ملخص الرياضيات تالتة إعدادي الوحدة الأولى: العلاقات و الدوال

المفاهيم والتعريفات الرياضية

الضرب الديكارتي

التعريف: إذا كانت س وَ ص مجموعتين، فإن الضرب الديكارتي س × ص هو مجموعة جميع الأزواج المرتبة (أ، ب) حيث أ ∈ س وَ ب ∈ ص.

الرمز: س × ص

ملاحظة مهمة: الضرب الديكارتي غير تبديلي، أي أن س × ص ≠ ص × س في الحالة العامة.

عدد عناصر الضرب الديكارتي

إذا كانت س وَ ص مجموعتين منتهيتين، فإن عدد عناصر س × ص يساوي حاصل ضرب عدد عناصر س في عدد عناصر ص.

الصيغة: إذا كان |س| = م وَ |ص| = ن، فإن |س × ص| = م × ن

الضرب الديكارتي لمجموعة في نفسها

إذا كانت س مجموعة غير خالية، فإن س × س (أو س²) هي مجموعة جميع الأزواج المرتبة (أ، ب) حيث أ ∈ س وَ ب ∈ س.

الرمز: س × س أو س²

العلاقة

التعريف: العلاقة من مجموعة س إلى مجموعة ص هي مجموعة جزئية من الضرب الديكارتي س × ص.

الرمز: إذا كانت ع علاقة من س إلى ص، فإن ع ⊆ س × ص

نايب العلاقة: نايب العلاقة من مجموعة س إلى مجموعة ص هي مجموعة الأزواج المرتبة (أ، ب) حيث أ ∈ س وَ ب ∈ ص والعلاقة تربط بينهما.

العلاقة على مجموعة

التعريف: إذا كانت ع علاقة من مجموعة س إلى نفسها (أي ع ⊆ س × س)، فإن ع تسمى علاقة على المجموعة س.

الدالة

التعريف: الدالة د من مجموعة س إلى مجموعة ص هي علاقة من س إلى ص بحيث يرتبط كل عنصر من س بعنصر واحد فقط من ص.

الرمز: د: س → ص

شرط الدالة: لكل عنصر س ∈ س يوجد عنصر واحد فقط ص ∈ ص بحيث (س، ص) ∈ د

مجال الدالة

التعريف: مجال الدالة د: س → ص هو المجموعة س (مجموعة جميع القيم المدخلة).

الرمز: مجال د = س

المجال المقابل للدالة

التعريف: المجال المقابل للدالة د: س → ص هو المجموعة ص (مجموعة جميع القيم الممكنة).

الرمز: المجال المقابل = ص

مدى الدالة

التعريف: مدى الدالة د هو مجموعة جميع صور عناصر المجال، أي مجموعة جميع القيم المخرجة الفعلية.

الرمز: مدى د = {د(س) : س ∈ مجال د}

ملاحظة: المدى هو مجموعة جزئية من المجال المقابل، أي مدى د ⊆ المجال المقابل

دالة كثيرات الحدود

التعريف: الدالة د: ع → ع حيث د(س) = أₙسⁿ + أₙ₋₁سⁿ⁻¹ + ... + أ₁س + أ₀ حيث أₙ، أₙ₋₁، ...، أ₁، أ₀ أعداد حقيقية وَ أₙ ≠ 0.

درجة كثيرة الحدود: هي أكبر قوة للمتغير س في قاعدة الدالة.

الدالة الخطية

التعريف: الدالة د: ع → ع حيث د(س) = أس + ب حيث أ، ب أعداد حقيقية وَ أ ≠ 0.

الخصائص:

• درجة الدالة الخطية هي 1
• تمثيلها البياني هو خط مستقيم
• يمر الخط المستقيم بنقطة الأصل (0، 0) إذا كان ب = 0

الدالة الثابتة

التعريف: الدالة د: ع → ع حيث د(س) = ب حيث ب عدد حقيقي ثابت.

الخصائص:

• جميع عناصر المجال لها نفس الصورة
• تمثيلها البياني هو خط مستقيم يوازي محور السينات
• درجة الدالة الثابتة هي 0

الدالة التربيعية

التعريف: الدالة د: ع → ع حيث د(س) = أس² + بس + جـ حيث أ، ب، جـ أعداد حقيقية وَ أ ≠ 0.

الخصائص:

• درجة الدالة التربيعية هي 2
• تمثيلها البياني هو منحنى يسمى قطع مكافئ

المستوى الديكارتي

التعريف: هو مستوى يتكون من محورين متعامدين:

• محور السينات (الأفقي): يسمى أيضاً محور الفواصل
• محور الصادات (الرأسي): يسمى أيضً محور التراتيب

نقطة الأصل: النقطة (0، 0) حيث يتقاطع المحوران

الأرباع الأربعة

ينقسم المستوى الديكارتي إلى أربعة أرباع:

• الربع الأول: حيث س > 0 وَ ص > 0
• الربع الثاني: حيث س < 0 وَ ص > 0
• الربع الثالث: حيث س < 0 وَ ص < 0
• الربع الرابع: حيث س > 0 وَ ص < 0

---

القوانين والنظريات والقواعد

قانون عدد عناصر الضرب الديكارتي

إذا كان |س| = م وَ |ص| = ن
فإن |س × ص| = م × ن

شرط التطبيق: يجب أن تكون المجموعتان س وَ ص منتهيتين (محدودة العدد).

ملاحظة: إذا كانت إحدى المجموعتين خالية، فإن الضرب الديكارتي يكون خالياً.

---

قانون الضرب الديكارتي لمجموعة في نفسها

إذا كانت س مجموعة غير خالية
فإن |س × س| = |س|²

شرط التطبيق: يجب أن تكون المجموعة س غير خالية ومنتهية.

ملاحظة: إذا كان عدد عناصر س يساوي ن، فإن عدد عناصر س × س يساوي ن².

---

خاصية عدم التبديل في الضرب الديكارتي

س × ص ≠ ص × س (في الحالة العامة)

شرط التطبيق: ينطبق هذا عندما تكون س ≠ ص.

ملاحظة: الضرب الديكارتي تبديلي فقط عندما تكون المجموعتان متساويتان.

---

تعريف الدالة (الشرط الأساسي)

د: س → ص تكون دالة إذا وفقط إذا:
لكل عنصر أ ∈ س يوجد عنصر واحد فقط ب ∈ ص بحيث (أ، ب) ∈ د

شرط التطبيق: يجب أن تكون العلاقة تربط كل عنصر من المجال بعنصر واحد فقط من المجال المقابل.

ملاحظة: إذا كان هناك عنصر من المجال لا يرتبط بأي عنصر من المجال المقابل، أو يرتبط بأكثر من عنصر، فإن العلاقة لا تمثل دالة.

---

العلاقة بين المدى والمجال المقابل

مدى د ⊆ المجال المقابل

شرط التطبيق: ينطبق على جميع الدوال.

ملاحظة: المدى قد يكون مساوياً للمجال المقابل أو مجموعة جزئية منه.

---

قاعدة الدالة الخطية

د(س) = أس + ب
حيث أ ≠ 0

شرط التطبيق: أ وَ ب أعداد حقيقية، وَ أ ≠ 0 لضمان أن الدالة خطية وليست ثابتة.

ملاحظة: التمثيل البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم يمر بنقطة الأصل عندما ب = 0.

---

قاعدة الدالة الثابتة

د(س) = ب
حيث ب عدد حقيقي ثابت

شرط التطبيق: ب عدد حقيقي ثابت.

ملاحظة: التمثيل البياني للدالة الثابتة هو خط مستقيم يوازي محور السينات.

---

قاعدة الدالة التربيعية

د(س) = أس² + بس + جـ
حيث أ ≠ 0

شرط التطبيق: أ، ب، جـ أعداد حقيقية، وَ أ ≠ 0 لضمان أن الدالة تربيعية.

ملاحظة: التمثيل البياني للدالة التربيعية هو منحنى يسمى قطع مكافئ.

---

درجة كثيرة الحدود

درجة د(س) = أكبر قوة للمتغير س في القاعدة

شرط التطبيق: ينطبق على جميع دوال كثيرات الحدود.

ملاحظة:

• درجة الدالة الخطية = 1
• درجة الدالة التربيعية = 2
• درجة الدالة الثابتة = 0

---

أمثلة محلولة

مثال 1: حساب الضرب الديكارتي (مستوى سهل)

المسألة: إذا كانت س = {0، 1، 2} وَ ص = {3، 4}، أوجد س × ص وَ ص × س، ثم لاحظ الفرق.

الحل:

خطوة 1: حساب س × ص س × ص = {(0، 3)، (0، 4)، (1، 3)، (1، 4)، (2، 3)، (2، 4)}

خطوة 2: حساب ص × س ص × س = {(3، 0)، (3، 1)، (3، 2)، (4، 0)، (4، 1)، (4، 2)}

خطوة 3: المقارنة نلاحظ أن س × ص ≠ ص × س، وهذا يؤكد أن الضرب الديكارتي غير تبديلي.

خطوة 4: حساب عدد العناصر |س × ص| = |س| × |ص| = 3 × 2 = 6 عناصر |ص × س| = |ص| × |س| = 2 × 3 = 6 عناصر

الملاحظة: عدد العناصر متساوٍ لكن الأزواج المرتبة مختلفة.

---

مثال 2: تحديد ما إذا كانت علاقة دالة (مستوى متوسط)

المسألة: إذا كانت س = {-2، -1، 0، 1، 2} وَ كانت ع علاقة معرّفة على س حيث "أ ع ب" تعني "ب هو معكوس جمعي للعدد أ"، اكتب نايب ع وَ لثّلها بمخطط أسهم وآخر ديكارتي، ثم حدّد هل ع دالة؟

الحل:

خطوة 1: فهم العلاقة المعكوس الجمعي للعدد أ هو -أ

خطوة 2: كتابة نايب العلاقة ع = {(-2، 2)، (-1، 1)، (0، 0)، (1، -1)، (2، -2)}

خطوة 3: المخطط الأسهم

-2 ←→ 2
-1 ←→ 1
 0 ←→ 0
 1 ←→ -1
 2 ←→ -2

خطوة 4: التحقق من شرط الدالة كل عنصر من س يرتبط بعنصر واحد فقط من س.

الخلاصة: ع تمثل دالة من س إلى س.

---

مثال 3: تمثيل دالة تربيعية بيانياً (مستوى صعب)

المسألة: لثّل اينايب الدالة التربيعية د حيث د(س) = س²، حيث س ∈ [-3، 3]

الحل:

خطوة 1: حساب قيم الدالة عند نقاط مختلفة

• د(-3) = (-3)² = 9
• د(-2) = (-2)² = 4
• د(-1) = (-1)² = 1
• د(0) = (0)² = 0
• د(1) = (1)² = 1
• د(2) = (2)² = 4
• د(3) = (3)² = 9

خطوة 2: كتابة الأزواج المرتبة نايب د = {(-3، 9)، (-2، 4)، (-1، 1)، (0، 0)، (1، 1)، (2، 4)، (3، 9)}

خطوة 3: تحديد خصائص الدالة

• مجال الدالة = [-3، 3]
• المجال المقابل = ع (الأعداد الحقيقية)
• مدى الدالة = {0، 1، 4، 9}
• درجة الدالة = 2 (تربيعية)

خطوة 4: رسم النقاط على المستوى الديكارتي تُرسم النقاط السابقة على المستوى الديكارتي، وتُوصل بمنحنى سلس يشكل قطع مكافئ متماثل حول محور الصادات.

الملاحظة: المنحنى متماثل حول محور الصادات، والنقطة الدنيا هي (0، 0).

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

الخطأ 1: الخلط بين الضرب الديكارتي والعملية الحسابية

الخطأ الشائع: اعتبار س × ص عملية ضرب عادية.

التصحيح: الضرب الديكارتي ينتج مجموعة من الأزواج المرتبة، وليس عدداً.

مثال: {1، 2} × {3، 4} = {(1، 3)، (1، 4)، (2، 3)، (2، 4)} وليس 1 × 2 × 3 × 4

---

الخطأ 2: عدم التمييز بين العلاقة والدالة

الخطأ الشائع: اعتبار كل علاقة دالة.

التصحيح: الدالة هي علاقة خاصة حيث كل عنصر من المجال يرتبط بعنصر واحد فقط من المجال المقابل.

مثال: العلاقة {(1، 2)، (1، 3)، (2، 4)} ليست دالة لأن العنصر 1 يرتبط بعنصرين مختلفين.

---

الخطأ 3: الخلط بين المدى والمجال المقابل

الخطأ الشائع: اعتبار المدى والمجال المقابل متساويين دائماً.

التصحيح: المدى هو مجموعة القيم الفعلية المخرجة، بينما المجال المقابل هو مجموعة القيم الممكنة.

مثال: للدالة د(س) = س² حيث المجال = ع:

• المجال المقابل = ع (جميع الأعداد الحقيقية)
• المدى = [0، ∞) (الأعداد الحقيقية غير السالبة فقط)

---

الخطأ 4: عدم تحديد درجة كثيرة الحدود بشكل صحيح

الخطأ الشائع: الخلط بين عدد الحدود ودرجة كثيرة الحدود.

التصحيح: درجة كثيرة الحدود هي أكبر قوة للمتغير، وليس عدد الحدود.

مثال: د(س) = س³ + 2س + 5 درجتها 3 (وليس 3 لأن عدد الحدود 3)

---

الخطأ 5: عدم احترام شروط الدالة الخطية والتربيعية

الخطأ الشائع: اعتبار د(س) = 0 × س + 5 دالة خطية.

التصحيح: في الدالة الخطية د(س) = أس + ب يجب أن يكون أ ≠ 0، وإلا فإنها دالة ثابتة.

مثال: د(س) = 5 هي دالة ثابتة وليست خطية.

---

حالة خاصة 1: الضرب الديكارتي لمجموعة خالية

إذا كانت س أو ص مجموعة خالية، فإن س × ص = ∅ (مجموعة خالية).

---

حالة خاصة 2: الدالة الثابتة

الدالة الثابتة د(س) = ب هي حالة خاصة من الدالة الخطية حيث أ = 0.

---

حالة خاصة 3: الدالة الخطية التي تمر بنقطة الأصل

إذا كانت د(س) = أس (أي ب = 0)، فإن الخط المستقيم يمر بنقطة الأصل (0، 0).

---

قائمة المراجعة

قبل الامتحان، تأكد من أنك تستطيع:

• [ ] حساب الضرب الديكارتي لمجموعتين وتحديد عدد عناصره باستخدام القاعدة |س × ص| = |س| × |ص|

• [ ] التمييز بين س × ص وَ ص × س وفهم أن الضرب الديكارتي غير تبديلي

• [ ] كتابة نايب العلاقة كمجموعة من الأزواج المرتبة

• [ ] تمثيل العلاقات والدوال بثلاث طرق: الأسهم، الديكارتي، والجداول

• [ ] التحقق من شرط الدالة بأن كل عنصر من المجال يرتبط بعنصر واحد فقط

• [ ] تحديد مجال الدالة (مجموعة القيم المدخلة)

• [ ] تحديد المجال المقابل (مجموعة القيم الممكنة)

• [ ] حساب مدى الدالة (مجموعة القيم الفعلية المخرجة)

• [ ] تحديد درجة كثيرة الحدود بأنها أكبر قوة للمتغير

• [ ] التمييز بين الدالة الخطية والثابتة والتربيعية من خلال قاعدتها

• [ ] رسم الدالة الخطية كخط مستقيم على المستوى الديكارتي

• [ ] رسم الدالة التربيعية كقطع مكافئ على المستوى الديكارتي

• [ ] تحديد الربع الذي تقع فيه نقطة على المستوى الديكارتي

• [ ] فهم الفرق بين المدى والمجال المقابل وأن المدى ⊆ المجال المقابل

---

جميع القوانين دفعة واحدة (للحفظ السريع)

1. |س × ص| = |س| × |ص|

2. س × ص ≠ ص × س (في الحالة العامة)

3. إذا كانت س أو ص خالية، فإن س × ص = ∅

4. العلاقة من س إلى ص: ع ⊆ س × ص

5. الدالة د: س → ص تحقق: لكل أ ∈ س يوجد ب واحد فقط ∈ ص

6. مدى د ⊆ المجال المقابل

7. د(س) = أس + ب (الدالة الخطية، حيث أ ≠ 0)

8. د(س) = ب (الدالة الثابتة)

9. د(س) = أس² + بس + جـ (الدالة التربيعية، حيث أ ≠ 0)

10. درجة كثيرة الحدود = أكبر قوة للمتغير س

11. التمثيل البياني للدالة الخطية: خط مستقيم

12. التمثيل البياني للدالة الثابتة: خط يوازي محور السينات

13. التمثيل البياني للدالة التربيعية: قطع مكافئ

14. الأرباع الأربعة: (س > 0، ص > 0)، (س < 0، ص > 0)، (س < 0، ص < 0)، (س > 0، ص < 0)

15. نقطة الأصل: (0، 0)

---

ملخص سريع للمفاهيم الأساسية

الضرب الديكارتي

مجموعة جميع الأزواج المرتبة من عنصر من المجموعة الأولى وعنصر من المجموعة الثانية. غير تبديلي وعدد عناصره يساوي حاصل ضرب عدد عناصر المجموعتين.

العلاقة

مجموعة جزئية من الضرب الديكارتي تربط بين عناصر مجموعتين. قد تكون دالة أو لا.

الدالة

علاقة خاصة حيث كل عنصر من المجال يرتبط بعنصر واحد فقط من المجال المقابل. لها مجال ومجال مقابل ومدى.

الدالة الخطية

دالة من الشكل د(س) = أس + ب حيث أ ≠ 0. تمثيلها البياني خط مستقيم.

الدالة الثابتة

دالة من الشكل د(س) = ب. تمثيلها البياني خط يوازي محور السينات.

الدالة التربيعية

دالة من الشكل د(س) = أس² + بس + جـ حيث أ ≠ 0. تمثيلها البياني قطع مكافئ.

المستوى الديكارتي

مستوى يتكون من محورين متعامدين: محور السينات (أفقي) ومحور الصادات (رأسي)، ينقسم إلى