ملخص الرياضيات تالتة إعدادي، الترم الأول حساب المثلثات والخط المستقيم

أهداف التعلم

• يتعرف النسب المثلثية (جا، جتا، ظا) لزاوية حادة في مثلث قائم الزاوية ويستخدمها لإيجاد أطوال الأضلاع.
• يتعرف النسب المثلثية للزوايا الخاصة 30° و 45° و 60° ويستخدم الآلة الحاسبة.
• يتعرف ميل المستقيم وزاوية ميله ويستنتج علاقة الميلين في التوازي والتعامد.
• يكتب معادلة الخط المستقيم بصورها المختلفة ويمثله بيانياً ويحل مسائل حياتية.

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• النسبة المثلثية: النسبة بين طولي ضلعين في مثلث قائم الزاوية.
• زاوية الميل: الزاوية التي يصنعها المستقيم مع الاتجاه الموجب لمحور السينات مقيسة عكس عقارب الساعة.
• ميل المستقيم: ظل زاوية ميله، m = ظا θ.
• المقطع الصادي: الإحداثي الصادي لنقطة تقاطع المستقيم مع محور الصادات.

القوانين والنظريات والقواعد

النسب المثلثية في المثلث القائم

جا θ = المقابل ÷ الوتر
جتا θ = المجاور ÷ الوتر
ظا θ = المقابل ÷ المجاور = جا θ ÷ جتا θ

• لأي زاويتين متتامتين: جا θ = جتا β و جتا θ = جا β.
• لإيجاد الأضلاع: افرض الأضلاع بدلالة k واستخدم نظرية فيثاغورس؛ فإذا كانت جتا θ = 12 ÷ 13 فنفرض الضلع المجاور 12k والوتر 13k فيكون المقابل 5k.

النسب المثلثية للزوايا الخاصة

• الآلة الحاسبة تعطي النسبة من الزاوية، والعكس بدوال جا⁻¹ و جتا⁻¹ و ظا⁻¹ لإيجاد الزاوية الحادة من نسبتها (1° = 60 دقيقة، 1 دقيقة = 60 ثانية).

ميل المستقيم وزاويته

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = ظا θ
المستقيم الأفقي: m = 0
المستقيم الرأسي: الميل غير معرّف
إذا كان الميل سالباً: θ = 180° + ظا⁻¹(m)  (فالميل −1 يعطي θ = 135°)

التوازي: m₁ = m₂
التعامد: m₁ × m₂ = −1   (ميل العمودي على مستقيم ميله a ÷ b هو −b ÷ a)
ثلاث نقاط على استقامة واحدة إذا تساوى ميلا أي قطعتين منها

معادلة الخط المستقيم

بمعلومية الميل والمقطع الصادي: y = mx + b
بمعلومية الميل ونقطة (x₁ ، y₁): y − y₁ = m(x − x₁)
بمعلومية نقطتين: احسب الميل أولاً ثم استخدم إحدى النقطتين
الصورة القياسية: Ax + By = C
الميل = −A ÷ B ، المقطع الصادي = C ÷ B ، المقطع السيني = C ÷ A
معادلة محور السينات: y = 0 ، ومحور الصادات: x = 0

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): مثلث قائم أطوال أضلاعه 5 و 12 و 13 سم، θ الزاوية المقابلة للضلع 5. أوجد جتا θ. الحل: جتا θ = المجاور ÷ الوتر = 12 ÷ 13.

مثال 2 (متوسط): أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين (1 ، 2) و (3 ، 8). الحل: m = (8 − 2) ÷ (3 − 1) = 3.

مثال 3 (متوسط): إذا كانت جا θ = 3 ÷ 5 والوتر 10 سم فالمقابل 6 سم والمجاور 8 سم، وتكون جتا θ = 4 ÷ 5 و ظا θ = 3 ÷ 4.

مثال 4 (صعب): أثبت أن النقاط A(4 ، 3) و B(2 ، 7) و C(8 ، −5) على استقامة واحدة. الحل: ميل AB = (7 − 3) ÷ (2 − 4) = −2 وميل AC = (−5 − 3) ÷ (8 − 4) = −2، والنقطة A مشتركة فالنقاط على استقامة واحدة.

مثال 5 (صعب): أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين (−4 ، 5) و (4 ، 1). الحل: m = (1 − 5) ÷ (4 + 4) = −1 ÷ 2، ثم y − 1 = −(1 ÷ 2)(x − 4) فتكون y = −(1 ÷ 2)x + 3.

مثال 6 (تطبيق): سيارة تسير بسرعة منتظمة، والعلاقة بين المسافة d والزمن t مستقيم يمر بالنقطتين (0 ، 100) و (5 ، 500). السرعة = (500 − 100) ÷ 5 = 80 كم/ساعة، والمسافة عند البداية 100 كم، والمعادلة d = 80t + 100، وبعد 3 ساعات d = 340 كم.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• الخلط بين المقابل والمجاور؛ يتغير حسب الزاوية المعتبرة.
• حساب ميل سالب بالآلة وإهمال أن الزاوية الناتجة سالبة يجب إضافتها إلى 180°.
• نسيان أن الميل الرأسي غير معرّف وليس صفراً.
• في التعامد: القول إن حاصل ضرب الميلين = 1 بدلاً من −1.
• في الصورة القياسية: الميل = −A ÷ B (بالإشارة السالبة).

قائمة المراجعة

• [ ] أكتب جا وجتا وظا من الشكل.
• [ ] أحسب الضلع الثالث بفيثاغورس.
• [ ] أحفظ نسب 30° و 45° و 60°.
• [ ] أستخدم الآلة الحاسبة لإيجاد النسبة والزاوية.
• [ ] أحسب الميل من نقطتين ومن زاوية الميل.
• [ ] أطبق شرطي التوازي والتعامد.
• [ ] أثبت استقامة ثلاث نقاط بالميل.
• [ ] أكتب المعادلة بالصورة y = mx + b وبالصورة القياسية.
• [ ] أحدد الميل والمقطعين من الصورة القياسية.

جميع القوانين دفعة واحدة

جا θ = مقابل ÷ وتر ، جتا θ = مجاور ÷ وتر ، ظا θ = مقابل ÷ مجاور
جا 30° = 1÷2 ، جتا 30° = √3÷2 ، ظا 30° = 1÷√3
جا 45° = جتا 45° = 1÷√2 ، ظا 45° = 1
جا 60° = √3÷2 ، جتا 60° = 1÷2 ، ظا 60° = √3
m = (y₂−y₁)÷(x₂−x₁) = ظا θ
توازي: m₁ = m₂ ، تعامد: m₁×m₂ = −1
y = mx + b ، y − y₁ = m(x − x₁)
Ax + By = C ، m = −A÷B ، b = C÷B