ملخص الرياضيات التطبيقية تالتة ثانوي محصلة القوى المتوازية المستوية

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• في الوحدة السابقة كانت خطوط عمل القوى تتلاقى في نقطة؛ أما هنا فالقوى تؤثر على جسم متماسك وخطوط عملها غير متلاقية بالضرورة، وتكون متوازية.
• قوتان متوازيتان متحدتا الاتجاه (متفقتان): لهما نفس الاتجاه.
• قوتان متوازيتان متضادتان في الاتجاه: اتجاهاهما متضادان.
• مجموعة قوى متوازية: يوجد لها محصلة (قوة واحدة تكافئها) ما لم يتلاشَ مجموعها الجبري.

القوانين والنظريات والقواعد

محصلة قوتين متوازيتين متحدتي الاتجاه

عند النقطتين A و B قوتان F₁ و F₂ في اتجاه واحد:

R = F₁ + F₂            (في نفس اتجاه القوتين)
F₁ × AC = F₂ × BC      (C نقطة تأثير المحصلة على AB)

خط عمل المحصلة يقسم المسافة بين خطي عمل القوتين داخلياً بنسبة عكسية لمقداريهما: AC ÷ CB = F₂ ÷ F₁، وتقع المحصلة أقرب للقوة الأكبر. وإذا تساوت القوتان فالمحصلة في منتصف AB.

محصلة قوتين متوازيتين متضادتين غير متساويتين (F₁ > F₂)

R = F₁ − F₂            (في اتجاه القوة الأكبر)
F₁ × AC = F₂ × BC      (C خارج AB من جهة القوة الأكبر)

خط العمل يقسم المسافة بين القوتين خارجياً من جهة القوة الأكبر بنسبة عكسية لمقداريهما.

نظرية العزوم للقوى المتوازية

مجموع عزوم عدد من القوى المتوازية المستوية حول أي نقطة في مستواها
= عزم محصلتها حول النقطة نفسها

ملاحظة: إثبات النظرية غير مطلوب، ويطبق على أكثر من قوتين بإيجاد محصلة كل قوتين تباعاً.

إزاحة إحدى القوتين

إذا تحركت القوة F₂ موازية لنفسها مسافة x في اتجاه AB فإن المحصلة تتحرك مسافة  F₂·x ÷ (F₁ + F₂)

محصلة مجموعة قوى متوازية

R = ΣF  (جبرياً بإشارة تحدد الاتجاه)
R × (بعد المحصلة عن نقطة) = Σ (عزوم القوى حول هذه النقطة)

أمثلة محلولة

مثال ١ (سهل): قوتان متوازيتان متحدتا الاتجاه 5 و7 نيوتن تؤثران في A و B حيث AB = 36 سم. أوجد المحصلة.

• R = 5 + 7 = 12 نيوتن في اتجاه القوتين.
• 5 × AC = 7 × (36 − AC) ⇒ 12 AC = 252 ⇒ AC = 21 سم.

مثال ٢ (متوسط): قوتان متوازيتان متضادتان 40 و100 نيوتن والمسافة بين خطي عملهما 240 سم. أوجد المحصلة.

• R = 100 − 40 = 60 نيوتن في اتجاه القوة 100 نيوتن.
• 100 × x = 40 × (x + 240) ⇒ 60x = 9600 ⇒ x = 160 سم من القوة الأكبر، وخارج القطعة الواصلة بين القوتين من جهتها.

مثال ٣ (صعب): خمس قوى متوازية في اتجاه واحد مقاديرها 30 و50 و20 و70 و40 نيوتن تؤثر في النقط A و B و C و D و E على استقامة واحدة حيث AB : BC : CD : DE = 2 : 3 : 4 : 7. أوجد المحصلة.

• R = 30 + 50 + 20 + 70 + 40 = 210 نيوتن.
• ليكن AB = 2x. بعد الأوضاع عن A: 0 ، 2x ، 5x ، 9x ، 16x.
• عزوم القوى حول A = 50(2x) + 20(5x) + 70(9x) + 40(16x) = 1470x ، وعزم المحصلة = 210 × AO.
• AO = 1470x ÷ 210 = 7x، أي تقسم AE داخلياً بنسبة 7 : 9 من جهة A (AO = 7x و OE = 9x).

تعيين قوة مجهولة: قوتان متوازيتان إحداهما 20 نيوتن ومحصلتهما 35 نيوتن في نفس اتجاه القوة المعلومة، والبعد بين خطي عمل القوة المعلومة والمحصلة 15 سم. القوة الثانية = 35 − 20 = 15 نيوتن في نفس الاتجاه، وبأخذ العزوم حول نقطة تأثير المحصلة: 20 × 15 = 15 × x ⇒ x = 20 سم، فالمسافة بين خطي القوتين = 35 سم.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• استخدام نسبة طردية بدل العكسية: القوة الأكبر أقرب إلى خط عمل المحصلة.
• في القوى المتضادة: وضع نقطة تأثير المحصلة بين القوتين؛ الصحيح أنها خارج القطعة من جهة القوة الأكبر.
• نسيان الإشارة عند جمع القوى المتضادة جبرياً.
• أخذ العزوم بإشارة موحدة رغم اختلاف اتجاه دوران القوى حول النقطة.
• قوتان متساويتان متضادتان: لا توجد قوة محصلة واحدة (هذه حالة الازدواج في الوحدة التالية).

قائمة المراجعة

1. القوى المتوازية المستوية تؤثر على جسم متماسك وخطوط عملها لا تتلاقى.
2. محصلة قوتين متحدتي الاتجاه: مجموعهما وفي اتجاههما.
3. خط عمل المحصلة يقسم المسافة داخلياً بنسبة عكسية لمقداري القوتين.
4. F₁ × AC = F₂ × BC.
5. محصلة قوتين متضادتين غير متساويتين: الفرق وفي اتجاه الأكبر.
6. خط عمل محصلة المتضادتين خارجي من جهة القوة الأكبر.
7. مجموع عزوم القوى المتوازية حول نقطة = عزم المحصلة حول النقطة نفسها.
8. لإيجاد قوة مجهولة نستخدم R = ΣF ثم العزوم حول نقطة مناسبة.
9. اختيار نقطة عزم تمر بها إحدى القوى يختصر الحل.
10. إذا تحركت F₂ مسافة x فالمحصلة تتحرك F₂x ÷ (F₁ + F₂).
11. قوتان متساويتان متحدتا الاتجاه: المحصلة في منتصف المسافة بينهما.
12. عند حساب العزوم نفرق بين الدوران مع عقارب الساعة وعكسها.
13. تتحدد المحصلة بمعرفة مقدارها واتجاهها ونقطة تأثيرها.

جميع القوانين دفعة واحدة

متحدتا الاتجاه:  R = F₁ + F₂ ,  F₁·AC = F₂·BC  (C داخل AB)
متضادتان:       R = F₁ − F₂ ,  F₁·AC = F₂·BC  (C خارج AB من جهة الأكبر)
Σ M (قوى متوازية) = M (المحصلة)
إزاحة المحصلة = F₂·x ÷ (F₁ + F₂)