ملخص الرياضيات التطبيقية تالتة ثانوي الشغل والطاقة والقدرة

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الشغل (W): الضرب القياسي لمتجه القوة F في متجه الإزاحة s. كمية قياسية قد تكون موجبة أو سالبة أو صفراً.
• شغل المقاومة: سالب لأن القوة تعاكس الإزاحة (مثل الاحتكاك والمقاومات).
• طاقة الحركة (T): الطاقة التي يكتسبها الجسم بسبب سرعته. كمية قياسية غير سالبة وتنعدم بانعدام السرعة.
• طاقة الوضع (P): الشغل الذي تبذله القوة عند انتقال الجسم من موضعه إلى موضع ثابت مرجعي (O)، وهي صفر عند O.
• القدرة: الشغل المبذول في وحدة الزمن. القدرة اللحظية كمية قياسية.
• قوى محافظة: قوى (كالوزن) يبقى مجموع طاقتي الحركة والوضع ثابتاً تحت تأثيرها فقط.
• الجول: شغل قوة مقدارها 1 نيوتن تحرك جسماً مسافة 1 متر. الإرج: شغل قوة 1 داين لمسافة 1 سم.

القوانين والنظريات والقواعد

الشغل

W = F · s = ‖F‖ ‖s‖ cos θ        (قوة ثابتة)
θ = 0 : W = F s       θ = 90° : W = صفر       θ > 90° : W سالب
W = ∫ F ds             (قوة متغيرة = المساحة تحت منحنى القوة–الإزاحة)

وحدات الشغل:

1 جول = 1 نيوتن.م = 10⁷ إرج
1 ث.كجم.م = 9.8 جول

ملاحظة: الشغل لا يتوقف على المسار بل على الإزاحة بين الموضعين (للقوة الثابتة)، والشغل في الإزاحة المحصلة = مجموع الشغلين في الإزاحتين.

طاقة الحركة ومبدأ الشغل والطاقة

T = ½ m ‖v‖² = ½ m (v · v)
T₂ − T₁ = W

الصيغة اللفظية: التغير في طاقة حركة جسيم عند انتقاله من موضع إلى آخر = الشغل المبذول بالقوى المؤثرة خلال الإزاحة بين الموضعين. وحدة طاقة الحركة هي وحدة الشغل (جول أو إرج).

طاقة الوضع وبقاء الطاقة

P₂ − P₁ = − W         (التغير في طاقة الوضع = سالب الشغل)
عند الارتفاع h فوق المستوى المرجعي :  P = m g h
T + P = ثابت          (في غياب المقاومات)

الحركة على مستوى مائل خشن (أو وسط مقاوم)

النقص في طاقة الوضع = الزيادة في طاقة الحركة + الشغل المبذول ضد المقاومات
m g h = ½ m (v² − v₀²) + R s

القدرة

P = dW/dt = F · v                  (القدرة اللحظية)
القدرة المتوسطة = W ÷ Δt
W = ∫ (القدرة) dt

وحدات القدرة:

1 وات = 1 نيوتن.م/ث = 1 جول/ث = 10⁷ إرج/ث
1 كيلووات = 1000 وات
1 حصان = 75 ث.كجم.م/ث = 735 وات = 0.735 كيلووات

وعند ثبوت F تتناسب القدرة مع السرعة، وتبلغ القدرة القصوى عند أكبر سرعة. وعند السرعة المنتظمة: قوة المحرك = المقاومات ± مركبة الوزن في اتجاه الحركة.

أمثلة محلولة

مثال ١ (سهل): يتحرك جسيم في خط مستقيم تحت تأثير F = 6i + 8j من A(3 , −4) إلى B(7 , 2). احسب الشغل.

• s = AB = (4 , 6).
• W = F · s = 6 × 4 + 8 × 6 = 72 وحدة شغل.

مثال ٢ (متوسط): جسم كتلته 300 جم وضع عند قمة مستوى مائل ارتفاعه 1 م وانزلق إلى أسفله، والشغل المبذول ضد المقاومة 1.59 جول. أوجد سرعته عند أسفل المستوى.

• الشغل الكلي = m g h − 1.59 = 0.3 × 9.8 × 1 − 1.59 = 1.35 جول.
• ½ × 0.3 × v² − 0 = 1.35 ⇒ v² = 9 ⇒ v = 3 م/ث.

مثال ٣ (صعب): قطار كتلته 200 طن يصعد منحدراً جيب زاويته 1/200 بسرعة منتظمة 27 كم/س ضد مقاومات 18 ث.كجم لكل طن. أوجد قدرة قاطرته بالحصان، وقدرتها إذا هبط المنحدر بالسرعة نفسها.

• المقاومات = 200 × 18 = 3600 ث.كجم، ومركبة الوزن = 200000 × (1/200) = 1000 ث.كجم، والسرعة 27 كم/س = 7.5 م/ث.
• صعوداً: قوة المحرك = 3600 + 1000 = 4600 ث.كجم ⇒ القدرة = 4600 × 7.5 ÷ 75 = 460 حصاناً.
• هبوطاً: قوة المحرك + 1000 = 3600 ⇒ 2600 ث.كجم ⇒ القدرة = 2600 × 7.5 ÷ 75 = 260 حصاناً.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• حساب الشغل بضرب مقداري F و s فقط دون cos θ.
• اعتبار شغل رد الفعل العمودي غير صفر؛ هو عمودي على الإزاحة فشغله صفر.
• نسيان الإشارة السالبة لشغل المقاومة والاحتكاك.
• عدم تحويل الوحدات: السرعة بالكم/س إلى م/ث، والجرام إلى كجم، والسنتيمتر إلى متر.
• الخلط بين الحصان (75 ث.كجم.م/ث) والوات (1 نيوتن.م/ث).
• استخدام قدرة الجسم (F·v) دون الانتباه إلى أن المقاومة تتغير بتغير السرعة.
• إهمال الشغل ضد المقاومات عند الحركة على مستوى خشن.

قائمة المراجعة

1. W = F · s قياسي وقد يكون موجباً أو سالباً أو صفراً.
2. الشغل في الإزاحة المحصلة = مجموع الشغلين.
3. شغل قوة عمودية على الإزاحة = صفر.
4. شغل المقاومة والاحتكاك سالب.
5. W = ∫ F ds للقوة المتغيرة.
6. 1 جول = 10⁷ إرج ، 1 ث.كجم.م = 9.8 جول.
7. T = ½ m v² وهي غير سالبة.
8. مبدأ الشغل والطاقة : T₂ − T₁ = W.
9. P₂ − P₁ = − W ، وعند ارتفاع h : P = m g h.
10. بقاء الطاقة : T + P = ثابت في غياب المقاومات.
11. على المستوى الخشن : m g h = ΔT + شغل المقاومة.
12. القدرة = dW/dt = F · v.
13. 1 حصان = 735 وات = 75 ث.كجم.م/ث.
14. القدرة القصوى عند أقصى سرعة.
15. عند السرعة المنتظمة : قوة المحرك = المقاومات ± مركبة الوزن.

جميع القوانين دفعة واحدة

W = F · s ,  W = ∫ F ds
T = ½ m v² ,  T₂ − T₁ = W
P₂ − P₁ = − W ,  P = m g h ,  T + P = ثابت
m g h = ½ m (v² − v₀²) + R s
القدرة = dW/dt = F · v ,  1 حصان = 735 وات