ملخص الرياضيات التطبيقية تالتة ثانوي تفاضل وتكامل الدوال المتجهة

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الحركة المستقيمة: حركة جسيم على خط مستقيم. نختار نقطة ثابتة O أصلاً واتجاهاً موجباً، فيكون متجه الموضع r(t) = r c حيث c متجه وحدة في الاتجاه الموجب، ويقاس بالمتر.
• الإزاحة s = r(t) − r(0): تغير الموضع، وهي كمية متجهة. المسافة كمية قياسية، ومعيار الإزاحة ≤ المسافة المقطوعة.
• السرعة المتوسطة: v̄ = Δr ÷ Δt، وتساوي ميل القاطع في منحنى (الموضع–الزمن).
• السرعة اللحظية: v = dr/dt، وهي ميل المماس لمنحنى (الموضع–الزمن).
• السرعة القياسية المتوسطة = المسافة الكلية المقطوعة ÷ الزمن الكلي.
• العجلة (التعجيل) المتوسطة: Δv ÷ Δt، واللحظية: a = dv/dt (ميل المماس لمنحنى السرعة–الزمن).
• حركة تسارعية: v و a في اتجاه واحد (v·a > 0). حركة تقصيرية (تباطؤية): v و a متضادان (v·a < 0).

القوانين والنظريات والقواعد

العلاقات التفاضلية

v = dr/dt          a = dv/dt = d²r/dt²
a = v · dv/dr      (إذا كانت السرعة دالة في الموضع)

ملاحظة: a = dv/dt = (dv/dr)(dr/dt) = v dv/dr بقاعدة السلسلة.

العلاقات التكاملية

v = v₀ + ∫₀ᵗ a dt            r = r₀ + ∫₀ᵗ v dt
الإزاحة بين t₁ و t₂ = ∫ v dt
المسافة = ∫ |v| dt

ملاحظة: المسافة المقطوعة في الفترة [t₁ , t₂] = المساحة المحصورة بين محور الزمن ومنحنى (السرعة–الزمن) بدون إشارة. أما الإزاحة فمساحة جبرية.

إذا كان التعجيل دالة في الموضع

∫ a dr = ∫ v dv   ⇒   v² − v₀² = 2 ∫ a dr
عند ثبوت a :  v² = v₀² + 2 a s

دراسة تغير الاتجاه

تغير الجسيم اتجاه حركته عند الانتقال من v موجبة إلى سالبة، أي عند v = 0 وتغير إشارتها؛ لذلك نقسم فترة المسافة عند جذور v = 0.

أمثلة محلولة

مثال ١ (سهل): قذف حجر رأسياً إلى أعلى ويعطى ارتفاعه بالعلاقة r = 49t − 4.9t². أوجد أقصى ارتفاع.

• v = 49 − 9.8t ، وعند أقصى ارتفاع v = 0 ⇒ t = 5 ث.
• r(5) = 49 × 5 − 4.9 × 25 = 122.5 م.

مثال ٢ (متوسط): يتحرك جسيم بحيث s = t³ − 6t² + 9t. أوجد التعجيل عندما تنعدم السرعة، والمسافة المقطوعة في الفترة [0 , 2].

• v = 3t² − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3) ⇒ v = 0 عند t = 1 و t = 3.
• a = 6t − 12 ⇒ a(1) = −6 م/ث² ، a(3) = 6 م/ث².
• v > 0 في [0 , 1) و v < 0 في (1 , 2]: s(1) = 4 ، s(2) = 2 ⇒ المسافة = 4 + |2 − 4| = 6 م.

مثال ٣ (صعب): يتحرك جسيم من نقطة ثابتة بسرعة ابتدائية 2 م/ث وعجلته a = 2r + 5. أوجد v² بدلالة r والسرعة عند r = 1، ثم r عندما v = 4 م/ث.

• ∫₀ʳ (2r + 5) dr = ½ (v² − 4) ⇒ r² + 5r = ½ (v² − 4) ⇒ v² = 2r² + 10r + 4.
• r = 1 ⇒ v² = 16 ⇒ |v| = 4 م/ث.
• v = 4 ⇒ 2r² + 10r + 4 = 16 ⇒ r² + 5r − 6 = 0 ⇒ r = 1 أو r = −6 م.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• حساب المسافة بالتكامل ∫ v dt مباشرة دون الانتباه لتغير إشارة v، والصحيح تكامل |v| أو تقسيم الفترة.
• اعتبار الإزاحة تساوي المسافة؛ يتساويان فقط إن لم يتغير الاتجاه.
• الخلط بين السرعة المتوسطة (الإزاحة ÷ الزمن) والسرعة القياسية المتوسطة (المسافة ÷ الزمن).
• نسيان الشرط الابتدائي (v₀ أو r₀) عند حساب ثابت التكامل.
• حذف الإشارة السالبة للتعجيل: التعجيل السالب لا يعني دائماً تقصيراً إلا إذا كانت v موجبة.
• عند استخدام a = v dv/dr يجب اشتقاق v بالنسبة إلى r وليس t.

قائمة المراجعة

1. متجه الموضع r = r(t) c ويقاس بالمتر.
2. الإزاحة = r(t) − r(0) متجهة، والمسافة قياسية.
3. السرعة المتوسطة = الإزاحة ÷ الزمن.
4. السرعة اللحظية v = dr/dt.
5. المسافة = ∫ |v| dt.
6. السرعة القياسية المتوسطة = المسافة ÷ الزمن.
7. التعجيل a = dv/dt.
8. السرعة تتحدد من التعجيل بالتكامل v = ∫ a dt + ثابت.
9. حركة تسارعية إذا كان v·a > 0، وتقصيرية إذا v·a < 0.
10. a = v dv/dr للسرعة كدالة في الموضع.
11. ∫ a dr = ∫ v dv.
12. مساحة تحت منحنى (السرعة–الزمن) = الإزاحة (جبرياً).
13. ميل المماس في (الموضع–الزمن) = السرعة، وفي (السرعة–الزمن) = التعجيل.
14. السرعة تنعدم عند أقصى ارتفاع في الحركة الرأسية.
15. عند ثبوت a : v² = v₀² + 2 a s.

جميع القوانين دفعة واحدة

v = dr/dt ,  a = dv/dt = v dv/dr
v = v₀ + ∫ a dt ,  r = r₀ + ∫ v dt
المسافة = ∫ |v| dt
v² − v₀² = 2 ∫ a dr
السرعة المتوسطة = Δr ÷ Δt