ملخص الرياضيات التطبيقية تالتة ثانوي حركة الأجسام متغيرة الكتلة أو العجلة وحركة الأجسام المتصلة

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• قانون نيوتن الثاني: معدل تغير كمية الحركة بالنسبة للزمن يتناسب مع القوة المؤثرة ويكون في اتجاهها. للكتلة الثابتة F = m a.
• الكتلة المتغيرة: إذا تغيرت الكتلة m مع الزمن فإن F = d(m v)/dt حيث m و v دالتان قابلتان للاشتقاق في t.
• الوزن الظاهري: ضغط الجسم على قاعدة المصعد (أو قراءة الميزان الزنبركي أو ميزان الضغط)، ويختلف عن الوزن الحقيقي عند وجود تعجيل. الميزان العادي هو الوحيد الذي يقيس الوزن الحقيقي في كل الحالات.
• الضغط ورد الفعل: قوتان متساويتان في المقدار ومتضادتان (قانون نيوتن الثالث).
• البكرة الملساء الصغيرة: الشد في الخيط على جانبيها متساوٍ، ووزنها مهمل.

القوانين والنظريات والقواعد

معادلة الحركة بالتفاضل والتكامل

F دالة في الزمن:         F = m dv/dt     ⇒   ∫ F dt = m ∫ dv
F دالة في الإزاحة:       F = m v dv/ds   ⇒   ∫ F ds = m ∫ v dv
الكتلة متغيرة:           F = d(m v)/dt = dH/dt
التغير في كمية الحركة:  ΔH = m ∫ a dt

ملاحظة: في الصورة المتجهة F = m a ونستخدم d²s/dt² للتعجيل عند إعطاء متجه الإزاحة.

حركة المصعد

المصعد لأعلى بتعجيل a :   N = m (g + a)     (الشد في السلك: T = (m + m′)(g + a))
المصعد لأسفل بتعجيل a :   N = m (g − a)
سرعة منتظمة أو سكون :    N = m g
سقوط حر (a = g) :        N = صفر

قراءة الميزان عند الصعود بتعجيل + قراءته عند الهبوط بنفس التعجيل = ضعف الوزن الحقيقي.

جسمان متصلان بخيط يمر على بكرة ملساء (m₁ > m₂)

معادلتا الحركة:  m₁ a = m₁ g − T    ،   m₂ a = T − m₂ g
a = (m₁ − m₂) g ÷ (m₁ + m₂)
T = 2 m₁ m₂ g ÷ (m₁ + m₂)
الضغط على محور البكرة = 2T

حالات خاصة

• قطع الخيط: يتحرك كل جسم في اتجاهه السابق بالسرعة اللحظية ثم يخضع لتعجيل الجاذبية g.
• انفصال كتلة إضافية: تتحرك المجموعة بتعجيل جديد (قد يكون تقصيرياً) وبنفس اتجاه الحركة السابق.
• الكتلتان متساويتان: لا تتحرك المجموعة من السكون؛ ولو اكتسبت سرعة تستمر بسرعة منتظمة.

أمثلة محلولة

مثال ١ (سهل): رجل كتلته 80 كجم داخل مصعد. أوجد ضغطه على أرضية المصعد (بالث.كجم) عند الصعود بتعجيل 0.49 م/ث².

• N − m g = m a ⇒ N = 80 × (9.8 + 0.49) = 823.2 نيوتن = 84 ث.كجم.

مثال ٢ (متوسط): كتلتان 105 جم و70 جم مربوطتان بطرفي خيط على بكرة ملساء وتبدآن الحركة من السكون في مستوى أفقي واحد. أوجد التعجيل، ثم الزمن الكلي حتى تسكن الكتلة 70 جم لحظياً بعد أن تصطدم الكتلة 105 جم بالأرض بعد قطعها 50 سم.

• a = (105 − 70) × 980 ÷ 175 = 196 سم/ث².
• السرعة عند الاصطدام: v² = 2 × 196 × 50 ⇒ v = 140 سم/ث، والزمن t₁ = 140 ÷ 196 = 5/7 ث.
• بعد ذلك تصعد الكتلة 70 جم بتعجيل −980 سم/ث²: t₂ = 140 ÷ 980 = 1/7 ث.
• الزمن الكلي = 5/7 + 1/7 = 6/7 ث.

مثال ٣ (صعب): جسم معلق بميزان زنبركي في سقف مصعد يسجل 8 ث.كجم عند الصعود بتعجيل a، و5 ث.كجم عند الهبوط بتعجيل 2a. أوجد كتلة الجسم و a.

• صعوداً: m a = (8 − m) × 9.8 ، وهبوطاً: 2 m a = (m − 5) × 9.8.
• بالقسمة: 2 = (m − 5) ÷ (8 − m) ⇒ m − 5 = 16 − 2m ⇒ m = 7 كجم.
• 7a = 1 × 9.8 ⇒ a = 1.4 م/ث².

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• اعتبار الضغط على أرضية المصعد يساوي الوزن دائماً؛ يساوي الوزن فقط عند السكون أو السرعة المنتظمة.
• عكس الإشارة: في الصعود بتعجيل N = m(g + a) وفي الهبوط N = m(g − a).
• اعتبار أن حركة المصعد إلى أعلى تعني دائماً قراءة أكبر؛ الحركة إلى أعلى بتقصير تعطي قراءة أصغر.
• استخدام T = m g للبكرة عند وجود تعجيل؛ الشد يساوي 2m₁m₂g ÷ (m₁ + m₂).
• نسيان أن الضغط على محور البكرة 2T وليس T.
• بعد قطع الخيط يظل الجسم الصاعد يصعد (بسرعته) ثم يهبط؛ لا يهبط فوراً.
• في الكتلة المتغيرة نسيان حد dm/dt × v عند اشتقاق m v.

قائمة المراجعة

1. F = d(m v)/dt للكتلة المتغيرة، وF = m a للثابتة.
2. إذا كانت F دالة في t : ∫ F dt = m ∫ dv.
3. إذا كانت F دالة في s : ∫ F ds = m ∫ v dv.
4. ΔH = m ∫ a dt.
5. الضغط ورد الفعل متساويان ومتضادان.
6. المصعد لأعلى بتعجيل : N = m(g + a).
7. المصعد لأسفل بتعجيل : N = m(g − a).
8. السكون أو السرعة المنتظمة : N = m g.
9. السقوط الحر : N = صفر.
10. قراءة الميزان الزنبركي = الشد في الزنبرك.
11. مجموع قراءتي الصعود والهبوط بنفس التعجيل = ضعف الوزن.
12. بكرة ملساء : a = (m₁ − m₂)g ÷ (m₁ + m₂).
13. الشد T = 2m₁m₂g ÷ (m₁ + m₂) والضغط على البكرة = 2T.
14. عند قطع الخيط يتحرك كل جسم بسرعته اللحظية وبتعجيل g.
15. الكتلتان المتساويتان لا تتحركان من السكون.

جميع القوانين دفعة واحدة

F = d(m v)/dt ;  ∫F dt = m∫dv ;  ∫F ds = m∫v dv
N = m(g + a) (صعود) ,  N = m(g − a) (هبوط)
a = (m₁ − m₂) g ÷ (m₁ + m₂)
T = 2 m₁ m₂ g ÷ (m₁ + m₂) ,  الضغط على البكرة = 2T