن(أ) ÷ ن(ف)

نتائج مهمة

ل(∅) = ٠
ل(أ′) = ١ − ل(أ)
ل(أ − ب) = ل(أ) − ل(أ ∩ ب)
ل(أ ∪ ب) = ل(أ) + ل(ب) − ل(أ ∩ ب)
إذا كان أ ⊂ ب فإن ل(أ) ≤ ل(ب)
حدوث أ فقط = ل(أ) − ل(أ ∩ ب) ، حدوث أحدهما فقط = ل(أ ∪ ب) − ل(أ ∩ ب)
ل(أ′ ∩ ب′) = ١ − ل(أ ∪ ب)

شرط: إذا كان أ، ب متنافيين فإن ل(أ ∩ ب) = ٠ و ل(أ ∪ ب) = ل(أ) + ل(ب).

الاحتمال الشرطي

ل(أ | ب) = ل(أ ∩ ب) ÷ ل(ب)   ، ل(ب) > ٠
ل(أ ∩ ب) = ل(أ | ب) × ل(ب) = ل(ب | أ) × ل(أ)
ل(أ′ | ب) = ١ − ل(أ | ب)

ملاحظة: ل(أ | ب) ≠ ل(ب | أ) في الحالة العامة. المعلومة "حدث ب" تحصر فضاء العينة في ب.

الأحداث المستقلة

أ ، ب مستقلان  ⇔  ل(أ ∩ ب) = ل(أ) × ل(ب)

وعندها ل(أ | ب) = ل(أ) (حدوث أحدهما لا يؤثر في احتمال الآخر). السحب مع الإرجاع يعطي أحداثًا مستقلة، والسحب بدون إرجاع يعطي أحداثًا غير مستقلة ونستخدم الاحتمال الشرطي. ملاحظة: الحدثان المتنافيان (احتمالاهما غير صفريين) غير مستقلين لأن ل(أ ∩ ب) = ٠ ≠ ل(أ) × ل(ب).

أمثلة محلولة

مثال ١: كيس به ١٠ كرات: ٥ بيضاء و ٢ حمراء والباقي خضراء. ل(حمراء) = ٢ ÷ ١٠ = ٠٫٢ ، ل(حمراء أو خضراء) = (٢ + ٣) ÷ ١٠ = ٠٫٥ ، ل(ليست خضراء) = ١ − ٠٫٣ = ٠٫٧.

مثال ٢: رُمي حجر نرد مرة واحدة. ما احتمال ظهور العدد ٢ علمًا بأن العدد الظاهر زوجي؟ ب = {٢ ، ٤ ، ٦} ، أ = {٢} : ل(أ ∩ ب) = ١/٦ ، ل(ب) = ١/٢ ، فـ ل(أ | ب) = (١/٦) ÷ (١/٢) = ١/٣.

مثال ٣: ل(أ) = ٠٫٤٥ ، ل(ب) = ٠٫٦ ، ل(ب | أ) = ٠٫٨. ل(أ ∩ ب) = ٠٫٨ × ٠٫٤٥ = ٠٫٣٦ ؛ ل(أ ∪ ب) = ٠٫٤٥ + ٠٫٦ − ٠٫٣٦ = ٠٫٦٩ ؛ ل(أ | ب) = ٠٫٣٦ ÷ ٠٫٦ = ٠٫٦ ؛ ل(ب′ | أ) = ١ − ٠٫٨ = ٠٫٢.

مثال ٤ (بدون إرجاع): كيس به ٦ كرات زرقاء و ٤ حمراء، سُحبت كرتان دون إرجاع. ل(حمراوان) = ٤/١٠ × ٣/٩ = ٢/١٥ ؛ ل(زرقاوان) = ٦/١٠ × ٥/٩ = ١/٣ ؛ ل(الأولى حمراء والثانية زرقاء) = ٤/١٠ × ٦/٩ = ٤/١٥. ومع الإرجاع يصبح ل(حمراوان) = ٤/١٠ × ٤/١٠ = ٤/٢٥.

مثال ٥ (مستقلان): احتمال أن يعيش الزوج أكثر من ٢٠ سنة ٠٫٢ والزوجة ٠٫٣ (مستقلان): ل(كلاهما) = ٠٫٢ × ٠٫٣ = ٠٫٠٦ ؛ ل(أحدهما على الأقل) = ٠٫٢ + ٠٫٣ − ٠٫٠٦ = ٠٫٤٤ ؛ ل(أحدهما فقط) = ٠٫٤٤ − ٠٫٠٦ = ٠٫٣٨.

مثال ٦ (التحقق من الاستقلال): ل(أ) = ٠٫٥ ، ل(ب) = ٠٫٦ ، ل(أ ∪ ب) = ٠٫٨ ⇒ ل(أ ∩ ب) = ٠٫٥ + ٠٫٦ − ٠٫٨ = ٠٫٣ = ٠٫٥ × ٠٫٦ ، فالحدثان مستقلان.

مثال ٧: معهد لغات به ١٠٠ دارس: ٦٠ إنجليزي و ٥٠ فرنسي و ٣٥ يدرسون اللغتين. ل(لغة على الأقل) = ٠٫٦ + ٠٫٥ − ٠٫٣٥ = ٠٫٧٥ ؛ ل(إنجليزي | فرنسي) = ٠٫٣٥ ÷ ٠٫٥ = ٠٫٧ ؛ ل(فرنسي | إنجليزي) = ٠٫٣٥ ÷ ٠٫٦ ≈ ٠٫٥٨٣.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• الخلط بين المتنافيين (تقاطعهما خالٍ) والمستقلين (ل(أ ∩ ب) = ل(أ)·ل(ب)).
• نسيان طرح ل(أ ∩ ب) في قانون الاتحاد لحدثين غير متنافيين.
• الخلط بين ل(أ | ب) و ل(ب | أ).
• في السحب بدون إرجاع: عدم تقليل عدد الكرات في المقام للسحبة الثانية.
• كتابة (أ ∩ ب)′ على أنها أ′ ∩ ب′ ؛ الصحيح أ′ ∪ ب′.
• نتيجة احتمال أكبر من ١ أو سالبة تعني خطأ في الحساب.

قائمة المراجعة

• [ ] أميز التجربة العشوائية وأكتب فضاء العينة.
• [ ] أمثل فضاء العينة بالشجرة والجدول.
• [ ] أكتب الأحداث من الشروط اللفظية (على الأقل، على الأكثر، فقط).
• [ ] أطبق عمليات الأحداث ودي مورجان.
• [ ] أميز الأحداث المتنافية.
• [ ] أحسب ل(أ) = ن(أ)/ن(ف).
• [ ] أستخدم ل(أ′) = ١ − ل(أ).
• [ ] أطبق ل(أ ∪ ب) = ل(أ) + ل(ب) − ل(أ ∩ ب).
• [ ] أحسب ل(أ − ب) وحدوث أحدهما فقط.
• [ ] أحسب الاحتمال الشرطي وأطبق قاعدة الضرب.
• [ ] أتحقق من الاستقلال بالقانون ل(أ ∩ ب) = ل(أ)·ل(ب).
• [ ] أفرق بين السحب مع الإرجاع وبدونه.

جميع القوانين دفعة واحدة

ل(أ) = ن(أ) ÷ ن(ف) ، ٠ ≤ ل(أ) ≤ ١ ، ل(ف) = ١ ، ل(∅) = ٠
ل(أ′) = ١ − ل(أ)
ل(أ ∪ ب) = ل(أ) + ل(ب) − ل(أ ∩ ب)
ل(أ − ب) = ل(أ) − ل(أ ∩ ب)
(أ ∪ ب)′ = أ′ ∩ ب′ ، (أ ∩ ب)′ = أ′ ∪ ب′
متنافيان: ل(أ ∩ ب) = ٠
ل(أ | ب) = ل(أ ∩ ب) ÷ ل(ب)
ل(أ ∩ ب) = ل(أ | ب) × ل(ب)
مستقلان: ل(أ ∩ ب) = ل(أ) × ل(ب)