الرياضيات التطبيقية - الفصل 4: الازدواجات والازدواج المحصل

# ملخص: الازدواجات والازدواج المحصل

> **المادة:** applied_math | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم

1. تعريف الازدواج وتحديد مكوناته.
2. حساب عزم الازدواج.
3. معرفة أن مجموعة من القوى تكافئ ازدواجًا.
4. حساب الازدواج المحصل.
5. فهم概念 الازدواجات والازدواج المحصل وتطبيقاته في الحياة العملية.
6. القدرة على حل المسائل المتعلقة بالازدواجات والازدواج المحصل.

## المصطلحات والتعريفات

* **الازدواج**: نظام من القوى يتكون من قوتين متساويتين في المقدار ومتضادتين في الاتجاه ولا يجمعهما خط عمل واحد.
* **عزم الازدواج**: حاصل ضرب معيار إحدى قوتي الازدواج في البعد العمودي بينهما، ويرمز له بالرمز جـ.
* **اتزان الجسم**: يقال لجسم متماسك إنه متزن تحت تأثير ازدواجين مستويين إذا كان مجموع عزميهما هو المتجه الصفري.
* **ازدواجات متكافئة**: يقال لازدواجين مستويين أنهما متكافئان إذا تساوى القياسان الجبريان لمتجهي عزميهما.

## الازدواجات

الازدواجات هي قوتان متساويتان في المقدار ومتضادتان في الاتجاه ولا يجمعهما خط عمل واحد. يمكن الاستعاضة عن قوتين متوازيتين ومتضادتين في الاتجاه بازدواج. الازدواج هو نظام من القوى يتكون من قوتين متساويتين في المعيار ومتضادتين في الاتجاه ولا يجمعهما خط عمل واحد.

### عزم الازدواج

يعرف عزم الازدواج بأنه مجموع عزوم قوتي الازدواج حول أي نقطة في الفراغ، ومعياره يساوي حاصل ضرب معيار إحدى القوتين في البعد العمودي بينهما. ويرمز له بالرمز جـ.

$$ ||ج|| = ق × ل $$

حيث:
- $||ج||$: معيار عزم الازدواج.
- $ق$: معيار إحدى القوتين.
- $ل$: ذراع الازدواج (البعد العمودي بين القوتين).

### مثال

أوجد القياس الجبري لعزم الازدواج في كل من الحالات الآتية:

(أ) القياس الجبري لكلا العزمين في شكل (أ) يساوي -400 نيوتن.سم.
(ب) القياس الجبري لكلا العزمين في شكل (ب) يساوي +12 نيوتن.سم.

## الازدواج المحصل

### اتزان الجسم تحت تأثير ازدواجين مستويين

يقال لجسم متماسك إنه متزن تحت تأثير ازدواجين مستويين إذا كان مجموع عزميهما هو المتجه الصفري.

$$ \vec{ج_1} + \vec{ج_2} = \vec{0} $$

### مثال

قضيب خفيف تؤثر فيه القوى الموضحة بالشكل. أثبت أن القضيب متزن.

### حل

القوتان 10 نيوتن تكونان ازدواجًا، القياس الجبري لعزمه $ ج_1 = -10 \times 2 = -20 $ نيوتن.متر.
القوتان 5 نيوتن تكونان ازدواجًا، القياس الجبري لعزمه $ ج_2 = 5 \times 4 = 20 $ نيوتن.متر.
إذن: $ ج_1 + ج_2 = -20 + 20 = 0 $، وبالتالي القضيب متزن.

## تطبيقات وأمثلة محلولة

### مثال 1

إذا كانت القوتان $ \vec{ق} = (أ, 2) $ و $ -\vec{ق} $ تكونان ازدواجًا وتؤثران في النقطتين (1, ب) و (3, 4) على الترتيب، أوجد قيمة كل من أ، ب، ثم أوجد عزم الازدواج.

### حل

بما أن القوتان تكونان ازدواجًا، فإن:
$$ \vec{ق_1} = -\vec{ق_2} $$
$$ (أ, 2) = -(3, 4) $$
إذن:
$$ أ = -3 $$
$$ 2 = -4 $$
وهذا غير ممكن، بالتالي يجب أن تكون القوتان متضادتين في الاتجاه.

### مثال 2

قضيب خفيف مثبت عند طرفه. أثر على القضيب ازدواج معيار عزمه 600 ث.جم.سم واتجاهه عمودي على المستوى الرأسي الذي يمكن للقضيب الدوران فيه. عَيّن مقدار واتجاه رد فعل المفصل وزاوية ميل القضيب على الرأسي.

## تنبيهات الامتحان

1. يجب أن تكون القوتان في الازدواج متساويتين في المقدار ومتضادتين في الاتجاه.
2. يجب أن يكون البعد بين قوتي الازدواج معروفًا لحساب عزم الازدواج.
3. يجب أن تكون القوى في الازدواج متوازية ولا يجمعهما خط عمل واحد.
4. يجب أن يكون مجموع عزمي الازدواجين هو المتجه الصفري لاتزان الجسم تحت تأثير ازدواجين مستويين.

## قائمة المراجعة

1. تعريف الازدواج.
2. تحديد مكونات الازدواج.
3. حساب عزم الازدواج.
4. معرفة أن مجموعة من القوى تكافئ ازدواجًا.
5. حساب الازدواج المحصل.
6. فهم概念 الازدواجات والازدواج المحصل وتطبيقاته في الحياة العملية.
7. القدرة على حل المسائل المتعلقة بالازدواجات والازدواج المحصل.
8. معرفة أن الازدواجات هي قوتان متساويتان في المقدار ومتضادتان في الاتجاه ولا يجمعهما خط عمل واحد.
9. معرفة أن عزم الازدواج هو حاصل ضرب معيار إحدى قوتي الازدواج في البعد العمودي بينهما.
10. معرفة أن اتزان الجسم تحت تأثير ازدواجين مستويين يحدث عندما يكون مجموع عزميهما هو المتجه الصفري.
11. القدرة على حل الأمثلة المتعلقة بالازدواجات والازدواج المحصل.
12. فهم الأخطاء الشائعة في حل المسائل المتعلقة بالازدواجات والازدواج المحصل.

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

تعريف الازدواج

تحديد مفهوم الازدواج كقوتين متساويتين ومتضادتين وغير متلاقيتين.

2

مكونات الازدواج

تحديد مكونات الازدواج: القوتان، المقدار، الاتجاه، البعد العمودي.

3

حساب عزم الازدواج

حساب عزم الازدواج باستخدام العلاقة: العزم = القوة × البعد.

4

وحدة عزم الازدواج

تحديد وحدة قياس عزم الازدواج (نيوتن.متر، ثقل.جم.سم).

5

عزم الازدواج حول نقطة

إدراك أن عزم الازدواج ثابت ولا يعتمد على نقطة حساب العزوم.

6

الازدواج المحصل

حساب الازدواج المحصل لمجموعة من الازدواجات.

7

اتزان الازدواجات

تطبيق شرط اتزان الازدواجات (مجموع العزوم = صفر).

8

الازدواجات المتكافئة

تحديد الازدواجات المتكافئة (متساوية في العزم).

9

مسائل على الازدواجات

حل مسائل تطبيقية تتضمن حساب العزم، الاتزان، والازدواجات المتكافئة.

10

تحديد اتجاه الدوران

تحديد اتجاه دوران الجسم الناتج عن الازدواج.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: الازدواجات والازدواج المحصل - 1

LO-1

الازدواجات والازدواج المحصل