ملخص الرياضيات تالتة إعدادي، الترم الأول قوة القوة والمعادلات الأسية

أهداف التعلم

• يتعرف الطالب مفهوم قوة القوة ويوجد قوة القوة لأي عدد حقيقي.
• يستخدم قانون قوة القوة لاختصار العبارات الرياضية إلى أبسط صورة.
• يستخدم قانوني قوة حاصل الضرب وقوة خارج القسمة في حل مسائل حياتية.
• يحل المعادلات الأسية باستخدام قوانين الأسس وخاصية تساوي القوى.
• يستخدم المعادلات الأسية في حل مسائل من الحياة (انقسام البكتيريا، الحجوم، المحيطات).

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الأساس: العدد الذي يُرفع إلى قوة (في 2³ الأساس هو 2).
• الأس: العدد الذي يدل على عدد مرات ضرب الأساس في نفسه (في 2³ الأس هو 3).
• القوة: الناتج عن رفع الأساس إلى الأس.
• قوة القوة: رفع عدد مرفوع لأس إلى أس آخر، مثل (2³)⁴.
• المعادلة الأسية: معادلة يحتوي أسها على متغير، مثل 2ˣ = 8 أو 3ˣ⁻⁴ = 1، أما x² = 9 فليست أسية لأن المتغير في الأساس.

القوانين والنظريات والقواعد

قوانين الأسس (لأي عددين حقيقيين a، b لا يساويان صفراً ولأي عددين صحيحين m، n)

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
(a ÷ b)ⁿ = aⁿ ÷ bⁿ
a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ
a⁰ = 1

قانون قوة القوة

(aᵐ)ⁿ = aᵐ×ⁿ

التفسير: (2³)⁴ = 2³ × 2³ × 2³ × 2³ = 2¹²، فالأس الناتج هو حاصل ضرب الأسين 3 × 4 = 12. شرط التطبيق: a عدد حقيقي لا يساوي صفراً و m، n عددان صحيحان.

قانون قوة حاصل ضرب قوتين

(aᵐ × bⁿ)ᵏ = aᵐᵏ × bⁿᵏ

مثال: (2³ × 3)⁴ = 2¹² × 3⁴.

قانون قوة خارج قسمة قوتين

(aᵐ ÷ bⁿ)ᵏ = aᵐᵏ ÷ bⁿᵏ

مثال: (2³ ÷ 7²)⁵ = 2¹⁵ ÷ 7¹⁰.

ملاحظات مهمة:

• (−a)ⁿ = aⁿ إذا كان n عدداً زوجياً، و (−a)ⁿ = −aⁿ إذا كان n عدداً فردياً.
• (aᵐ + bⁿ)ᵏ ≠ aᵐᵏ + bⁿᵏ، وكذلك (aᵐ − bⁿ)ᵏ ≠ aᵐᵏ − bⁿᵏ، فقانون القوة لا يوزَّع على الجمع أو الطرح.
• القسمة على صفر لا معنى لها؛ فإذا وُجدت رموز في المقام فيجب ألا تساوي الصفر.

حل المعادلات الأسية

تُدرس المعادلة على الصورة aˣ = bʸ حيث a > 0، a ≠ 1.

إذا كان aˣ = aʸ حيث a > 0 ، a ≠ 1 فإن x = y   (خاصية تساوي القوى)
إذا كان aˣ = 1 حيث a > 0 ، a ≠ 1 فإن x = 0
إذا كان aˣ = bˣ حيث a ≠ b ، a > 0 ، b > 0 فإن x = 0

خطوات الحل: حلّل الأعداد (مثل 125 = 5³ ، 81 = 3⁴ ، 32 = 2⁵) لتكتب الطرفين بأساس واحد، ثم ساوِ الأسس واحلّ المعادلة الناتجة، ثم تحقق من الحل بالتعويض في المعادلة الأصلية.

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): اختصر (2¹¹)² × 2³ ÷ [(2⁶)³ × 2⁴]. الحل: البسط = 2²² × 2³ = 2²⁵، والمقام = 2¹⁸ × 2⁴ = 2²²، فالناتج = 2²⁵⁻²² = 2³ = 8.

مثال 2 (متوسط): حل المعادلة 2^(x²) = 16^(3−x). الحل: 16 = 2⁴ إذن 2^(x²) = 2^(12−4x)، فيكون x² = 12 − 4x، أي x² + 4x − 12 = 0، (x + 6)(x − 2) = 0، إذن x = −6 أو x = 2.

مثال 3 (صعب): أوجد قيمة n إذا كان (2ⁿ × 9ⁿ⁺¹) ÷ 18ⁿ = 3ⁿ. الحل: 9ⁿ⁺¹ = 3²ⁿ⁺²، و18ⁿ = 2ⁿ × 3²ⁿ، فبعد الاختصار 3²ⁿ⁺²⁻²ⁿ = 3ⁿ أي 3² = 3ⁿ، إذن n = 2.

مثال 4 (تطبيق حياتي): تنقسم خلية بكتيريا إلى خليتين كل ساعة. بعد كم ساعة يصبح العدد 1024 خلية؟ الحل: 2ⁿ = 1024 = 2¹⁰، إذن n = 10 ساعات.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• جمع الأسس بدل ضربها في قوة القوة: (a³)² = a⁶ وليس a⁵.
• توزيع القوة على الجمع: (a + b)² ≠ a² + b².
• إهمال إشارة الأساس السالب: (−2)³ = −8 بينما (−2)⁴ = 16.
• نسيان أن المعادلة x² = 9 تعطي حلين x = ±3.
• عدم التأكد من أن الأساسين متساويان قبل مساواة الأسس.

قائمة المراجعة

• [ ] أعرف قوانين الأسس الستة.
• [ ] أطبق (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
• [ ] أطبق قوة حاصل الضرب وقوة خارج القسمة.
• [ ] أفرّق بين الأس الزوجي والفردي للأساس السالب.
• [ ] أحلل الأعداد لأساس واحد (125 = 5³).
• [ ] أحل aˣ = aʸ بمساواة الأسس.
• [ ] أعرف أن aˣ = 1 يعني x = 0.
• [ ] أحل المعادلة التي تؤدي لمعادلة تربيعية في الأس.
• [ ] أتحقق من الحل بالتعويض.
• [ ] أستخدم المعادلات الأسية في مسائل المساحة والحجم والنمو.

جميع القوانين دفعة واحدة

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
(aᵐ × bⁿ)ᵏ = aᵐᵏ × bⁿᵏ
(aᵐ ÷ bⁿ)ᵏ = aᵐᵏ ÷ bⁿᵏ
a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ ، a⁰ = 1
aˣ = aʸ ⇒ x = y
aˣ = 1 ⇒ x = 0
aˣ = bˣ (a ≠ b) ⇒ x = 0