احصاء - الفصل 3: الوحدة الثالثة:الاحتمال

# ملخص: الوحدة الثالثة:الاحتمال

> **المادة:** إحصاء | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم

1.  يتعرف الطالب على العمليات على الأحداث.
2.  يتعرف الطالب على مفهوم الاحتمال.
3.  يستخدم الطالب مسلمات الاحتمال في حساب احتمال وقوع حدث.
4.  يحل الطالب مسائل تطبيقية باستخدام مسلمات الاحتمال.
5.  يحل الطالب مشكلات حياتية باستخدام قوانين الاحتمال.
6.  يتعرف الطالب على الأحداث المتنافية وغير المتنافية.

## المصطلحات والتعريفات الإحصائية

*   **التجربة العشوائية:** هي كل تجربة يمكن معرفة جميع النواتج الممكنة لها قبل إجرائها، ولكن لا نستطيع أن نحدد أيًّا من هذه النواتج سوف يتحقق عند إجرائها.
*   **فضاء العينة:** هو مجموعة كل النواتج الممكنة لتجربة عشوائية، ويرمز له بالرمز (ف).
*   **الحدث:** هو أي مجموعة جزئية من فضاء العينة.
*   **الاحتمال:** هو قياس لمدى وقوع حدث ما، ويرمز له بالرمز P.
*   **الأحداث المتنافية:** هي أحداث لا يمكن أن تقع معًا في نفس الوقت.
*   **الأحداث غير المتنافية:** هي أحداث يمكن أن تقع معًا في نفس الوقت.
*   **الاحتمال الشرطي:** هو احتمال وقوع حدث ما عند وقوع حدث آخر.

## القوانين والمعادلات الإحصائية

### قانون الاحتمال

$$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{\text{عدد النواتج الممكنة للحدث A}}{\text{العدد الكلي للنواتج الممكنة}}$$

**الرموز:**

| الرمز | المعنى |
| --- | --- |
| P(A) | احتمال وقوع الحدث A |
| m | عدد النواتج الممكنة للحدث A |
| n | العدد الكلي للنواتج الممكنة |

**شروط الاستخدام:** يُستخدم هذا القانون لحساب احتمال وقوع حدث ما في تجربة عشوائية.

**مثال عددي:**

إذا كانت هناك 6 نواتج ممكنة لتجربة إلقاء حجر نرد، و3 من هذه النواتج تؤدي إلى وقوع حدث A، فإن احتمال وقوع الحدث A هو:

$$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

### معادلة الاحتمال الشرطي

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

**الرموز:**

| الرمز | المعنى |
| --- | --- |
| P(A|B) | احتمال وقوع الحدث A عند وقوع الحدث B |
| P(A ∩ B) | احتمال وقوع كل من الأحداث A و B |
| P(B) | احتمال وقوع الحدث B |

**شروط الاستخدام:** يُستخدم هذا القانون لحساب احتمال وقوع حدث ما عند وقوع حدث آخر.

**مثال عددي:**

إذا كانت هناك 12 ناتجًا ممكنًا لتجربة إلقاء قطعتين من النقود، و4 من هذه النواتج تؤدي إلى وقوع حدث A، و2 من هذه النواتج تؤدي إلى وقوع حدث B، و1 من هذه النواتج تؤدي إلى وقوع كل من الأحداث A و B، فإن احتمال وقوع الحدث A عند وقوع الحدث B هو:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{2}{12}} = \frac{1}{2}$$

## الشرح المفصل للموضوع الأول: التجارب العشوائية

التجارب العشوائية هي تجارب يمكن معرفة جميع النواتج الممكنة لها قبل إجرائها، ولكن لا نستطيع أن نحدد أيًّا من هذه النواتج سوف يتحقق عند إجرائها. مثال على التجارب العشوائية هو إلقاء حجر نرد أو إلقاء قطعة نقود.

## الشرح المفصل للموضوع الثاني: الاحتمال

الاحتمال هو قياس لمدى وقوع حدث ما. يمكن حساب الاحتمال باستخدام قانون الاحتمال، وهو:

$$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{\text{عدد النواتج الممكنة للحدث A}}{\text{العدد الكلي للنواتج الممكنة}}$$

## مسائل محلولة بالكامل

### مسألة 1

إذا كانت هناك 6 نواتج ممكنة لتجربة إلقاء حجر نرد، و3 من هذه النواتج تؤدي إلى وقوع حدث A، فإن احتمال وقوع الحدث A هو:

$$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

### مسألة 2

إذا كانت هناك 12 ناتجًا ممكنًا لتجربة إلقاء قطعتين من النقود، و4 من هذه النواتج تؤدي إلى وقوع حدث A، و2 من هذه النواتج تؤدي إلى وقوع حدث B، و1 من هذه النواتج تؤدي إلى وقوع كل من الأحداث A و B، فإن احتمال وقوع الحدث A عند وقوع الحدث B هو:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{2}{12}} = \frac{1}{2}$$

## تنبيهات الامتحان

1.  يجب أن يُستخدم قانون الاحتمال لحساب احتمال وقوع حدث ما في تجربة عشوائية.
2.  يجب أن يُستخدم قانون الاحتمال الشرطي لحساب احتمال وقوع حدث ما عند وقوع حدث آخر.
3.  يجب أن يُحسب عدد النواتج الممكنة للحدث A وعدد النواتج الممكنة للحدث B قبل حساب احتمال وقوع الحدث A عند وقوع الحدث B.
4.  يجب أن يُحسب احتمال وقوع كل من الأحداث A و B قبل حساب احتمال وقوع الحدث A عند وقوع الحدث B.

## قائمة المراجعة

1.  ما هو قانون الاحتمال؟
2.  ما هو قانون الاحتمال الشرطي؟
3.  كيف يُحسب عدد النواتج الممكنة للحدث A؟
4.  كيف يُحسب عدد النواتج الممكنة للحدث B؟
5.  كيف يُحسب احتمال وقوع الحدث A عند وقوع الحدث B؟
6.  ما هي الأحداث المتنافية؟
7.  ما هي الأحداث غير المتنافية؟
8.  كيف يُستخدم قانون الاحتمال في حساب احتمال وقوع حدث ما؟
9.  كيف يُستخدم قانون الاحتمال الشرطي في حساب احتمال وقوع حدث ما عند وقوع حدث آخر؟
10. ما هو الفرق بين الأحداث المتنافية والأحداث غير المتنافية؟
11. ما هو الفرق بين قانون الاحتمال وقانون الاحتمال الشرطي؟
12. كيف يُحسب احتمال وقوع كل من الأحداث A و B？

## جميع المعادلات دفعة واحدة

$$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{\text{عدد النواتج الممكنة للحدث A}}{\text{العدد الكلي للنواتج الممكنة}}$$

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

التعرف على العمليات على الأحداث

التعرف على عمليات الاتحاد والتقاطع والفرق والمتممة للأحداث.

2

فهم مفهوم التجربة العشوائية

القدرة على تحديد التجارب العشوائية وغير العشوائية.

3

تحديد فضاء العينة

التعرف على مفهوم فضاء العينة وكتابة فضاء العينة لتجارب بسيطة.

4

حساب عدد عناصر فضاء العينة

إيجاد عدد عناصر فضاء العينة لتجارب مختلفة.

5

التعرف على مفهوم الحدث

فهم تعريف الحدث وأنواعه (بسيط، مؤكد، مستحيل).

6

تحديد الأحداث المتنافية

التعرف على مفهوم الأحداث المتنافية.

7

حساب الاحتمال

حساب احتمال وقوع حدث باستخدام مسلمات الاحتمال.

8

تطبيق الاحتمال في مواقف حياتية

حل مسائل حياتية تتطلب تطبيق قوانين الاحتمال.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

LO-1

الوحدة الثالثة:الاحتمال

أهداف الدرس الأساسية

التعرف على العمليات على الأحداث

فهم مفهوم التجربة العشوائية

تحديد فضاء العينة

حساب عدد عناصر فضاء العينة

التعرف على مفهوم الحدث

تحديد الأحداث المتنافية

حساب الاحتمال

تطبيق الاحتمال في مواقف حياتية

الشرح المرئي (Slides)

كمّل مذاكرة مع الزتونة