ملخص الرياضيات تالتة إعدادي، الترم الأول مقاييس التشتت والتقييم النهائي

أهداف التعلم

• يتعرف مفهوم التشتت ومقاييسه لمجموعة من القيم.
• يوجد المدى والمدى الربيعي لبيانات معطاة بصور مختلفة (قائمة، ساق وورقة، شكل الصندوق).
• يوجد الانحراف المعياري لمجموعة قيم ولتوزيع تكراري بسيط ولتوزيع تكراري ذي فئات.
• يقارن بين مجموعتين من البيانات باستخدام مقياس نزعة مركزية ومقياس تشتت.

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• مقاييس النزعة المركزية: الوسط الحسابي (مجموع القيم ÷ عددها)، والوسيط (القيمة الوسطى بعد الترتيب)، والمنوال (القيمة الأكثر تكراراً).
• التشتت: مدى تقارب قيم البيانات من بعضها أو تباعدها حول المركز. تساوي المقاييس المركزية لمجموعتين لا يعني تشابه البيانات، لذا نحتاج مقياساً للتشتت.
• المدى (R): الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة. هو أبسط المقاييس لكنه يعتمد على قيمتين فقط ويتأثر بالقيم الشاذة.
• المدى الربيعي (IQR): الفرق بين الربيع الأعلى (الثالث) والربيع الأدنى (الأول): هو مدى النصف الأوسط من البيانات، وهو أدق من المدى عند وجود قيم متطرفة.
• الانحراف المعياري (σ): الجذر التربيعي الموجب لمتوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي. هو أهم المقاييس وأدقها وأكثرها استخداماً.

القوانين والنظريات والقواعد

المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة
المدى الربيعي = الربيع الثالث Q₃ − الربيع الأول Q₁

الانحراف المعياري لمجموعة قيم:

σ = √[ Σ(x − x̄)² ÷ n ]

لتوزيع تكراري بسيط:

x̄ = Σ(f × x) ÷ Σf
σ = √[ Σ f(x − x̄)² ÷ Σf ]

لتوزيع تكراري ذي فئات: نستخدم مركز الفئة x_m = (الحد الأدنى + الحد الأعلى) ÷ 2 مكان x، والقوانين نفسها.

ملاحظات:

• كلما قل الانحراف المعياري كانت القيم أكثر تقارباً وتجانساً.
• إذا تساوت كل القيم فإن التشتت = 0.
• عند مقارنة مجموعتين نحتاج مقياس نزعة مركزية ومقياس تشتت لكل مجموعة.
• الآلة الحاسبة العلمية يمكن استخدامها لإيجاد الانحراف المعياري.

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): أوجد مدى القيم 48 ، 61 ، 65 ، 52 ، 38 ، 64 ، 66 ، 64. الحل: المدى = 66 − 38 = 28.

مثال 2 (متوسط): أوجد الانحراف المعياري للقيم 13 ، 15 ، 17 ، 18 ، 12. الحل: x̄ = 75 ÷ 5 = 15، الانحرافات: −2 ، 0 ، 2 ، 3 ، −3، ومربعاتها 4 ، 0 ، 4 ، 9 ، 9 ومجموعها 26. إذن σ = √(26 ÷ 5) ≈ 2.28.

مثال 3 (متوسط): أوجد قيمة k التي تجعل مدى القيم 17 ، 12 ، 19 ، k ، 18 ، 15 ، 11 يساوي 13. الحل: أصغر قيمة 11 وأكبر 19. إذا كانت 11 < k < 19 فالمدى 8 (مرفوض). وإذا كانت k > 19 فإن k − 11 = 13 أي k = 24. وإذا كانت k < 11 فإن 19 − k = 13 أي k = 6.

مثال 4 (صعب): أعمار 14 شخصاً: العمر 2 ، 5 ، 10 ، 12 ، 16 ، 34 بتكرارات 1 ، 2 ، 5 ، 2 ، 3 ، 1. الحل: Σf × x = 168 فالوسط = 168 ÷ 14 = 12، و Σf(x − x̄)² = 750 فتكون σ = √(750 ÷ 14) ≈ 7.32 سنة.

مثال 5 (صعب): كتل 50 شخصاً في فئات طول كل منها 10 كجم تبدأ من 60: التكرارات 5 ، 11 ، 18 ، 9 ، 7 ومراكز الفئات 65 ، 75 ، 85 ، 95 ، 105. الحل: الوسط = 4270 ÷ 50 = 85.4 كجم، و Σf(x − x̄)² = 6792 فتكون σ = √(6792 ÷ 50) ≈ 11.66 كجم.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان الجذر التربيعي في الانحراف المعياري (الناتج بدونه هو التباين).
• استخدام x بدلاً من مركز الفئة في التوزيع ذي الفئات.
• نسيان ضرب مربع الانحراف في التكرار في التوزيع التكراري.
• الاعتماد على المدى وحده عند وجود قيم شاذة.
• القول إن التساوي في الوسط الحسابي يعني التشابه التام بين المجموعتين.

قائمة المراجعة

• [ ] أعرف الفرق بين مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت.
• [ ] أحسب المدى والمدى الربيعي.
• [ ] أقرأ الربيعات من شكل الصندوق.
• [ ] أحسب الوسط الحسابي ثم الانحرافات ثم مربعاتها.
• [ ] أطبق قانون σ على القيم المفردة.
• [ ] أطبق قانون σ على التوزيع التكراري البسيط.
• [ ] أستخدم مراكز الفئات في التوزيع ذي الفئات.
• [ ] أقارن التجانس بين مجموعتين بالانحراف المعياري.

جميع القوانين دفعة واحدة

المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة
IQR = Q₃ − Q₁
σ = √[ Σ(x − x̄)² ÷ n ]
σ = √[ Σ f(x − x̄)² ÷ Σf ]
x̄ = Σ(f × x) ÷ Σf
مركز الفئة = (الحد الأدنى + الحد الأعلى) ÷ 2