ملخص الرياضيات التطبيقية تالتة ثانوي الازدواجات والازدواج المحصل

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• إذا كانت محصلة القوى المؤثرة على جسم تساوي صفراً وكانت القوى متلاقية فالجسم يبقى ساكناً. أما قوتان متوازيتان متساويتان في المقدار ومتضادتان في الاتجاه فلا يمكن استبدالهما بقوتين غير متوازيتين، وتسببان دوراناً للجسم.
• الازدواج: مجموعة مكونة من قوتين متساويتين في المقدار ومتضادتين في الاتجاه وخطا عملهما مختلفان.
• ذراع الازدواج (L): البعد العمودي بين خطي عمل القوتين.
• عزم الازدواج: مجموع عزمي القوتين حول أي نقطة، ومعياره F × L.
• تكافؤ ازدواجين: ازدواجان في مستوى واحد يكونان متكافئين إذا تساوى القياسان الجبريان لعزميهما.
• الازدواج المحصل: ازدواج عزمه يساوي مجموع عزوم الازدواجات المستوية المعطاة.

القوانين والنظريات والقواعد

عزم الازدواج

‖M‖ = F × L          حيث F مقدار إحدى القوتين و L ذراع الازدواج
M = BA × F           (عزم القوة F المؤثرة في A حول نقطة B على خط عمل القوة الأخرى)

ملاحظة: عزم الازدواج متجه ثابت لا يتوقف على موضع النقطة المأخوذ حولها العزم. يمكن نقل الازدواج في مستواه أو إلى مستوى مواز أو تدويره في مستواه دون تغيير أثره.

اتزان جسم تحت تأثير ازدواجين أو أكثر (في مستوى واحد)

M₁ + M₂ + ... + Mn = 0   (المجموع الجبري للعزوم)

تكافؤ ازدواجين

M₁ = M₂   (القياسان الجبريان متساويان)   ⇒  F₁ × L₁ = F₂ × L₂

شرطا تكافؤ مجموعة قوى لازدواج

(١) محصلة القوى = صفر (أو مجموع المركبات الجبرية في أي اتجاه = صفر)
(٢) مجموع عزوم القوى حول أي نقطة ≠ صفر

ملاحظة: تحقق أحد الشرطين فقط لا يكفي؛ فإذا تلاشت محصلة قوى متلاقية في نقطة كانت في اتزان وليست ازدواجاً.

نظرية المثلث والمضلع

ثلاث قوى ممثلة تمثيلاً تاماً بأضلاع مثلث مأخوذة في ترتيب دوري واحد تكافئ ازدواجاً
معيار عزمه = ٢ × مساحة المثلث × مقدار القوة الممثلة للوحدة الطولية (m)

وتعمم على أي مضلع مغلق: معيار العزم = ٢ × مساحة المضلع × m.

ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة

إذا كان مجموع عزوم القوى حول ثلاث نقاط (ليست على استقامة واحدة) يساوي ثابتاً ≠ صفر
فإن المجموعة تكافئ ازدواجاً عزمه يساوي هذا الثابت

الازدواج المحصل

M = M₁ + M₂ + ... + Mn

أمثلة محلولة

مثال ١ (سهل): مربع ABCD طول ضلعه 10 سم تؤثر قوتان مقدار كل منهما 40 ث.كجم في AD وCB، وقوتان مقدار كل منهما 70 ث.كجم في AB وCD. أوجد الازدواج المحصل.

• ازدواج القوتين 40: M₁ = 40 × 10 = 400 ث.كجم.سم.
• ازدواج القوتين 70: M₂ = −70 × 10 = −700 ث.كجم.سم.
• الازدواج المحصل = 400 − 700 = −300 ث.كجم.سم.

مثال ٢ (متوسط): ABC مثلث فيه AB = BC = 17 سم وAC = 16 سم، وقوى مقاديرها 340 و340 و320 نيوتن تؤثر في AB وBC وCA. أثبت أنها تكافئ ازدواجاً وأوجد عزمه.

• 340 ÷ 17 = 340 ÷ 17 = 320 ÷ 16 = 20، فالمقدار الممثل للوحدة m = 20 نيوتن لكل سم والقوى مأخوذة في ترتيب دوري.
• ارتفاع المثلث من B على AC: √(17² − 8²) = 15 سم، فمساحته = ½ × 16 × 15 = 120 سم².
• معيار العزم = ٢ × 120 × 20 = 4800 نيوتن.سم.

مثال ٣ (صعب): لوح مربع ABCD طول ضلعه 60 سم ووزنه 200 جم.ث في نقطة تقاطع قطريه، معلق بمسمار في ثقب قرب A في مستوى رأسي، ويؤثر في مستواه ازدواج عزمه 3000√2 جم.ث.سم. أوجد زاوية ميل AC على الرأسي عند الاتزان.

• الازدواج لا يتزن إلا بازدواج، فرد فعل المسمار والوزن يكونان ازدواجاً عزمه 200 × (30√2) × sin θ حيث AM = 30√2 سم.
• 3000√2 = 200 × 30√2 × sin θ ⇒ sin θ = ½ ⇒ θ = 30° (أو 150°).

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• اعتبار أي قوتين متساويتين متضادتين ازدواجاً حتى لو كانتا على خط عمل واحد؛ يشترط اختلاف خطي العمل.
• استخدام المسافة بين نقطتي تأثير القوتين بدل البعد العمودي بين خطي العمل.
• الاكتفاء بشرط تلاشي المحصلة لإثبات الازدواج؛ لا بد من أن يكون مجموع العزوم غير صفر.
• جمع عزوم الازدواجات دون مراعاة الإشارة (اتجاه الدوران).
• القول إن عزم الازدواج يتغير بتغيير نقطة العزم؛ هو ثابت.
• تغيير الذراع مع الإبقاء على القوة: إذا زاد الذراع فلا بد أن تقل القوتان ليبقى العزم ثابتاً في الازدواجات المتكافئة.

قائمة المراجعة

1. الازدواج: قوتان متساويتان متضادتان وخطا عملهما مختلفان.
2. عزم الازدواج = F × L حيث L البعد العمودي بين خطي العمل.
3. عزم الازدواج متجه ثابت لا يتوقف على نقطة العزم.
4. يتزن جسم تحت ازدواجات مستوية إذا كان مجموع عزومها الجبري صفراً.
5. ازدواجان متكافئان إذا تساوى عزماهما الجبريان.
6. محصلة قوى الازدواج = صفر.
7. مجموعة قوى تكافئ ازدواجاً إذا كانت المحصلة صفراً ومجموع العزوم ≠ صفر.
8. تلاشي المحصلة وحده لا يكفي لإثبات الازدواج.
9. ثلاث قوى ممثلة بأضلاع مثلث في ترتيب دوري تكافئ ازدواجاً.
10. معيار عزم هذا الازدواج = ٢ × المساحة × m.
11. التعميم يشمل أي مضلع مغلق.
12. ثبات مجموع العزوم حول ثلاث نقاط غير مستقيمة يعني ازدواجاً بهذا العزم.
13. الازدواج المحصل عزمه مجموع عزوم الازدواجات.
14. الازدواج لا يتزن إلا مع ازدواج آخر.

جميع القوانين دفعة واحدة

‖M‖ = F × L
M = BA × F
اتزان ازدواجات:  ΣM = 0
تكافؤ:  M₁ = M₂
ازدواج:  R = 0  و  ΣM ≠ 0
مثلث/مضلع:  ‖M‖ = ٢ × المساحة × m
الازدواج المحصل:  M = ΣMᵢ