ملخص الرياضيات التطبيقية تالتة ثانوي عزم قوة بالنسبة لنقطة

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• عزم القوة F بالنسبة لنقطة O: قدرة القوة على إحداث دوران للجسم حول O. يعتمد الأثر الدوراني على مقدار القوة وبعد خط عملها عن النقطة.
• مركز العزم: النقطة O التي نأخذ العزم حولها. محور العزم: المستقيم المار بالنقطة O والعمودي على المستوى الذي يحوي القوة والنقطة.
• ذراع العزم (L): طول العمود المرسوم من مركز العزم على خط عمل القوة.
• العزم كمية متجهة، واتجاهه عمودي على مستوى القوة وفق قاعدة اليد اليمنى في الضرب الاتجاهي.
• القياس الجبري للعزم: موجب إذا كان دوران القوة حول O عكس عقارب الساعة، وسالب إذا كان في اتجاه دوران عقارب الساعة.
• معيار العزم: ‖M‖ = F × L، ووحدته = وحدة القوة × وحدة الطول، مثل نيوتن.متر أو داين.سم أو ث.كجم.متر.

القوانين والنظريات والقواعد

عزم قوة بالنسبة لنقطة

M_O = r × F          (r متجه الموضع للنقطة A على خط عمل القوة بالنسبة لـ O)
M_O = (F × L) c      حيث c متجه وحدة عمودي على مستوى القوة
‖M_O‖ = F × L

ملاحظة: عزم قوة حول نقطة تقع على خط عملها = صفر؛ ولا يتوقف العزم على موضع النقطة A المختارة على خط العمل.

العزم في المستوى (بالمركبات)

إذا كان r = (x , y) وF = (Fx , Fy) فإن:

M_O = (x·Fy − y·Fx) k

نظرية فاريجنون

عزم القوة F حول نقطة = مجموع عزوم مركبتيها حول النقطة نفسها
M = x·Fy k + (−y·Fx) k

شرط التطبيق: المركبات هي مركبات القوة المؤثرة عند نفس النقطة.

نظرية العزوم العامة

المجموع الجبري لعزوم عدة قوى حول نقطة = عزم محصلتها حول هذه النقطة

وإذا كان مجموع عزوم القوى حول نقطة يساوي صفراً فإما أن تقع النقطة على خط عمل المحصلة أو تكون المحصلة صفراً.

تعميم: مقارنة العزوم حول نقطتين A و B

(١) مجموع العزوم حول A = مجموع العزوم حول B  ⇒  خط عمل المحصلة // AB
(٢) مجموع العزوم حول A = − مجموع العزوم حول B ⇒  خط عمل المحصلة يمر بمنتصف AB

أمثلة محلولة

مثال ١ (سهل): القوة F = 3i + 4j تؤثر في النقطة A(−1 , 3). أوجد عزمها حول نقطة الأصل وطول العمود من O على خط عملها.

• r = (−1 , 3) ، M = (−1)(4) − (3)(3) = −13 ، أي ‖M‖ = 13 والقياس الجبري −13، فالدوران في اتجاه عقارب الساعة.
• L = ‖M‖ ÷ F = 13 ÷ 5 = 2.6 وحدة طول (F = √(9+16) = 5).

مثال ٢ (متوسط): القوى F₁ = i + 2j ، F₂ = i + 3j ، F₃ = 4i + 4j تؤثر في A(−2 , 1). أوجد مجموع عزومها حول B(0 , 2) ثم عزم المحصلة.

• r = BA = (−2 , −1).
• M₁ = (−2)(2) − (−1)(1) = −3 ، M₂ = (−2)(3) − (−1)(1) = −5 ، M₃ = (−2)(4) − (−1)(4) = −4 ، المجموع = −12.
• المحصلة R = (6 , 9) ، وعزمها = (−2)(9) − (−1)(6) = −12.
• المجموعان متساويان، وهذا تحقق لنظرية العزوم العامة.

مثال ٣ (صعب): القوة F = −2i + 3j تؤثر في A(4 , −3). قارن عزمها حول B(3 , 1) ، C(1 , 4) ، D(−1 , 2).

• حول B: r = (1 , −4) فالعزم = (1)(3) − (−4)(−2) = −5.
• حول C: r = (3 , −7) فالعزم = 9 − 14 = −5.
• حول D: r = (5 , −5) فالعزم = 15 − 10 = +5.
• عزماها حول B و C متساويان ⇒ خط عمل القوة // BC. وعزمها حول B = − عزمها حول D ⇒ خط عملها ينصف BD.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• أخذ ذراع العزم على أنه المسافة إلى نقطة تأثير القوة؛ الذراع هو العمود على خط العمل.
• نسيان إشارة العزم: عكس عقارب الساعة موجب ومع عقارب الساعة سالب.
• ترتيب الضرب الاتجاهي خطأ: r × F وليس F × r (يعكس الإشارة)، وr = A − O (النهاية − البداية).
• تطبيق نظرية فاريجنون بمركبات لا تؤثر في نفس النقطة.
• اعتبار أن العزم صفر معناه أن القوة صفر؛ قد يكون خط عمل القوة مارّاً بمركز العزم.

قائمة المراجعة

1. عزم القوة حول O هو M = r × F.
2. ‖M‖ = F × L حيث L ذراع العزم (عمود على خط العمل).
3. العزم متجه عمودي على مستوى القوة ونقطة العزم.
4. عكس عقارب الساعة موجب، ومع عقارب الساعة سالب.
5. عزم قوة حول نقطة على خط عملها = صفر.
6. وحدة العزم = وحدة القوة × وحدة الطول (نيوتن.متر ...).
7. بالمركبات: M = x·Fy − y·Fx.
8. فاريجنون: عزم القوة = مجموع عزمي مركبتيها.
9. مجموع عزوم قوى متلاقية في نقطة = عزم محصلتها.
10. نظرية العزوم العامة: المجموع الجبري للعزوم = عزم المحصلة.
11. تساوي مجموع العزوم حول A و B ⇒ المحصلة // AB.
12. مجموع العزوم حول A = − مجموعها حول B ⇒ المحصلة تنصف AB.
13. إذا كان العزم حول C صفراً فـ C على خط عمل المحصلة أو المحصلة صفر.
14. عند ثبات العزم يتناسب مقدار القوة عكسياً مع ذراع العزم.

جميع القوانين دفعة واحدة

M_O = r × F ,  ‖M_O‖ = F·L
M_O = x·Fy − y·Fx
Σ M (قوى) = M (المحصلة)
Σ M_A = Σ M_B  ⇒  R // AB
Σ M_A = −Σ M_B ⇒  R تنصف AB