ملخص الرياضيات التطبيقية تالتة ثانوي متطلبات قبلية في الاستاتيكا (الاحتكاك)

أهداف التعلم

• التمييز بين السطوح الملساء والسطوح الخشنة وتحديد اتجاه رد الفعل في كل منهما.
• ذكر خواص قوة الاحتكاك السكوني والاحتكاك السكوني النهائي.
• تعريف معامل الاحتكاك السكوني ومعامل الاحتكاك الحركي وحساب كل منهما.
• تعريف رد الفعل المحصل وزاوية الاحتكاك والعلاقة بينها وبين معامل الاحتكاك.
• حل مسائل اتزان جسم على مستوى أفقي خشن وعلى مستوى مائل خشن.

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• السطح الأملس: لا توجد قوة احتكاك، ويكون رد الفعل عمودياً على سطح التماس المشترك للجسمين.
• السطح الخشن: لرد الفعل مركبتان: مركبة عمودية على سطح التماس تسمى رد الفعل العمودي (N)، ومركبة في اتجاه سطح التماس تسمى قوة الاحتكاك السكوني (F).
• أصل الاحتكاك: وجود نتوءات وتجويفات مجهرية في سطوح الأجسام مهما بلغت نعومتها، وتداخلها بين السطحين المتلامسين ينتج مقاومة لحركة أحدهما على الآخر.
• معامل الاحتكاك: مقياس لدرجة خشونة السطح؛ كلما زاد زادت الخشونة، وإذا ساوى صفراً انعدم الاحتكاك تماماً.
• الاحتكاك السكوني النهائي (Fs): أكبر قيمة لقوة الاحتكاك السكوني، وعندها يكون الجسم على وشك الانزلاق.
• رد الفعل المحصل (R′): محصلة رد الفعل العمودي N وقوة الاحتكاك F، وهو مائل على سطح التماس في حالة السطح الخشن.
• زاوية الاحتكاك (λ): الزاوية بين رد الفعل العمودي ورد الفعل المحصل عندما يكون الاحتكاك نهائياً.

القوانين والنظريات والقواعد

خواص قوة الاحتكاك السكوني

(١) F تعاكس اتجاه الانزلاق المتوقع للجسم
(٢) F = القوة المماسية المحركة (ولا تزيد عنها) ما دام الجسم متزناً
(٣) F تزداد بزيادة القوة المماسية حتى تصل إلى Fs فيصبح الجسم على وشك الانزلاق
(٤) F ≤ Fs

ملاحظة: الاحتكاك السكوني ليس ثابتاً؛ يتغير حسب القوة المحركة إلى أن يبلغ نهايته العظمى.

معامل الاحتكاك السكوني

μs = Fs ÷ N        أي    Fs = μs × N

شرط التطبيق: الجسم على وشك الحركة (احتكاك نهائي). النسبة ثابتة وتتوقف على طبيعة الجسمين المتلامسين وليس على شكليهما أو كتلتيهما.

قوة الاحتكاك الحركي

Fk = μk × N        أي    μk = Fk ÷ N

شرط التطبيق: الجسم متحرك على سطح خشن، واتجاه Fk عكس اتجاه الحركة.

رد الفعل المحصل

R′ = √(N² + F²)
عند الاحتكاك النهائي:  R′ = √(N² + Fs²) = N √(1 + μs²)

العلاقة بين معامل الاحتكاك وزاوية الاحتكاك

tan λ = Fs ÷ N = μs

أي أن معامل الاحتكاك السكوني يساوي ظل زاوية الاحتكاك عند الاحتكاك النهائي.

اتزان جسم على مستوى أفقي خشن

جسم وزنه W تؤثر عليه قوة P تميل على الأفقي بزاوية θ (إلى أعلى):

F = P cos θ
N + P sin θ = W
عند وشك الحركة:  F = μs N

اتزان جسم على مستوى مائل خشن (زاوية ميله θ)

F = W sin θ        (إلى أعلى المستوى، عكس الحركة المتوقعة)
N = W cos θ
R′ = W  (رأسي إلى أعلى)

وإذا كان الجسم على وشك الانزلاق فإن زاوية الاحتكاك تساوي زاوية ميل المستوى وتكون: μs = tan θ.

أمثلة محلولة

مثال ١ (سهل): صندوق وزنه 124 نيوتن على طريق أفقي، ومعامل الاحتكاك 0.45. أوجد القوة الأفقية اللازمة ليصبح الصندوق على وشك الحركة.

• N = W = 124 نيوتن (اتزان رأسي).
• القوة المطلوبة = Fs = μs × N = 0.45 × 124 = 55.8 نيوتن.

مثال ٢ (متوسط): جسم وزنه 12 ث.كجم على مستوى أفقي خشن، تؤثر عليه قوتان أفقيتان مقدار كل منهما 4 ث.كجم وبينهما زاوية 60°، فأصبح على وشك الحركة. أوجد معامل الاحتكاك وزاوية الاحتكاك.

• محصلة القوتين = √(4² + 4² + 2 × 4 × 4 × cos 60°) = √48 = 4√3 ث.كجم، وهي تساوي الاحتكاك النهائي.
• N = 12 ث.كجم، فـ μs = 4√3 ÷ 12 = √3/3.
• tan λ = √3/3 ومنها λ = 30°.

مثال ٣ (صعب): جسم على مستوى مائل خشن على وشك الانزلاق عندما يميل المستوى بزاوية 37° (tan 37° = 3/4) على الأفقي، ووزنه 40 نيوتن. أوجد معامل الاحتكاك وقوة الاحتكاك.

• عند وشك الانزلاق: μs = tan θ = 3/4.
• F = W sin θ = 40 × (3/5) = 24 نيوتن، وN = W cos θ = 32 نيوتن.
• تحقق: μs × N = 0.75 × 32 = 24 نيوتن.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• اعتبار قوة الاحتكاك السكوني دائماً تساوي μs × N؛ هذا صحيح فقط عند وشك الحركة، أما قبل ذلك فالاحتكاك يساوي القوة المماسية المحركة.
• الظن أن معامل الاحتكاك يتوقف على مساحة التلامس أو كتلة الجسم؛ هو يتوقف على طبيعة السطحين فقط.
• نسيان أن رد الفعل العمودي لا يساوي الوزن دائماً؛ فعند وجود مركبة رأسية لقوة مؤثرة (P sin θ) أو عند الميل (W cos θ) يتغير N.
• الخلط بين اتجاه الاحتكاك واتجاه الحركة؛ الاحتكاك يعاكس الانزلاق المتوقع.
• الخلط بين R′ وN؛ R′ = √(N² + F²) وهي أكبر من N إذا وجد احتكاك.
• عند وجود احتكاك حركي نستخدم μk، وعند وشك الحركة نستخدم μs.

قائمة المراجعة

1. السطح الأملس: رد الفعل عمودي على سطح التماس.
2. السطح الخشن: رد الفعل له مركبة عمودية N ومركبة مماسية F.
3. معامل الاحتكاك مقياس لخشونة السطح، وإذا كان صفراً انعدم الاحتكاك.
4. F تعاكس الانزلاق وتساوي القوة المماسية المحركة ما دام الجسم متزناً.
5. عند وشك الحركة يسمى الاحتكاك السكوني النهائي Fs.
6. μs = Fs ÷ N وهو ثابت لطبيعة الجسمين.
7. Fk = μk N للجسم المتحرك، واتجاهها عكس الحركة.
8. R′ = √(N² + F²).
9. tan λ = μs عند الاحتكاك النهائي.
10. على المستوى الأفقي مع قوة P مائلة: F = P cos θ وN + P sin θ = W.
11. على المستوى المائل: F = W sin θ وN = W cos θ.
12. عند وشك الانزلاق على مستوى مائل: θ = λ وμs = tan θ.
13. الاحتكاك الحركي يكون في اتجاه عكس حركة الجسم.

جميع القوانين دفعة واحدة

Fs = μs N
Fk = μk N
R′ = √(N² + F²) = N √(1 + μs²)   (عند الاحتكاك النهائي)
μs = tan λ
أفقي: F = P cos θ ,  N + P sin θ = W
مائل: F = W sin θ ,  N = W cos θ ,  μs = tan θ (وشك الانزلاق)