الرياضيات التطبيقية - الفصل 3: اتزان مجموعة من القوى المستوية

# ملخص: اتزان مجموعة من القوى المستوية

> **المادة:** applied_math | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم
1. فهم شروط الاتزان لمجموعة من القوى المستوية.
2. تطبيق معادلات الاتزان لحل المسائل المتعلقة بالقوى المستوية.
3. تحليل تأثير القوى على الأجسام في حالات الاتزان.
4. حل الأمثلة العملية التي تتضمن اتزان مجموعة من القوى المستوية.
5. فهم كيفية تطبيق شروط الاتزان في حل المسائل المختلفة.
6. القدرة على تحليل وتفسير النتائج التي تتم الحصول عليها من خلال تطبيق شروط الاتزان.

## المصطلحات والتعريفات
- **اتزان**: حالة يكون فيها الجسم في حالة سكون أو حركة منتظمة، ولا يتغير اتجاهه أو سرعته.
- **قوى مستوية**: قوى تعمل في مستوى واحد، وتتسبب في حركة الجسم في هذا المستوى.
- **شروط الاتزان**: شروط يجب أن تتحقق لكي يكون الجسم في حالة اتزان، وهي أن تكون محصلة القوى تساوي صفرًا، وأن يكون مجموع العزوم حول أي نقطة يساوي صفرًا.
- **عزوم**: قوى تعمل على الجسم وتتسبب في دوران الجسم حول نقطة معينة.

## اتزان مجموعة من القوى المستوية
اتزان مجموعة من القوى المستوية هو حالة يكون فيها الجسم في حالة سكون أو حركة منتظمة، ولا يتغير اتجاهه أو سرعته، بسبب أن القوى التي تعمل عليه متزنة. شروط الاتزان لمجموعة من القوى المستوية هي:
1. أن تكون محصلة القوى تساوي صفرًا: $$ \vec{F} = \vec{0} $$
2. أن يكون مجموع العزوم حول أي نقطة يساوي صفرًا: $$ \Sigma \vec{\tau} = \vec{0} $$

## تطبيقات وأمثلة محلولة
### مثال 1: رجلان يحملان لوحًا من الخشب
رجلان أ، ب يحملان لوحًا من الخشب طوله 4 متر ووزنه 50 كجم يؤثر في منتصفه. يحمل صندوقًا وزنه 30 كجم. أوجد الضغط على كتف كل رجل، ثم عين على أي نقطة من اللوح يكون موضع كتف الرجل أ بحيث يتحمل الرجلان نفس الضغط.

### حل
بما أن اللوح منتظم، فإن وزنه يؤثر في نقطة منتصفه.
كتلة اللوح = 50 كجم
وزن اللوح = 50 ث.كجم
وزن الصندوق = 30 ث.كجم

مجموع القياسات الجبرية للقوى في الاتجاه العمودي على القضيب = صفر
$$ R_A + R_B - 50 - 30 = 0 $$
$$ R_A + R_B = 80 $$

مجموع عزوم القوى حول أ = صفر
$$ (30 \times 1) + (50 \times 2) - (R_B \times 4) = 0 $$
$$ 30 + 100 - 4R_B = 0 $$
$$ 4R_B = 130 $$
$$ R_B = 32.5 \text{ ث.كجم} $$

بالتعويض في المعادلة الأولى:
$$ R_A = 80 - 32.5 = 47.5 \text{ ث.كجم} $$

### مثال 2: اتزان مجموعة من القوى المتوازية المستوية
قضيب منتظم طوله 100 سم ووزنه 30 نيوتن معلق في وضع أفقي بخيطين رأسيين من طرفيه أ، ب. يعلق ثقل مقداره 18 نيوتن حتى يكون مقدار الشد عند أ ضعف مقداره عند ب. أوجد بعد الثقل عن أ.

### حل
نفرض أن الثقل 18 نيوتن معلق من نقطة تبعد عن أ مسافة س سم.

$$ \Sigma F_y = 0 $$
$$ ش_أ + ش_ب - 30 - 18 = 0 $$
بما أن $ ش_أ = 2 ش_ب $، إذن:
$$ 2 ش_ب + ش_ب = 48 $$
$$ 3 ش_ب = 48 $$
$$ ش_ب = 16 \text{ نيوتن} $$
$$ ش_أ = 32 \text{ نيوتن} $$

مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى حول أ يساوي صفرًا:
$$ (18 \times س) + (30 \times 50) - (ش_ب \times 100) = 0 $$
$$ 18س + 1500 - 1600 = 0 $$
$$ 18س = 100 $$
$$ س = \frac{100}{18} = 5.56 \text{ سم} $$

## تنبيهات الامتحان
1. يجب أن تتحقق شروط الاتزان لمجموعة من القوى المستوية، وهي أن تكون محصلة القوى تساوي صفرًا، وأن يكون مجموع العزوم حول أي نقطة يساوي صفرًا.
2. يجب أن تتم معالجة القوى والعزوم في اتجاهاتها الصحيحة، وأن تتم مراعاة الإشارات الجبرية للقوى والعزوم.
3. يجب أن تتم مراعاة جميع القوى والعزوم التي تعمل على الجسم، وأن تتم معالجتها بشكل صحيح.
4. يجب أن تتم الفحصات بشكل دقيق، وأن تتم معالجة جميع الحالات الممكنة.

## قائمة المراجعة
1. شروط الاتزان لمجموعة من القوى المستوية.
2. معادلات الاتزان لمجموعة من القوى المستوية.
3. كيفية تطبيق شروط الاتزان في حل المسائل المختلفة.
4. كيفية تحليل وتفسير النتائج التي تتم الحصول عليها من خلال تطبيق شروط الاتزان.
5. أمثلة محلولة لاتزان مجموعة من القوى المستوية.
6. تنبيهات الامتحان لاتزان مجموعة من القوى المستوية.
7. قائمة مراجعة لاتزان مجموعة من القوى المستوية.
8. كيفية حل المسائل التي تتضمن اتزان مجموعة من القوى المستوية.
9. كيفية تطبيق شروط الاتزان في حل المسائل العملية.
10. كيفية تحليل وتفسير النتائج التي تتم الحصول عليها من خلال تطبيق شروط الاتزان في حل المسائل العملية.
11. أمثلة عملية لاتزان مجموعة من القوى المستوية.
12. كيفية معالجة القوى والعزوم في اتجاهاتها الصحيحة.

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

تحليل القوى المتوازية

تحديد القوى المؤثرة على جسم متزن في بعدين، ورسم مخطط الجسم الحر (FBD).

2

حساب محصلة القوى

تطبيق معادلات الاتزان (∑F_x = 0, ∑F_y = 0) لإيجاد محصلة القوى المؤثرة.

3

حساب عزم القوة

حساب عزم قوة حول نقطة معينة، مع الأخذ في الاعتبار الإشارة.

4

تطبيق معادلة العزوم

تطبيق معادلة الاتزان العزمي (∑M = 0) لحساب العزوم حول نقطة.

5

اتزان قضيب منتظم

تحليل اتزان قضيب منتظم معلق أو مرتكز على نقاط دعم، وإيجاد ردود الأفعال.

6

اتزان قضيب غير منتظم

تحديد مركز ثقل قضيب غير منتظم من خلال تحليل اتزانه.

7

تحليل سلم على جدار وأرض

تحليل القوى المؤثرة على سلم يرتكز على أرض وجدار، وإيجاد ردود الأفعال وقوى الاحتكاك.

8

حساب أقصى مسافة للتحرك

تحديد أقصى مسافة يمكن لجسم أن يتحركها على جسم متزن دون فقدان الاتزان.

9

تحليل اتزان دراجة نارية

حساب ردود فعل الأرض على عجلات دراجة نارية في حالات مختلفة.

10

حل مسائل على عزم القوى

تطبيق مبادئ عزم القوى لحل مسائل متنوعة تتضمن قضبانًا وأوزانًا وحوامل.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: اتزان مجموعة من القوى المستوية - 1

LO-1

اتزان مجموعة من القوى المستوية