ملخص الرياضيات التطبيقية تالتة ثانوي متطلبات قبلية في الديناميكا

أهداف التعلم

• تعريف كمية الحركة وحساب مقدارها واتجاهها ووحداتها.
• حساب التغير في كمية الحركة.
• تذكر قوانين نيوتن الثلاثة للحركة وتطبيقها.
• كتابة معادلة الحركة لجسم ثابت الكتلة والتمييز بين الكتلة والوزن.
• حل مسائل على الحركة على مستوى أفقي ومائل أملس وخشن وعلى الحركة المقاومة.

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• كمية الحركة (H): كمية متجهة في اتجاه سرعة الجسم، ومقدارها لحظياً حاصل ضرب كتلة الجسم في سرعته: H = m v. وفي الحركة المستقيمة يمكن استخدام القياسين الجبريين H = m v.
• وحدة كمية الحركة: وحدة الكتلة × وحدة السرعة، وفي النظام الدولي كجم.م/ث. وعند ثبوت الكتلة تتناسب H مع v، ولذلك تسمى كمية الحركة الخطية.
• التغير في كمية الحركة: ΔH = m Δv = m (v₂ − v₁).
• القصور الذاتي: ميل الأجسام للاحتفاظ بحالتها من السكون أو الحركة المنتظمة في خط مستقيم.
• القوة: المؤثر الذي يغير أو يحاول تغيير حالة الجسم من السكون أو الحركة المنتظمة في خط مستقيم.
• الوزن: قوة جذب الأرض للجسم؛ وزن جسم كتلته 1 كجم يساوي 1 ث.كجم = 9.8 نيوتن.

القوانين والنظريات والقواعد

قانون نيوتن الأول (قانون القصور الذاتي)

يبقى الجسم على حالته من السكون أو الحركة المنتظمة في خط مستقيم
ما لم تؤثر عليه قوة خارجية غير متزنة

ملاحظة: "القوة" هنا هي محصلة القوى المؤثرة على الجسم، والسكون والحركة المنتظمة حالتان طبيعيتان عندما تنعدم المحصلة.

قانون نيوتن الثاني

d(m v)/dt ∝ F          ⇒   m a = F      (للكتلة الثابتة)

شرط التطبيق: نختار وحدات مطلقة للقوة (نيوتن، داين) حتى يصير ثابت التناسب 1. اتجاه a هو اتجاه محصلة القوى.

وحدات القوة والكتلة

1 كجم × 1 م/ث² = 1 نيوتن          1 ث.كجم = 9.8 نيوتن
1 جم × 1 سم/ث² = 1 داين           1 ث.جم = 980 داين

قانون نيوتن الثالث

لكل فعل رد فعل مساوٍ له في المقدار ومضاد له في الاتجاه

حركة جسم على مستوى مائل أملس (زاوية الميل θ)

m a = F ∓ m g sin θ        (الإشارة حسب اتجاه الحركة بالنسبة لانحدار المستوى)
N = m g cos θ

وعلى المستوى المائل الخشن للجسم المنزلق إلى أسفل: m a = m g sin θ − μk N ، حيث N = m g cos θ.

مقاومة تتناسب مع مربع السرعة

R ∝ v²   ⇒   R₁ ÷ R₂ = v₁² ÷ v₂²

تبلغ السرعة أقصاها عندما تساوي المقاومة قوة الجذب المنتظمة.

أمثلة محلولة

مثال ١ (سهل): احسب كمية حركة دراجة كتلتها 35 كجم تتحرك بسرعة منتظمة 12 م/ث نحو الشرق.

• H = m v = 35 × 12 = 420 كجم.م/ث نحو الشرق.

مثال ٢ (متوسط): كرة مطاطية كتلتها 200 جم تسقط من ارتفاع 90 سم على سطح أفقي وترتد إلى ارتفاع 40 سم. أوجد مقدار التغير في كمية حركتها بوحدة كجم.م/ث.

• سرعة الاصطدام: v₁ = √(2 × 980 × 90) = 420 سم/ث إلى أسفل = 4.2 م/ث.
• سرعة الارتداد: v₂ = √(2 × 980 × 40) = 280 سم/ث إلى أعلى = 2.8 م/ث.
• نأخذ الاتجاه إلى أعلى موجباً: ΔH = 0.2 × (2.8 − (−4.2)) = 1.4 كجم.م/ث.

مثال ٣ (صعب): جسم كتلته 12 كجم على مستوى أملس يميل 30° على الأفقي، تؤثر عليه قوة 88.8 نيوتن في اتجاه خط أكبر ميل إلى أعلى. أوجد سرعته بعد 14 ث من بدء الحركة، ثم المسافة التي يقطعها بعد زوال القوة حتى يسكن لحظياً.

• m g sin θ = 12 × 9.8 × ½ = 58.8 نيوتن، فـ 12 a = 88.8 − 58.8 ⇒ a = 2.5 م/ث².
• v = 0 + 2.5 × 14 = 35 م/ث.
• بعد زوال القوة: a = −g sin θ = −4.9 م/ث²، و0 = 35² − 2 × 4.9 × S ⇒ S = 125 م.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط كمية الحركة (متجه) بالطاقة؛ لها اتجاه وقد تكون سالبة في القياس الجبري.
• نسيان تحويل الوحدات: 72 كم/س = 20 م/ث، و1 ث.كجم = 9.8 نيوتن، والجرام إلى كيلوجرام.
• استخدام الوزن بالنيوتن مع الكتلة في معادلة الحركة دون توحيد الوحدات.
• في السقوط في وسط مقاوم (رمل مثلاً): التعجيل سالب والمقاومة = m g + m|a| وليست m|a| فقط.
• عند تغير الاتجاه (ارتداد كرة) نسيان أن التغير في السرعة هو الفرق الاتجاهي (جمع المقدارين).
• اعتبار أن القوة لازمة لاستمرار الحركة المنتظمة؛ الحركة المنتظمة تعني محصلة صفراً.

قائمة المراجعة

1. H = m v وهي متجهة في اتجاه السرعة.
2. وحدة كمية الحركة كجم.م/ث.
3. ΔH = m (v₂ − v₁).
4. قانون نيوتن الأول: القصور الذاتي.
5. القوة هي المؤثر الذي يغير حالة السكون أو الحركة المنتظمة.
6. قانون نيوتن الثاني: m a = F للكتلة الثابتة.
7. اتجاه التعجيل هو اتجاه المحصلة.
8. 1 ث.كجم = 9.8 نيوتن ، 1 ث.جم = 980 داين.
9. قانون نيوتن الثالث: الفعل ورد الفعل متساويان ومتضادان.
10. على المستوى المائل: مركبة الوزن m g sin θ موازية له.
11. الاحتكاك الحركي μk N حيث N = m g cos θ.
12. السرعة العظمى عند تساوي المقاومة وقوة الجذب.
13. المقاومة المتناسبة مع v² : R₁/R₂ = (v₁/v₂)².
14. ثلاثة أنواع من الحالات: سكون، حركة منتظمة (محصلة صفر)، حركة بتعجيل.

جميع القوانين دفعة واحدة

H = m v ,  ΔH = m (v₂ − v₁)
m a = F      ;  1 ث.كجم = 9.8 N
v = v₀ + a t ,  s = v₀ t + ½ a t² ,  v² = v₀² + 2 a s
مائل أملس:  m a = F ∓ m g sin θ
مائل خشن:   m a = m g sin θ − μk m g cos θ
R₁/R₂ = (v₁/v₂)²