ملخص الرياضيات تالتة إعدادي، الترم الأول تشابه المضلعات وتشابه المثلثات والتمدد

أهداف التعلم

• يتعرف شرطي تشابه مضلعين ونسبة التشابه.
• يستخدم خواص التشابه في إيجاد أطوال أضلاع وقياسات زوايا مجهولة.
• يتعرف حالات تشابه مثلثين ويثبت تشابههما.
• يتعرف مفهوم التمدد (التكبير والتصغير) ومعامل التمدد.
• يوجد صورة نقطة أو شكل بتمدد في المستوى الإحداثي.

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• تشابه مضلعين: يتشابه مضلعان إذا تحقق شرطان معاً: (1) الزوايا المتناظرة متساوية في القياس، (2) أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة. يُكتب بالرمز (~) مع ترتيب الرؤوس المتناظرة.
• نسبة التشابه (k): النسبة بين طولي ضلعين متناظرين.
• التمدد: تحويل هندسي يكبّر الشكل أو يصغّره بنسبة معينة تسمى معامل التمدد. الشكل وصورته متشابهان.
• مركز التمدد: النقطة الثابتة التي تنتقل إلى نفسها.
• تكبير: عندما k > 1. تصغير: عندما 0 < k < 1.

القوانين والنظريات والقواعد

تشابه المضلعات

المضلع ABCD ~ المضلع EFGH إذا كان:
∠A = ∠E ، ∠B = ∠F ، ∠C = ∠G ، ∠D = ∠H
AB ÷ EF = BC ÷ FG = CD ÷ GH = DA ÷ HE = k

نتيجة: نسبة محيطي مضلعين متشابهين = نسبة طولي أي ضلعين متناظرين = k.

حالات خاصة:

• المضلعات المنتظمة التي لها العدد نفسه من الأضلاع متشابهة دائماً، وأي مربعين متشابهان.
• مستطيلان متشابهان إذا كانت أبعادهما المتناظرة متناسبة.
• معينان متشابهان إذا تساوى قياسا زاويتين متناظرتين.
• متوازيا أضلاع متشابهان إذا تساوت زاوية في أحدهما مع زاوية في الآخر وتناسب طولا الضلعين المحيطين بهما.

حالات تشابه مثلثين

الحالة 1 (AA): تساوي زاويتين في أحد المثلثين مع زاويتين في الآخر
الحالة 2 (SSS): تناسب أطوال الأضلاع المتناظرة
الحالة 3 (SAS): تساوي زاوية في أحدهما مع زاوية في الآخر وتناسب طولي الضلعين المحيطين بها

• إذا تشابه مثلثان مع مثلث ثالث فهما متشابهان.
• في المثلث القائم: العمود المرسوم من رأس القائمة على الوتر يقسمه إلى مثلثين متشابهين وكل منهما يشبه المثلث الأصلي. ومنه: (AD)² = BD × DC.
• من تشابه المثلثين تتساوى الزوايا المتناظرة وتتناسب الأضلاع المتناظرة.

التمدد

معامل التمدد k = CP' ÷ CP = طول الضلع في الصورة ÷ طوله في الأصل
k > 1 تكبير ، 0 < k < 1 تصغير
في المستوى الإحداثي (المركز نقطة الأصل): (x ، y) ← (kx ، ky)

• كل ضلع في الصورة يوازي نظيره في الشكل الأصلي، والصورة تشبه الأصل.

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): مثلثان ABC ~ DEF، AB = 4 سم، DE = 6 سم، BC = 10 سم. أوجد EF. الحل: AB ÷ DE = BC ÷ EF أي 4 ÷ 6 = 10 ÷ EF فتكون EF = 15 سم.

مثال 2 (متوسط): ABCD ~ EFGH فيها ∠A = 90° و ∠B = 120° و ∠C = 45°. أوجد ∠D. الحل: مجموع زوايا الشكل الرباعي 360° فتكون ∠D = 360° − (90° + 120° + 45°) = 105°.

مثال 3 (متوسط): AB ∥ DC، AB = 6 سم، DC = 4 سم، BD = 7 سم، والقطران يتقاطعان في E. أوجد DE. الحل: △ABE ~ △CDE بالتبادل فتكون BE ÷ DE = 6 ÷ 4 = 3 ÷ 2، ومنها BE = 1.5 DE. وبما أن BE + DE = 7 فإن 2.5 DE = 7 أي DE = 2.8 سم و BE = 4.2 سم.

مثال 4 (تطبيق): طالب طوله 1.6 م وظله 1.5 م، وظل سارية العلم 2.4 م. أوجد ارتفاع السارية. الحل: المثلثان متشابهان فارتفاع السارية ÷ 2.4 = 1.6 ÷ 1.5 ومنه الارتفاع = 2.4 × 1.6 ÷ 1.5 = 2.56 متراً.

مثال 5 (تمدد): صورة المثلث ذي الرؤوس A(1 ، 3) و B(2 ، −1) و C(5 ، 0) بتمدد مركزه O ومعامله 2 هي A′(2 ، 6) و B′(4 ، −2) و C′(10 ، 0).

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• كتابة رؤوس المضلعين المتشابهين بترتيب غير متناظر.
• الاكتفاء بتناسب الأضلاع دون التحقق من تساوي الزوايا في المضلعات (باستثناء المثلثات والحالات الخاصة).
• نسيان أن معامل التمدد للتصغير يكون كسراً بين 0 و 1.
• في الإحداثيات: ضرب إحداثي واحد فقط بدل الإحداثيين معاً.

قائمة المراجعة

• [ ] أذكر شرطي تشابه مضلعين.
• [ ] أحسب نسبة التشابه والمحيط.
• [ ] أعرف شروط تشابه المربعات والمستطيلات والمعينات ومتوازيات الأضلاع.
• [ ] أثبت تشابه مثلثين بإحدى الحالات الثلاث.
• [ ] أطبق (AD)² = BD × DC في المثلث القائم.
• [ ] أحل مسائل الظل والارتفاع بالتشابه.
• [ ] أميز التكبير من التصغير.
• [ ] أجد صورة نقطة بتمدد (x ، y) ← (kx ، ky).

جميع القوانين دفعة واحدة

AB÷EF = BC÷FG = CD÷GH = DA÷HE = k
محيط ABCD ÷ محيط EFGH = k
AA ، SSS ، SAS لتشابه المثلثات
(AD)² = BD × DC
k = CP' ÷ CP
(x ، y) ← (kx ، ky)