جاري العرض... # ملخص: الوحدة الأولى: العلاقات و الدوال > **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثالث الإعدادي --- ## أهداف التعلم بعد دراسة هذه الوحدة، يجب أن تكون قادراً على: 1. **فهم مفهوم الضرب الديكارتي** وحساب عدد عناصر الضرب الديكارتي لمجموعتين منتهيتين. 2. **التمييز بين العلاقة والدالة** وتحديد ما إذا كانت علاقة معينة تمثل دالة أم لا. 3. **تمثيل العلاقات والدوال** بطرق متعددة: الجداول، الأسهم، الرسوم البيانية، والأزواج المرتبة. 4. **تحديد مجال ومدى الدالة** والمجال المقابل لها بدقة. 5. **التعرف على الدوال الخاصة** مثل الدوال الخطية والدوال الثابتة والدوال التربيعية. 6. **تمثيل الدوال بيانياً** على المستوى الديكارتي وفهم خصائص التمثيل البياني. --- ## المفاهيم والتعريفات الرياضية ### الضرب الديكارتي **التعريف:** إذا كانت س وَ ص مجموعتين، فإن الضرب الديكارتي س × ص هو مجموعة جميع الأزواج المرتبة (أ، ب) حيث أ ∈ س وَ ب ∈ ص. **الرمز:** س × ص **ملاحظة مهمة:** الضرب الديكارتي غير تبديلي، أي أن س × ص ≠ ص × س في الحالة العامة. ### عدد عناصر الضرب الديكارتي إذا كانت س وَ ص مجموعتين منتهيتين، فإن عدد عناصر س × ص يساوي حاصل ضرب عدد عناصر س في عدد عناصر ص. **الصيغة:** إذا كان |س| = م وَ |ص| = ن، فإن |س × ص| = م × ن ### الضرب الديكارتي لمجموعة في نفسها إذا كانت س مجموعة غير خالية، فإن س × س (أو س²) هي مجموعة جميع الأزواج المرتبة (أ، ب) حيث أ ∈ س وَ ب ∈ س. **الرمز:** س × س أو س² ### العلاقة **التعريف:** العلاقة من مجموعة س إلى مجموعة ص هي مجموعة جزئية من الضرب الديكارتي س × ص. **الرمز:** إذا كانت ع علاقة من س إلى ص، فإن ع ⊆ س × ص **نايب العلاقة:** نايب العلاقة من مجموعة س إلى مجموعة ص هي مجموعة الأزواج المرتبة (أ، ب) حيث أ ∈ س وَ ب ∈ ص والعلاقة تربط بينهما. ### العلاقة على مجموعة **التعريف:** إذا كانت ع علاقة من مجموعة س إلى نفسها (أي ع ⊆ س × س)، فإن ع تسمى علاقة على المجموعة س. ### الدالة **التعريف:** الدالة د من مجموعة س إلى مجموعة ص هي علاقة من س إلى ص بحيث يرتبط كل عنصر من س بعنصر واحد فقط من ص. **الرمز:** د: س → ص **شرط الدالة:** لكل عنصر س ∈ س يوجد عنصر واحد فقط ص ∈ ص بحيث (س، ص) ∈ د ### مجال الدالة **التعريف:** مجال الدالة د: س → ص هو المجموعة س (مجموعة جميع القيم المدخلة). **الرمز:** مجال د = س ### المجال المقابل للدالة **التعريف:** المجال المقابل للدالة د: س → ص هو المجموعة ص (مجموعة جميع القيم الممكنة). **الرمز:** المجال المقابل = ص ### مدى الدالة **التعريف:** مدى الدالة د هو مجموعة جميع صور عناصر المجال، أي مجموعة جميع القيم المخرجة الفعلية. **الرمز:** مدى د = {د(س) : س ∈ مجال د} **ملاحظة:** المدى هو مجموعة جزئية من المجال المقابل، أي مدى د ⊆ المجال المقابل ### دالة كثيرات الحدود **التعريف:** الدالة د: ع → ع حيث د(س) = أₙسⁿ + أₙ₋₁سⁿ⁻¹ + ... + أ₁س + أ₀ حيث أₙ، أₙ₋₁، ...، أ₁، أ₀ أعداد حقيقية وَ أₙ ≠ 0. **درجة كثيرة الحدود:** هي أكبر قوة للمتغير س في قاعدة الدالة. ### الدالة الخطية **التعريف:** الدالة د: ع → ع حيث د(س) = أس + ب حيث أ، ب أعداد حقيقية وَ أ ≠ 0. **الخصائص:** - درجة الدالة الخطية هي 1 - تمثيلها البياني هو خط مستقيم - يمر الخط المستقيم بنقطة الأصل (0، 0) إذا كان ب = 0 ### الدالة الثابتة **التعريف:** الدالة د: ع → ع حيث د(س) = ب حيث ب عدد حقيقي ثابت. **الخصائص:** - جميع عناصر المجال لها نفس الصورة - تمثيلها البياني هو خط مستقيم يوازي محور السينات - درجة الدالة الثابتة هي 0 ### الدالة التربيعية **التعريف:** الدالة د: ع → ع حيث د(س) = أس² + بس + جـ حيث أ، ب، جـ أعداد حقيقية وَ أ ≠ 0. **الخصائص:** - درجة الدالة التربيعية هي 2 - تمثيلها البياني هو منحنى يسمى قطع مكافئ ### المستوى الديكارتي **التعريف:** هو مستوى يتكون من محورين متعامدين: - **محور السينات (الأفقي):** يسمى أيضاً محور الفواصل - **محور الصادات (الرأسي):** يسمى أيضً محور التراتيب **نقطة الأصل:** النقطة (0، 0) حيث يتقاطع المحوران ### الأرباع الأربعة ينقسم المستوى الديكارتي إلى أربعة أرباع: - **الربع الأول:** حيث س > 0 وَ ص > 0 - **الربع الثاني:** حيث س < 0 وَ ص > 0 - **الربع الثالث:** حيث س < 0 وَ ص < 0 - **الربع الرابع:** حيث س > 0 وَ ص < 0 --- ## القوانين والنظريات والقواعد ### قانون عدد عناصر الضرب الديكارتي ``` إذا كان |س| = م وَ |ص| = ن فإن |س × ص| = م × ن ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون المجموعتان س وَ ص منتهيتين (محدودة العدد). **ملاحظة:** إذا كانت إحدى المجموعتين خالية، فإن الضرب الديكارتي يكون خالياً. --- ### قانون الضرب الديكارتي لمجموعة في نفسها ``` إذا كانت س مجموعة غير خالية فإن |س × س| = |س|² ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون المجموعة س غير خالية ومنتهية. **ملاحظة:** إذا كان عدد عناصر س يساوي ن، فإن عدد عناصر س × س يساوي ن². --- ### خاصية عدم التبديل في الضرب الديكارتي ``` س × ص ≠ ص × س (في الحالة العامة) ``` **شرط التطبيق:** ينطبق هذا عندما تكون س ≠ ص. **ملاحظة:** الضرب الديكارتي تبديلي فقط عندما تكون المجموعتان متساويتان. --- ### تعريف الدالة (الشرط الأساسي) ``` د: س → ص تكون دالة إذا وفقط إذا: لكل عنصر أ ∈ س يوجد عنصر واحد فقط ب ∈ ص بحيث (أ، ب) ∈ د ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون العلاقة تربط كل عنصر من المجال بعنصر واحد فقط من المجال المقابل. **ملاحظة:** إذا كان هناك عنصر من المجال لا يرتبط بأي عنصر من المجال المقابل، أو يرتبط بأكثر من عنصر، فإن العلاقة لا تمثل دالة. --- ### العلاقة بين المدى والمجال المقابل ``` مدى د ⊆ المجال المقابل ``` **شرط التطبيق:** ينطبق على جميع الدوال. **ملاحظة:** المدى قد يكون مساوياً للمجال المقابل أو مجموعة جزئية منه. --- ### قاعدة الدالة الخطية ``` د(س) = أس + ب حيث أ ≠ 0 ``` **شرط التطبيق:** أ وَ ب أعداد حقيقية، وَ أ ≠ 0 لضمان أن الدالة خطية وليست ثابتة. **ملاحظة:** التمثيل البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم يمر بنقطة الأصل عندما ب = 0. --- ### قاعدة الدالة الثابتة ``` د(س) = ب حيث ب عدد حقيقي ثابت ``` **شرط التطبيق:** ب عدد حقيقي ثابت. **ملاحظة:** التمثيل البياني للدالة الثابتة هو خط مستقيم يوازي محور السينات. --- ### قاعدة الدالة التربيعية ``` د(س) = أس² + بس + جـ حيث أ ≠ 0 ``` **شرط التطبيق:** أ، ب، جـ أعداد حقيقية، وَ أ ≠ 0 لضمان أن الدالة تربيعية. **ملاحظة:** التمثيل البياني للدالة التربيعية هو منحنى يسمى قطع مكافئ. --- ### درجة كثيرة الحدود ``` درجة د(س) = أكبر قوة للمتغير س في القاعدة ``` **شرط التطبيق:** ينطبق على جميع دوال كثيرات الحدود. **ملاحظة:** - درجة الدالة الخطية = 1 - درجة الدالة التربيعية = 2 - درجة الدالة الثابتة = 0 --- ## أمثلة محلولة ### مثال 1: حساب الضرب الديكارتي (مستوى سهل) **المسألة:** إذا كانت س = {0، 1، 2} وَ ص = {3، 4}، أوجد س × ص وَ ص × س، ثم لاحظ الفرق. **الحل:** **خطوة 1:** حساب س × ص س × ص = {(0، 3)، (0، 4)، (1، 3)، (1، 4)، (2، 3)، (2، 4)} **خطوة 2:** حساب ص × س ص × س = {(3، 0)، (3، 1)، (3، 2)، (4، 0)، (4، 1)، (4، 2)} **خطوة 3:** المقارنة نلاحظ أن س × ص ≠ ص × س، وهذا يؤكد أن الضرب الديكارتي غير تبديلي. **خطوة 4:** حساب عدد العناصر |س × ص| = |س| × |ص| = 3 × 2 = 6 عناصر |ص × س| = |ص| × |س| = 2 × 3 = 6 عناصر **الملاحظة:** عدد العناصر متساوٍ لكن الأزواج المرتبة مختلفة. --- ### مثال 2: تحديد ما إذا كانت علاقة دالة (مستوى متوسط) **المسألة:** إذا كانت س = {-2، -1، 0، 1، 2} وَ كانت ع علاقة معرّفة على س حيث "أ ع ب" تعني "ب هو معكوس جمعي للعدد أ"، اكتب نايب ع وَ لثّلها بمخطط أسهم وآخر ديكارتي، ثم حدّد هل ع دالة؟ **الحل:** **خطوة 1:** فهم العلاقة المعكوس الجمعي للعدد أ هو -أ **خطوة 2:** كتابة نايب العلاقة ع = {(-2، 2)، (-1، 1)، (0، 0)، (1، -1)، (2، -2)} **خطوة 3:** المخطط الأسهم ``` -2 ←→ 2 -1 ←→ 1 0 ←→ 0 1 ←→ -1 2 ←→ -2 ``` **خطوة 4:** التحقق من شرط الدالة كل عنصر من س يرتبط بعنصر واحد فقط من س. **الخلاصة:** ع تمثل دالة من س إلى س. --- ### مثال 3: تمثيل دالة تربيعية بيانياً (مستوى صعب) **المسألة:** لثّل اينايب الدالة التربيعية د حيث د(س) = س²، حيث س ∈ [-3، 3] **الحل:** **خطوة 1:** حساب قيم الدالة عند نقاط مختلفة - د(-3) = (-3)² = 9 - د(-2) = (-2)² = 4 - د(-1) = (-1)² = 1 - د(0) = (0)² = 0 - د(1) = (1)² = 1 - د(2) = (2)² = 4 - د(3) = (3)² = 9 **خطوة 2:** كتابة الأزواج المرتبة نايب د = {(-3، 9)، (-2، 4)، (-1، 1)، (0، 0)، (1، 1)، (2، 4)، (3، 9)} **خطوة 3:** تحديد خصائص الدالة - مجال الدالة = [-3، 3] - المجال المقابل = ع (الأعداد الحقيقية) - مدى الدالة = {0، 1، 4، 9} - درجة الدالة = 2 (تربيعية) **خطوة 4:** رسم النقاط على المستوى الديكارتي تُرسم النقاط السابقة على المستوى الديكارتي، وتُوصل بمنحنى سلس يشكل قطع مكافئ متماثل حول محور الصادات. **الملاحظة:** المنحنى متماثل حول محور الصادات، والنقطة الدنيا هي (0، 0). --- ## أخطاء شائعة وحالات خاصة ### الخطأ 1: الخلط بين الضرب الديكارتي والعملية الحسابية **الخطأ الشائع:** اعتبار س × ص عملية ضرب عادية. **التصحيح:** الضرب الديكارتي ينتج مجموعة من الأزواج المرتبة، وليس عدداً. **مثال:** {1، 2} × {3، 4} = {(1، 3)، (1، 4)، (2، 3)، (2، 4)} وليس 1 × 2 × 3 × 4 --- ### الخطأ 2: عدم التمييز بين العلاقة والدالة **الخطأ الشائع:** اعتبار كل علاقة دالة. **التصحيح:** الدالة هي علاقة خاصة حيث كل عنصر من المجال يرتبط بعنصر واحد فقط من المجال المقابل. **مثال:** العلاقة {(1، 2)، (1، 3)، (2، 4)} ليست دالة لأن العنصر 1 يرتبط بعنصرين مختلفين. --- ### الخطأ 3: الخلط بين المدى والمجال المقابل **الخطأ الشائع:** اعتبار المدى والمجال المقابل متساويين دائماً. **التصحيح:** المدى هو مجموعة القيم الفعلية المخرجة، بينما المجال المقابل هو مجموعة القيم الممكنة. **مثال:** للدالة د(س) = س² حيث المجال = ع: - المجال المقابل = ع (جميع الأعداد الحقيقية) - المدى = [0، ∞) (الأعداد الحقيقية غير السالبة فقط) --- ### الخطأ 4: عدم تحديد درجة كثيرة الحدود بشكل صحيح **الخطأ الشائع:** الخلط بين عدد الحدود ودرجة كثيرة الحدود. **التصحيح:** درجة كثيرة الحدود هي أكبر قوة للمتغير، وليس عدد الحدود. **مثال:** د(س) = س³ + 2س + 5 درجتها 3 (وليس 3 لأن عدد الحدود 3) --- ### الخطأ 5: عدم احترام شروط الدالة الخطية والتربيعية **الخطأ الشائع:** اعتبار د(س) = 0 × س + 5 دالة خطية. **التصحيح:** في الدالة الخطية د(س) = أس + ب يجب أن يكون أ ≠ 0، وإلا فإنها دالة ثابتة. **مثال:** د(س) = 5 هي دالة ثابتة وليست خطية. --- ### حالة خاصة 1: الضرب الديكارتي لمجموعة خالية إذا كانت س أو ص مجموعة خالية، فإن س × ص = ∅ (مجموعة خالية). --- ### حالة خاصة 2: الدالة الثابتة الدالة الثابتة د(س) = ب هي حالة خاصة من الدالة الخطية حيث أ = 0. --- ### حالة خاصة 3: الدالة الخطية التي تمر بنقطة الأصل إذا كانت د(س) = أس (أي ب = 0)، فإن الخط المستقيم يمر بنقطة الأصل (0، 0). --- ## قائمة المراجعة قبل الامتحان، تأكد من أنك تستطيع: - [ ] **حساب الضرب الديكارتي** لمجموعتين وتحديد عدد عناصره باستخدام القاعدة |س × ص| = |س| × |ص| - [ ] **التمييز بين س × ص وَ ص × س** وفهم أن الضرب الديكارتي غير تبديلي - [ ] **كتابة نايب العلاقة** كمجموعة من الأزواج المرتبة - [ ] **تمثيل العلاقات والدوال** بثلاث طرق: الأسهم، الديكارتي، والجداول - [ ] **التحقق من شرط الدالة** بأن كل عنصر من المجال يرتبط بعنصر واحد فقط - [ ] **تحديد مجال الدالة** (مجموعة القيم المدخلة) - [ ] **تحديد المجال المقابل** (مجموعة القيم الممكنة) - [ ] **حساب مدى الدالة** (مجموعة القيم الفعلية المخرجة) - [ ] **تحديد درجة كثيرة الحدود** بأنها أكبر قوة للمتغير - [ ] **التمييز بين الدالة الخطية والثابتة والتربيعية** من خلال قاعدتها - [ ] **رسم الدالة الخطية** كخط مستقيم على المستوى الديكارتي - [ ] **رسم الدالة التربيعية** كقطع مكافئ على المستوى الديكارتي - [ ] **تحديد الربع الذي تقع فيه نقطة** على المستوى الديكارتي - [ ] **فهم الفرق بين المدى والمجال المقابل** وأن المدى ⊆ المجال المقابل --- ## جميع القوانين دفعة واحدة (للحفظ السريع) ``` 1. |س × ص| = |س| × |ص| 2. س × ص ≠ ص × س (في الحالة العامة) 3. إذا كانت س أو ص خالية، فإن س × ص = ∅ 4. العلاقة من س إلى ص: ع ⊆ س × ص 5. الدالة د: س → ص تحقق: لكل أ ∈ س يوجد ب واحد فقط ∈ ص 6. مدى د ⊆ المجال المقابل 7. د(س) = أس + ب (الدالة الخطية، حيث أ ≠ 0) 8. د(س) = ب (الدالة الثابتة) 9. د(س) = أس² + بس + جـ (الدالة التربيعية، حيث أ ≠ 0) 10. درجة كثيرة الحدود = أكبر قوة للمتغير س 11. التمثيل البياني للدالة الخطية: خط مستقيم 12. التمثيل البياني للدالة الثابتة: خط يوازي محور السينات 13. التمثيل البياني للدالة التربيعية: قطع مكافئ 14. الأرباع الأربعة: (س > 0، ص > 0)، (س < 0، ص > 0)، (س < 0، ص < 0)، (س > 0، ص < 0) 15. نقطة الأصل: (0، 0) ``` --- ## ملخص سريع للمفاهيم الأساسية ### الضرب الديكارتي مجموعة جميع الأزواج المرتبة من عنصر من المجموعة الأولى وعنصر من المجموعة الثانية. غير تبديلي وعدد عناصره يساوي حاصل ضرب عدد عناصر المجموعتين. ### العلاقة مجموعة جزئية من الضرب الديكارتي تربط بين عناصر مجموعتين. قد تكون دالة أو لا. ### الدالة علاقة خاصة حيث كل عنصر من المجال يرتبط بعنصر واحد فقط من المجال المقابل. لها مجال ومجال مقابل ومدى. ### الدالة الخطية دالة من الشكل د(س) = أس + ب حيث أ ≠ 0. تمثيلها البياني خط مستقيم. ### الدالة الثابتة دالة من الشكل د(س) = ب. تمثيلها البياني خط يوازي محور السينات. ### الدالة التربيعية دالة من الشكل د(س) = أس² + بس + جـ حيث أ ≠ 0. تمثيلها البياني قطع مكافئ. ### المستوى الديكارتي مستوى يتكون من محورين متعامدين: محور السينات (أفقي) ومحور الصادات (رأسي)، ينقسم إلى
