ملخص الرياضيات تالتة إعدادي، الترم الأول الدالة التربيعية ودوال الكسور الجبرية

أهداف التعلم

• يتعرف الدالة التربيعية وصورتها القياسية وصورة الرأس ويمثلها بيانياً.
• يوجد رأس المنحنى ومحور التماثل والقيمة العظمى أو الصغرى والمقطع الصادي.
• يوجد مجموعة الأصفار الحقيقية لدوال كثيرات الحدود جبرياً وبيانياً.
• يحدد مجال الدالة الكسرية الجبرية النسبية ويبسطها ويوجد أصفارها.
• يوجد المجال المشترك لدالتين أو أكثر ويتعرف شرطي تساوي دالتين.
• يجري العمليات الأربع على الكسور الجبرية ويوجد المعكوس الجمعي والضربي.

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الدالة التربيعية: دالة من الدرجة الثانية في متغير واحد، ومنحناها يسمى القطع المكافئ ويتماثل حول مستقيم رأسي هو محور التماثل المار برأس المنحنى. مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية.
• دالة كثيرة الحدود: f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + aₙxⁿ حيث الأسس أعداد صحيحة موجبة و aₙ ≠ 0، ودرجتها n. الدالة الثابتة درجتها صفر، والدالة الصفرية لا درجة لها.
• صفر الدالة: قيمة x التي تجعل f(x) = 0. إذا كان f(a) = 0 فإن a صفر للدالة و (x − a) أحد عوامل f(x).
• الكسر الجبري النسبي: نسبة بين كثيرتي حدود p(x) ÷ q(x) حيث q(x) ≠ 0.
• مجال الدالة النسبية: ح − مجموعة أصفار المقام.

القوانين والنظريات والقواعد

الدالة التربيعية

الصورة القياسية: f(x) = ax² + bx + c ، a ≠ 0
إحداثي x للرأس = −b ÷ (2a)
إحداثي y للرأس = f(−b ÷ 2a)
المقطع الصادي = c
صورة الرأس: f(x) = a(x − h)² + k ، الرأس (h ، k)

• إذا كان a > 0 فالمنحنى يفتح لأعلى وللدالة قيمة صغرى عند الرأس.
• إذا كان a < 0 فالمنحنى يفتح لأسفل وللدالة قيمة عظمى عند الرأس.
• للرسم: أوجد الرأس، ثم اختر قيماً لـ x متماثلة حوله، واحسب f(x) وصل النقاط.

أصفار كثيرات الحدود

• مجموعة أصفار f هي حل المعادلة f(x) = 0 في ح.
• إذا كانت f(x) = عدداً ثابتاً ≠ 0 فمجموعة أصفارها ∅، وإذا كانت f(x) = 0 فمجموعة أصفارها ح.
• بيانياً: أصفار الدالة هي الإحداثيات x لنقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات، وعدد الأصفار المختلفة = عدد نقاط التقاطع.

الدوال الكسرية الجبرية

مجال f = ح − { x : q(x) = 0 }
أصفار f = { x : p(x) = 0 ، q(x) ≠ 0 }
المجال المشترك = ح − (أصفار مقام f ∪ أصفار مقام g)

• التبسيط: حلّل البسط والمقام واختصر العوامل المشتركة مع بقاء المجال كما هو قبل الاختصار.
• تساوي دالتين: تتساويان إذا تحقق شرطان معاً: (1) تساوي المجالين، (2) تكافؤ القاعدتين عند أبسط صورة.

العمليات على الكسور الجبرية

• الجمع والطرح: حلل وبسّط، ثم وحّد المقامات، ثم اجمع أو اطرح البسطين.
• الضرب: حلل واختصر ثم اضرب. مجال الناتج يستبعد أصفار مقامي الكسرين.
• القسمة: اضرب في المعكوس الضربي للقاسم. مجال الناتج يستبعد أصفار المقامين وأصفار بسط القاسم.
• المعكوس الجمعي للكسر p ÷ q هو −p ÷ q، والمعكوس الضربي هو q ÷ p بشرط p ≠ 0.
• خواص الجمع: إبدال وتجميع، والصفر محايد جمعي، ويوجد معكوس جمعي. خواص الضرب: إبدال وتجميع، والواحد محايد ضربي، ويوجد معكوس ضربي لكل كسر غير صفري.

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): أوجد رأس منحنى f(x) = x² − 4x + 3 والقيمة الصغرى. الحل: a = 1، b = −4، x = 4 ÷ 2 = 2، f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. الرأس (2 ، −1) والقيمة الصغرى = −1 لأن a > 0، والمقطع الصادي (0 ، 3).

مثال 2 (متوسط): إذا كان −3 صفراً للدالة f(x) = 2x² + bx + 3 فأوجد b و f(4). الحل: 2(9) − 3b + 3 = 0 فتكون b = 7. إذن f(x) = 2x² + 7x + 3 و f(4) = 32 + 28 + 3 = 63.

مثال 3 (متوسط): أوجد المجال المشترك للدالتين f(x) = (x² − 4x + 3) ÷ (x² − x − 6) و g(x) = (x² − 9) ÷ (x² − 5x + 6). الحل: أصفار مقام f هي {3 ، −2} وأصفار مقام g هي {2 ، 3}، فالمجال المشترك = ح − {−2 ، 2 ، 3}.

مثال 4 (صعب): أوجد أصفار f(x) = (x² − 7x + 12) ÷ (x² − x − 6). الحل: f(x) = (x − 3)(x − 4) ÷ [(x − 3)(x + 2)]. أصفار البسط {3 ، 4} وأصفار المقام {3 ، −2}، فمجموعة أصفار f = {3 ، 4} − {3 ، −2} = {4}.

مثال 5 (تطبيق): قذفت كرة فكان ارتفاعها h(t) = −4.9t² + 19.6t متراً بعد t ثانية. أقصى ارتفاع عند t = 19.6 ÷ 9.8 = 2 ثانية، وهو h(2) = 19.6 متراً.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• الاختصار قبل إيجاد المجال: يجب إيجاد مجال الدالة قبل اختصار العوامل.
• الخلط بين أصفار البسط وأصفار الدالة: يجب استبعاد أي صفر يجعل المقام صفراً.
• نسيان أن f(x) = 5 قد يعطي x خارج المجال فيكون الحل ∅.
• في القسمة: نسيان استبعاد أصفار بسط القاسم.
• اعتبار x² = −4 ذات حل حقيقي: مجموعة الحل ∅.

قائمة المراجعة

• [ ] أحسب رأس القطع المكافئ بالقانون −b ÷ 2a.
• [ ] أحدد نوع القيمة (عظمى أو صغرى) من إشارة a.
• [ ] أميز بين الصورة القياسية وصورة الرأس.
• [ ] أجد أصفار كثيرة الحدود بالتحليل.
• [ ] أقرأ أصفار الدالة من التمثيل البياني.
• [ ] أجد مجال الدالة النسبية.
• [ ] أبسط الدالة النسبية وأحتفظ بمجالها.
• [ ] أجد أصفار الدالة النسبية.
• [ ] أجد المجال المشترك.
• [ ] أتحقق من شرطي تساوي دالتين.
• [ ] أجمع وأطرح وأضرب وأقسم الكسور الجبرية.
• [ ] أحدد المعكوسين الجمعي والضربي.

جميع القوانين دفعة واحدة

f(x) = ax² + bx + c ، رأس x = −b ÷ 2a ، المقطع الصادي = c
f(x) = a(x − h)² + k ، الرأس (h ، k)
أصفار f : f(x) = 0
مجال p ÷ q = ح − {x : q(x) = 0}
أصفار p ÷ q = {x : p(x) = 0 ، q(x) ≠ 0}
المجال المشترك = ح − (Z₁ ∪ Z₂)
f = g إذا D_f = D_g و f(x) = g(x)
المعكوس الجمعي لـ p ÷ q = −p ÷ q ، المعكوس الضربي = q ÷ p