ملخص الإحصاء تالتة ثانوي الارتباط والانحدار

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الارتباط: أسلوب إحصائي يحدد درجة ونوع العلاقة بين متغيرين.
• الارتباط الطردي (الموجب): يتغير المتغيران في الاتجاه نفسه؛ زيادة أحدهما تصاحبها زيادة الآخر (مثل طول ضلع المربع ومساحته).
• الارتباط العكسي (السالب): يتغير المتغيران في اتجاهين متضادين؛ زيادة أحدهما تصاحبها نقص الآخر (مثل انخفاض درجة الحرارة وزيادة استهلاك الوقود).
• شكل الانتشار: تمثيل بياني لعدد من الأزواج المرتبة (س، ص) يوضح العلاقة بين متغيرين. إذا تجمعت النقاط حول خط مستقيم يصاعد فالارتباط خطي طردي، وإن هبط فهو خطي عكسي، وإن تبعثرت بلا نمط فلا يوجد ارتباط.
• الارتباط لا يعني السببية: وجود علاقة بين متغيرين لا يدل على أن أحدهما سبب في الآخر.
• معامل الارتباط (r): مقياس كمي لدرجة الارتباط حيث -١ ≤ r ≤ ١.
  • r = ١ ارتباط طردي تام، r = -١ ارتباط عكسي تام، r = ٠ ارتباط معدوم (لا يوجد ارتباط).
  • كلما اقتربت |r| من ١ كان الارتباط أقوى، وكلما اقتربت من الصفر كان أضعف.
• الانحدار: أسلوب إحصائي لتقدير قيمة متغير بدلالة متغير آخر. أنواعه: بسيط (متغير مستقل واحد)، متعدد (أكثر من متغير مستقل)، غير خطي. يركز الدرس على الانحدار الخطي البسيط.

القوانين والنظريات والقواعد

معامل ارتباط بيرسون (للبيانات الكمية)

r = (ن Σس ص − Σس · Σص) ÷ ( √(ن Σس² − (Σس)²) · √(ن Σص² − (Σص)²) )

شرط التطبيق: أن يكون المتغيران كميين (عدديين). ملاحظة: ن عدد الأزواج، Σس ص مجموع حاصل ضرب كل قيمة س في ص المناظرة لها.

معامل ارتباط سبيرمان للرتب (للبيانات الوصفية أو الكمية)

r = 1 − (6 ΣD²) ÷ (ن (ن² − 1))

حيث D الفرق بين رتبتي س وص لكل مفردة. نرتب القيم تصاعديًا (أو تنازليًا للمتغيرين معًا)، وإذا تكررت قيمة أُعطيت كل مكرراتها متوسط الرتب التي تشغلها (مثل الرتب ١، ٢، ٣ تصبح ٢ لكل منها). ملاحظة: سبيرمان أسهل وأقل دقة من بيرسون لأنه لا يراعي الفروق الحقيقية بين القيم.

معادلة خط انحدار ص على س

ص^ = أ + ب س
ب = (ن Σس ص − Σس · Σص) ÷ (ن Σس² − (Σس)²)
أ = (Σص − ب Σس) ÷ ن  (أي ص̄ − ب س̄)

ب معامل الانحدار وهو ميل الخط. نحصل على ب وأ من المعادلتين الطبيعيتين: Σص = ن أ + ب Σس ، Σس ص = أ Σس + ب Σس². استخدامها: التنبؤ بقيمة ص عند قيمة معلومة لـ س، وحساب الخطأ = |القيمة الجدولية − القيمة المقدرة من المعادلة|. ملاحظة: لا يُستحسن التنبؤ بقيم س بعيدة كثيرًا عن مدى القيم المستخدمة في حساب المعادلة. إشارة ب هي إشارة r.

أمثلة محلولة

مثال ١ (بيرسون): ن = ٨ ، Σس = ٦٨ ، Σص = ٣٦ ، Σس ص = ٣٤٨ ، Σس² = ٦٢٠ ، Σص² = ٢٠٤. البسط = ٨ × ٣٤٨ − ٦٨ × ٣٦ = ٢٧٨٤ − ٢٤٤٨ = ٣٣٦. المقام: √(٨ × ٦٢٠ − ٦٨²) = √٣٣٦ و √(٨ × ٢٠٤ − ٣٦²) = √٣٣٦. إذن r = ٣٣٦ ÷ ٣٣٦ = ١ أي ارتباط طردي تام.

مثال ٢ (سبيرمان): درجات سبعة طلاب في مادتين وصفيتين بعد ترتيبها وأخذ متوسط الرتب للمكرر أعطت ΣD² = ٢١٫٥ ، ن = ٧. r = ١ − (٦ × ٢١٫٥) ÷ (٧ × ٤٨) = ١ − ١٢٩ ÷ ٣٣٦ ≈ ٠٫٦١٦١ (يوجد ارتباط طردي متوسط).

مثال ٣ (الانحدار): سعر برميل النفط (س) ومعدل النمو الاقتصادي (ص) لثماني سنوات: ن = ٨ ، Σس = ٢٢٢٫٦ ، Σص = ٩٫١١ ، Σس ص = ٣٨٤٫٣٩ ، Σس² = ٦٨٨٤٫٢٨. ب = (٨ × ٣٨٤٫٣٩ − ٢٢٢٫٦ × ٩٫١١) ÷ (٨ × ٦٨٨٤٫٢٨ − ٢٢٢٫٦²) ≈ ٠٫١٨٩٦. أ = (٩٫١١ − ٠٫١٨٩٦ × ٢٢٢٫٦) ÷ ٨ ≈ −٤٫١٣٦٨. المعادلة: ص^ = ٠٫١٨٩٦ س − ٤٫١٣٦٨. عند س = ١٥ يكون ص^ ≈ −١٫٢٩٢٨، وعند س = ٣٥ يكون ص^ ≈ ٢٫٤٩٩٢.

مثال ٤ (الخطأ): في معادلة ص^ = ٢٫٥٦٤ س + ٣٥٫٣٥ لإنتاج محصول، عند س = ١٢٠ فدانًا ص^ = ٢٫٥٦٤ × ١٢٠ + ٣٥٫٣٥ ≈ ٣٤٣ كجم؛ فإذا كان الإنتاج الفعلي ٣٥٦ كجم فالخطأ = |٣٥٦ − ٣٤٣| = ١٣ كجم.

الأدوات التقنية

• الآلة الحاسبة العلمية: وضع الإحصاء (MODE ثم ٣)، إدخال قيم س وص، ثم استدعاء المجاميع (SHIFT ثم STAT) و Reg لقراءة r وأ وب.
• Excel: مخطط انتشار XY ثم إضافة خط اتجاه (Trendline) وعرض المعادلة على الرسم.
• SPSS: برنامج حزمة إحصائية للعلوم الاجتماعية لتحليل البيانات وحساب الارتباط والانحدار.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• استخدام بيرسون مع بيانات وصفية؛ الصحيح هو سبيرمان.
• نسيان أن |r| لا تتجاوز ١؛ ناتج أكبر من ١ يعني خطأ حسابيًا.
• الخلط بين قوة الارتباط واتجاهه: r = −٠٫٩٤ ارتباط عكسي قوي وليس ضعيفًا.
• عدم أخذ متوسط الرتب عند تكرار القيم في سبيرمان.
• الخلط بين Σس² (مجموع المربعات) و (Σس)² (مربع المجموع).
• اعتبار أن الارتباط القوي يدل على أن أحد المتغيرين سبب للآخر.

قائمة المراجعة

• [ ] أميز الارتباط الطردي والعكسي والمعدوم من شكل الانتشار.
• [ ] أعرف أن -١ ≤ r ≤ ١ وأفسر قيمة r.
• [ ] أطبق قانون بيرسون وأحسب المجاميع الخمسة بدقة.
• [ ] أحدد متى أستخدم سبيرمان بدل بيرسون.
• [ ] أعطي الرتب وأتعامل مع تكرار القيم.
• [ ] أحسب ΣD² وأطبق قانون سبيرمان.
• [ ] أكتب معادلة الانحدار ص^ = أ + ب س.
• [ ] أحسب ب ثم أ بالترتيب الصحيح.
• [ ] أتنبأ بقيمة ص من س.
• [ ] أحسب الخطأ = |القيمة الجدولية − المقدرة|.
• [ ] أعرف أن إشارة ب هي إشارة r.
• [ ] أستعمل الآلة الحاسبة للتحقق من الحل.

جميع القوانين دفعة واحدة

-1 ≤ r ≤ 1
r (بيرسون) = (ن Σس ص − Σس Σص) ÷ [√(ن Σس² − (Σس)²) · √(ن Σص² − (Σص)²)]
r (سبيرمان) = 1 − 6 ΣD² ÷ [ن (ن² − 1)]
ص^ = أ + ب س
ب = (ن Σس ص − Σس Σص) ÷ (ن Σس² − (Σس)²)
أ = (Σص − ب Σس) ÷ ن
الخطأ = |القيمة الجدولية − القيمة المقدرة|