ملخص الرياضيات تانية إعدادي، الترم الأول الجدول التكراري المتجمع ومقاييس النزعة المركزية

أهداف التعلم

• يكوّن الجدول التكراري المتجمع الصاعد للجدول التكراري ذي الفئات ويرسم منحناه.
• يستخرج معلومات من الجدول والمنحنى (عدد أقل من قيمة، أو ما يساويها فأكثر، والنسبة المئوية).
• يقدّر الوسط الحسابي للجدول التكراري ذي الفئات.
• يقدّر الوسيط (بيانيًا وجدوليًا) والمنوال (بالمدرج التكراري).
• يقرأ الجداول والتمثيلات البيانية ويفسرها.

المفاهيم والتعريفات

• الجدول التكراري ذو الفئات: يُنظم فيه عدد كبير من البيانات في فئات متساوية الطول (مثل −10، −20، ...)، ويُمثل بالمدرج التكراري.
• الجدول التكراري المتجمع الصاعد: جدول يبين عدد القيم الأقل من الحد الأعلى لكل فئة (أقل من 20، أقل من 30...).
• المنحنى المتجمع الصاعد: تمثيل بياني لنقاط (الحد الأعلى للفئة، التكرار المتجمع) توصل ببعضها.
• مركز الفئة = (الحد الأدنى + الحد الأعلى) ÷ 2. طول الفئة = الحد الأعلى − الحد الأدنى.
• مقاييس النزعة المركزية: الوسط الحسابي (مجموع القيم ÷ عددها)، والوسيط (القيمة التي تقع في المنتصف بعد الترتيب)، والمنوال (القيمة الأكثر تكرارًا).

القوانين والخطوات

تكوين الجدول المتجمع الصاعد

نكتب الحدود العليا للفئات (أقل من ...) ونجمع التكرارات تدريجيًا. مثال (درجات 28 طالبًا): الفئات 10-، 20-، 30-، 40-، 50- بتكرارات 2، 10، 9، 5، 2:

• عدد الطلاب الذين حصلوا على أقل من 30 درجة = 12 طالبًا.
• عدد الذين حصلوا على 20 درجة فأكثر = 28 − 2 = 26 طالبًا.
• النسبة المئوية لما هو أقل من قيمة = (التكرار المتجمع ÷ المجموع) × 100%. مثال: 85 سباحًا من 100 سجلوا أقل من 45 ثانية فالنسبة 85%. وعدد من سجل 35 ثانية فأكثر = 100 − 22 = 78.

الوسط الحسابي للجدول ذي الفئات

الوسط الحسابي = مجموع (التكرار × مركز الفئة) ÷ مجموع التكرارات = Σ(ك × م) ÷ Σك مثال (سرعات 100 سيارة): الفئات 80-، 90-، 100-، 110-، 120- بتكرارات 13، 17، 24، 32، 14 ومراكزها 85، 95، 105، 115، 125 ⇒ ك × م = 1105، 1615، 2520، 3680، 1750 ومجموعها 10670 ⇒ الوسط = 10670 ÷ 100 = 106.7 كم/س. مثال بمجهول: الفئات 60-، 70-، 80-، 90-، 100- بتكرارات 1، 5، ك، 10، 6 والوسط 90 ⇒ (2020 + 85ك) ÷ (22 + ك) = 90 ⇒ 1980 + 90ك = 2020 + 85ك ⇒ ك = 8.

الوسيط

• ترتيب الوسيط = مجموع التكرارات ÷ 2.
• بيانيًا: نحدد ترتيب الوسيط على المحور الرأسي ونرسم خطًا أفقيًا يقطع المنحنى المتجمع الصاعد ثم نسقط على المحور الأفقي فنجد قيمة الوسيط.
• جدوليًا: نستخدم التناسب بين الفئتين المحيطتين. مثال: فئات 0-، 6-، 12-، 18-، 24- بتكرارات 6، 8، 12، 10، 4 (المجموع 40): ترتيب الوسيط = 20؛ المتجمع الصاعد: أقل من 12 → 14، أقل من 18 → 26. الوسيط = 12 + (20 − 14) ÷ (26 − 14) × 6 = 12 + 3 = 15.

المنوال

نرسم المدرج التكراري ونحدد الفئة المنوالية (الأكبر تكرارًا)، ثم نوصل بين رأسي العمودين المجاورين ونسقط نقطة التقاطع على المحور الأفقي فنحصل على المنوال. مثال: زمن استخدام الهاتف (120-، 150-، 180-، 210-، 240-، 270-) بتكرارات 3، 4، 5، 6، 8، 4: الفئة المنوالية 240-، والمنوال ≈ 250 دقيقة.

أخطاء شائعة

• استخدام الحد الأدنى بدل مركز الفئة عند حساب الوسط.
• نسيان أن التكرار المتجمع يكون للحد الأعلى للفئة (أقل من).
• خلط ترتيب الوسيط (Σك ÷ 2) بقيمة الوسيط.
• نسيان تحديد الفئة المنوالية قبل إيجاد المنوال.

قائمة المراجعة

• [ ] أكوّن الجدول المتجمع الصاعد.
• [ ] أرسم المنحنى المتجمع الصاعد.
• [ ] أستخرج عدد «أقل من» و«أكثر من».
• [ ] أحسب النسبة المئوية من الجدول.
• [ ] أوجد مركز الفئة وطولها.
• [ ] أحسب الوسط الحسابي بالقانون.
• [ ] أوجد قيمة مجهول عند معرفة الوسط.
• [ ] أحدد ترتيب الوسيط.
• [ ] أقدّر الوسيط بيانيًا.
• [ ] أحسب الوسيط من الجدول.
• [ ] أحدد الفئة المنوالية.
• [ ] أقدّر المنوال بالمدرج.

جميع القوانين دفعة واحدة

مركز الفئة = (الحد الأدنى + الحد الأعلى) ÷ 2
الوسط الحسابي = Σ(ك × م) ÷ Σك
ترتيب الوسيط = Σك ÷ 2
الوسيط (جدوليًا) = أ + [(الترتيب − متجمع قبل) ÷ (متجمع بعد − متجمع قبل)] × طول الفئة
الفئة المنوالية = الفئة الأكبر تكرارًا