الصف الثالث الثانوي الفصل 5

تفاضل وتكامل الدوال المتجهة

الرياضيات التطبيقية

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: تفاضل وتكامل الدوال المتجهة

> **المادة:** applied_math | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم

1.  فهم المفاهيم الأساسية للحركة الخطية، مثل الموضع، الإزاحة، السرعة، والعجلة.
2.  استخدام التفاضل لحساب السرعة والعجلة من الإزاحة.
3.  استخدام التكامل لإيجاد الإزاحة والسرعة من السرعة والعجلة على التوالي.
4.  تفسير المخططات البيانية للحركة الخطية وتحليلها.
5.  حل المسائل الفيزيائية باستخدام المفاهيم الرياضية للحركة الخطية.
6.  تطبيق القوانين والثوابت الفيزيائية على مشاكل الحركة الخطية.

## المصطلحات والتعريفات

*   **المتجه الموضع (Position Vector):** هو المتجه الذي يحدد موقع الجسيم بالنسبة لنقطة مرجعية.
*   **الإزاحة (Displacement):** هي التغير في الموضع، وتعبر عن المسافة بين الموضع النهائي والابتدائي.
*   **السرعة (Velocity):** هي معدل تغير الإزاحة بالنسبة للزمن.
*   **العجلة (Acceleration):** هي معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن.
*   **السرعة المتوسطة (Average Velocity):** القياس الجيئي لمتجه السرعة خلال فترة زمنية معينة.
*   **السرعة اللحظية (Instantaneous Velocity):** القياس الجيئي لمتجه السرعة في لحظة معينة.
*   **العجلة اللحظية (Instantaneous Acceleration):** القياس الجيئي لمتجه العجلة في لحظة معينة.
*   **السرعة المتوسطة (Average Speed):** القيمة المطلقة للإزاحة مقسومة على الزمن.

## الحركة الخطية

الحركة الخطية هي حركة الجسم في خط مستقيم، وتتميز بثوابت فيزيائية مثل السرعة والعجلة. يمكن تمثيل الموضع، السرعة، والعجلة كدوال متجهة في الزمن. يمكن استخدام التفاضل للتعرف على السرعة والعجلة، والتكامل لإيجاد الإزاحة والسرعة.

### العلاقات الرياضية

#### 1. التفاضل (Derivatives)

*   **السرعة هي مشتقة الموضع بالنسبة للزمن:**
    $$ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} $$
*   **العجلة هي مشتقة السرعة بالنسبة للزمن:**
    $$ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} $$

#### 2. التكامل (Integrals)

*   **إيجاد الموضع من السرعة:**
    $$ \vec{r}(t) = \int \vec{v}(t) \, dt + \vec{C} $$
*   **إيجاد السرعة من العجلة:**
    $$ \vec{v}(t) = \int \vec{a}(t) \, dt + \vec{C} $$

## التفسير البياني

### منحنى الموضع-الزمن

*   **الميل (Slope):** ميل المنحنى يمثل السرعة اللحظية.
    $$ v = \frac{d\vec{r}}{dt} $$
*   **المساحة:** المساحة تحت المنحنى (بافتراض الاتجاه الموجب) تمثل الإزاحة.

### منحنى السرعة-الزمن

*   **الميل (Slope):** ميل المنحنى يمثل العجلة اللحظية.
    $$ a = \frac{d\vec{v}}{dt} $$
*   **المساحة:** المساحة تحت المنحنى تمثل الإزاحة الكلية.
    $$ \Delta \vec{r} = \int \vec{v}(t) \, dt $$

## تطبيقات وأمثلة محلولة

### مثال 1: قذف حجر رأسيًا لأعلى

قذف حجر رأسيًا لأعلى، وكان ارتفاعه $s$ بعد $t$ ثانية من قذفه يعطى بالعلاقة:
$ s = 40t - 4.9t^2 $

أوجد:
1. أقصى ارتفاع يبلغه الجسم المقذوف.
2. القياس الجبري لمتجه السرعة عندما يكون الحجر على ارتفاع 34.3 مترًا، ثم أوجد معيار سرعته.

### مثال 2: جسم يتحرك وفقًا للعلاقة

جسم يتحرك وفقًا للعلاقة:
$ f(t) = 4.9t - 0.49t^2 $

أقصى ارتفاع $f(t) = 4.9t - 0.49t^2$

$f'(t) = 4.9 - 0.98t = 0$

إذن $t = \frac{4.9}{0.98} = 5$ ثانية

أقصى ارتفاع $f(5) = 4.9 \times 5 - 0.49 \times 5^2 = 24.5 - 12.25 = 12.25$ متر

## تنبيهات الامتحان

1.  يجب الانتباه إلى الوحدات المستخدمة في المسائل الفيزيائية.
2.  يجب التأكد من استخدام الصيغ الرياضية الصحيحة في حل المسائل.
3.  يجب الانتباه إلى العلامات الإيجابية والسلبية في المسائل الفيزيائية.
4.  يجب التأكد من قراءة المسألة بدقة قبل حلها.

## قائمة المراجعة

1.  تعريف المتجه الموضع.
2.  تعريف الإزاحة.
3.  تعريف السرعة.
4.  تعريف العجلة.
5.  استخدام التفاضل لحساب السرعة والعجلة.
6.  استخدام التكامل لإيجاد الإزاحة والسرعة.
7.  تفسير المخططات البيانية للحركة الخطية.
8.  حل المسائل الفيزيائية باستخدام المفاهيم الرياضية للحركة الخطية.
9.  تطبيق القوانين والثوابت الفيزيائية على مشاكل الحركة الخطية.
10. فهم المفاهيم الأساسية للحركة الخطية.
11. استخدام الصيغ الرياضية الصحيحة في حل المسائل.
12. الانتباه إلى الوحدات المستخدمة في المسائل الفيزيائية.

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

فهم متجه الموضع

تحديد موقع جسيم باستخدام متجه الموضع بالنسبة لنقطة مرجعية.

تمييز بين الإزاحة والمسافة

فهم الفرق بين الإزاحة (تغير الموضع) والمسافة المقطوعة.

حساب السرعة المتوسطة

حساب القياس الجبري لمتجه السرعة المتوسطة خلال فترة زمنية معينة.

فهم السرعة اللحظية

تعريف السرعة اللحظية كمتجه سرعة في لحظة معينة.

حساب السرعة من الموضع

استخدام التفاضل لإيجاد متجه السرعة من دالة الموضع.

حساب العجلة من السرعة

استخدام التفاضل لإيجاد متجه العجلة من دالة السرعة.

إيجاد الموضع من السرعة بالتكامل

استخدام التكامل لإيجاد دالة الموضع من دالة السرعة، مع الأخذ في الاعتبار الشروط الابتدائية.

إيجاد السرعة من العجلة بالتكامل

استخدام التكامل لإيجاد دالة السرعة من دالة العجلة، مع الأخذ في الاعتبار الشروط الابتدائية.

تفسير منحنيات الموضع-الزمن

تفسير ميل منحنى الموضع-الزمن كسرعة، والمساحة كإزاحة.

تفسير منحنيات السرعة-الزمن

تفسير ميل منحنى السرعة-الزمن كعجلة، والمساحة كإزاحة.

تفسير منحنيات العجلة-الزمن

تفسير المساحة تحت منحنى العجلة-الزمن كتغير في السرعة.

حل مسائل باستخدام التفاضل والتكامل

تطبيق التفاضل والتكامل لحل مسائل الحركة الخطية، بما في ذلك إيجاد الموضع، السرعة، والعجلة.

حساب المسافة الكلية

حساب المسافة الكلية المقطوعة خلال فترة زمنية معينة، مع الأخذ في الاعتبار تغيير الاتجاه.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: تفاضل وتكامل الدوال المتجهة - 1

LO-1

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد