ملخص الرياضيات التطبيقية تالتة ثانوي اتزان مجموعة من القوى المستوية

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• يكون الجسم المتماسك في اتزان تحت تأثير مجموعة قوى مستوية إذا تحقق شرطان معاً: (١) محصلة القوى تساوي المتجه الصفري. (٢) مجموع عزوم القوى حول أي نقطة يساوي صفراً.
• الشرطان لازمان وكافيان للاتزان.
• رد فعل الحامل (الوتد): القوة التي يؤثر بها الحامل على الجسم، وتساوي في المقدار الضغط الواقع على الحامل وتضاده في الاتجاه.
• الجسم المنتظم: يؤثر وزنه رأسياً إلى أسفل في منتصفه.
• الحائط أو الوتد الأملس: رد فعله عمودي على الحائط (أو على القضيب عند نقطة التماس مع الوتد).
• الأرض الخشنة: رد فعلها له مركبة رأسية R₁ ومركبة أفقية (الاحتكاك) F ≤ μ R₁.

القوانين والنظريات والقواعد

شروط الاتزان العامة

ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣM = 0 (حول أي نقطة)

حيث ΣFx و ΣFy مجموع المركبات الجبرية للقوى في اتجاهي i و j، وΣM مجموع القياسات الجبرية للعزوم.

اتزان القوى المتوازية (مثل قضيب أفقي على حاملين)

مجموع القوى لأعلى = مجموع القوى لأسفل
مجموع العزوم حول نقطة (يفضل نقطة مجهولة عندها قوة) = 0

ملاحظة: اختيار نقطة عزم يمر بها خط عمل قوة مجهولة يحذفها من المعادلة.

اتزان سلم على أرض خشنة وحائط أملس

R₁ = مجموع الأوزان (رد فعل الأرض الرأسي)
F = R₂      (الاحتكاك يساوي رد فعل الحائط الأفقي)
F ≤ μ R₁    وعند وشك الانزلاق F = μ R₁
عزوم القوى حول القاعدة A = 0

وعند وجود أرض ملساء وحبل أفقي: يساوي الشد رد فعل الحائط الأفقي.

الجسم على وشك الحركة

عند وشك انزلاق أو دوران يصبح الاحتكاك نهائياً F = μ R، أو يتلاشى أحد ردي الفعل (مثل رد فعل حامل يرتفع عنه القضيب).

أمثلة محلولة

مثال ١ (سهل): لوح خشبي كتلته 30 كجم لكل متر من طوله، طوله 6 م، يرتكز أفقياً على حاملين عند طرفيه A و B ويحمل صندوقاً كتلته 240 كجم يبعد 4 م عن B. أوجد الضغط على كل حامل.

• وزن اللوح = 180 ث.كجم في منتصفه (على بعد 3 م من B).
• R_A + R_B = 420.
• العزوم حول B: 6 R_A − 180 × 3 − 240 × 4 = 0 ⇒ R_A = 250 ث.كجم، ومنها R_B = 170 ث.كجم.

مثال ٢ (متوسط): قضيب منتظم AB طوله 90 سم ووزنه 60 نيوتن معلق أفقياً بخيطين رأسيين عند طرفيه. عين موضع وزن 150 نيوتن يجعل الشد عند A ضعف الشد عند B.

• نفرض الشد عند B = T وعند A = 2T، فـ 3T = 150 + 60 ⇒ T = 70 نيوتن.
• العزوم حول A (الوزن 150 على بعد x من A): 150x + 60 × 45 − 70 × 90 = 0 ⇒ 150x = 3600 ⇒ x = 24 سم.

مثال ٣ (صعب): سلم منتظم وزنه 20 ث.كجم يرتكز بطرفه على أرض أفقية خشنة وبطرفه الآخر على حائط رأسي أملس ويميل على الأفقي بزاوية 60°، ومعامل الاحتكاك 1/(2√3). أثبت أن أقصى مسافة تصعدها فتاة وزنها 60 ث.كجم هي نصف طول السلم.

• رأسياً: R₁ = 20 + 60 = 80 ث.كجم. أفقياً: R₂ = F = μ R₁ = 80 ÷ (2√3) = 40/√3 (عند وشك الانزلاق).
• العزوم حول القاعدة A (طول السلم l وتبعد الفتاة x): R₂ · l sin 60° = 20 · (l/2) cos 60° + 60 · x cos 60°.
• (40/√3)(√3/2) l = 5l + 30x ⇒ 20l = 5l + 30x ⇒ x = l/2.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• وضع وزن اللوح غير المنتظم في المنتصف؛ المنتظم فقط وزنه في منتصفه.
• نسيان أن رد الفعل الأفقي للحائط الأملس ينتج احتكاكاً عند القاعدة (F = R₂).
• أخذ العزوم حول نقطة لا يمر بها خط عمل أي قوة مجهولة فيطول الحل.
• استخدام F = μ R₁ في كل الحالات؛ هي صحيحة فقط عند وشك الانزلاق.
• عند الاتزان على وشك الدوران حول حامل ينعدم رد فعل الحامل الآخر.
• عدم تحويل الكتلة إلى وزن عند استخدام النيوتن.

قائمة المراجعة

1. شرطا الاتزان: المحصلة = صفر، ومجموع العزوم = صفر.
2. الشرطان لازمان وكافيان.
3. بالمركبات: ΣFx = 0 ، ΣFy = 0 ، ΣM = 0.
4. وزن الجسم المنتظم في منتصفه.
5. رد فعل الحامل = الضغط عليه في المقدار.
6. في القوى المتوازية: مجموع القوى لأعلى = مجموعها لأسفل.
7. الأفضل أخذ العزوم حول نقطة عليها قوة مجهولة.
8. الحائط الأملس رد فعله عمودي عليه.
9. الأرض الخشنة: رد فعل رأسي R₁ واحتكاك F.
10. عند وشك الانزلاق F = μ R₁.
11. عند وشك الدوران حول حامل يتلاشى رد فعل الحامل الآخر.
12. في السلم على أرض ملساء بحبل أفقي يساوي الشد رد فعل الحائط.
13. الشد في الحبل يزداد كلما صعد الرجل السلم.
14. الوتد الأملس يعطي رد فعل عمودياً على القضيب عند نقطة التماس.

جميع القوانين دفعة واحدة

ΣFx = 0 ,  ΣFy = 0 ,  ΣM = 0
قضيب على حاملين: R_A + R_B = ΣW  ،  ΣM_B = 0
سلم (أرض خشنة / حائط أملس): R₁ = ΣW ,  F = R₂ ,  F ≤ μ R₁ ,  ΣM_A = 0
سلم (أرض ملساء / حبل أفقي): T = R₂ ,  R₁ = ΣW ,  ΣM_A = 0