ملخص الرياضيات التطبيقية تالتة ثانوي الدفع وكمية الحركة

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الدفع (I): إذا أثرت قوة ثابتة F على جسم خلال فترة زمنية t فإن دفعها هو حاصل ضرب متجه القوة في زمن تأثيرها: I = F t. الدفع كمية متجهة في اتجاه القوة.
• وحدات الدفع: نيوتن.ث (N.s)، وكذلك ث.كجم.ث و ث.جم.ث. ووحدة نيوتن.ث تساوي كجم.م/ث. وإذا قيست الكتلة بالجرام والسرعة بسم/ث فالوحدة جم.سم/ث وتساوي داين.ث.
• القوة الدفعية: قوة هائلة المقدار تؤثر في زمن متناهٍ في الصغر فتسبب تغيراً هائلاً في كمية حركة الجسم دون أن يتغير موضعه خلال فترة تأثيرها. مثال: ضرب كرة بمضرب.
• الحركة الدفعية: الحركة الناتجة عن تأثير القوة الدفعية.

القوانين والنظريات والقواعد

دفع قوة ثابتة

I = F × t

شرط التطبيق: مقدار القوة واتجاهها ثابتان خلال زمن t.

دفع قوة متغيرة

I = ∫ F dt     (من t₁ إلى t₂)

وهو المساحة الجبرية تحت منحنى (القوة–الزمن).

العلاقة بين الدفع والتغير في كمية الحركة

I = m (v − v₀) = m v − m v₀

اشتقاق: لقوة ثابتة F t = m a t = m (v − v₀). ولقوة متغيرة ∫ F dt = ∫ m (dv/dt) dt = m ∫ dv = m (v − v₀). أي أن الدفع = التغير في كمية الحركة.

القوى الدفعية

m v₀ + F t = m v      (t متناهٍ في الصغر)

رد فعل السطح عند الاصطدام (F = مقدار القوة الدفعية، w = الوزن)

جسم يسقط رأسياً على الأرض :    رد فعل الأرض = F + w
جسم يقذف رأسياً فيصطدم بسقف :   ضغط الجسم على السقف = رد فعل السقف = F − w
جسم يقذف أفقياً فيصطدم بحائط رأسي : ضغط الجسم على الحائط = رد فعل الحائط = F

الاصطدام والارتداد

نأخذ اتجاه الارتداد موجباً فتكون v₀ سالبة:  الدفع = m (v − v₀) = m (|v| + |v₀|)
F = I ÷ t   (القوة الدفعية المتوسطة)

أمثلة محلولة

مثال ١ (سهل): تؤثر قوة أفقية 5 نيوتن على جسم كتلته 4 كجم ساكن على مستوى أفقي أملس مدة 8 ث. أوجد الدفع والسرعة.

• I = F t = 5 × 8 = 40 نيوتن.ث.
• I = m (v − v₀) ⇒ 40 = 4 (v − 0) ⇒ v = 10 م/ث.

مثال ٢ (متوسط): كرة مطاطية كتلتها ¼ كجم سقطت من ارتفاع 10 م وارتدت بعد الاصطدام إلى ارتفاع 2.5 م. أوجد الدفع الناتج عن تصادمها بالأرض، ثم رد فعل الأرض إذا كان زمن التلامس 0.1 ث.

• v₁ = √(2 × 9.8 × 10) = 14 م/ث إلى أسفل، وسرعة الارتداد v₂ = √(2 × 9.8 × 2.5) = 7 م/ث إلى أعلى.
• I = m (v₂ − v₁) = ¼ [7 − (−14)] = 5.25 كجم.م/ث.
• F = I ÷ t = 5.25 ÷ 0.1 = 52.5 نيوتن؛ رد فعل الأرض = F + w = 52.5 + ¼ × 9.8 = 54.95 نيوتن.

مثال ٣ (صعب): تؤثر القوة F = 2i + 7j على جسم كتلته 5 كجم مدة 10 ث وسرعته الابتدائية v₀ = i − 2j. أوجد سرعته بعد تأثير القوة.

• الدفع I = F t = 20i + 70j.
• I = m (v − v₀) ⇒ v − v₀ = (20i + 70j) ÷ 5 = 4i + 14j.
• v = (i − 2j) + (4i + 14j) = 5i + 12j ⇒ ‖v‖ = √(25 + 144) = 13 م/ث.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• إهمال تحويل وحدات القوة (ث.كجم → نيوتن) عند حساب الدفع.
• حساب الدفع على أنه m v بدل m (v − v₀)، ونسيان أن إشارة السرعة تتغير عند الارتداد.
• في الارتداد: طرح المقدارين بدل جمعهما عند وجود اتجاهين متضادين.
• نسيان إضافة أو طرح الوزن عند حساب رد فعل الأرض أو السقف.
• إهمال التحويل: 7.2 كم/س = 2 م/ث، و1 جم = 0.001 كجم.
• اعتبار القوة الدفعية ثابتة المقدار؛ ما نحسبه هو قوتها المتوسطة.

قائمة المراجعة

1. الدفع I = F t وهو متجه في اتجاه القوة.
2. وحدة الدفع نيوتن.ث = كجم.م/ث.
3. داين.ث = جم.سم/ث.
4. الدفع = التغير في كمية الحركة: I = m (v − v₀).
5. للقوة المتغيرة I = ∫ F dt.
6. الدفع هو المساحة تحت منحنى (القوة–الزمن).
7. القوة الدفعية كبيرة جداً وزمنها صغير جداً.
8. m v₀ + F t = m v في الحركة الدفعية.
9. القوة الدفعية لا تغير موضع الجسم أثناء تأثيرها.
10. رد فعل الأرض لجسم ساقط = F + w.
11. ضغط الجسم على السقف = F − w.
12. ضغط الجسم على حائط رأسي = F.
13. في الارتداد يجمع مقدارا السرعتين في حساب التغير.
14. القوة الدفعية المتوسطة = الدفع ÷ زمن التلامس.
15. في الصورة المتجهة نحسب الدفع بإيجاد محصلة القوى × الزمن.

جميع القوانين دفعة واحدة

I = F t ,   I = ∫ F dt
I = m (v − v₀)
m v₀ + F t = m v
رد فعل الأرض = F + w ,  ضغط السقف = F − w ,  ضغط الحائط = F