ملخص الرياضيات تانية إعدادي، الترم الأول تطبيقات التوازي والمتوسطات والمثلث المتساوي الساقين والمضلعات

أهداف التعلم

• يتعرف العلاقة بين أطوال القطع المحصورة بين مستقيمات متوازية وخواص القطعة المتوسطة في المثلث.
• يتعرف متوسطات المثلث ونقطة تلاقيها (مركز الثقل) وخواصها.
• يتعرف خواص المثلث المتساوي الساقين والمتساوي الأضلاع ومحور تماثل القطعة المستقيمة والمثلث 30°−60°−90°.
• يحسب مجموع قياسات الزوايا الداخلية والخارجية لمضلع محدب وقياس زاوية المضلع المنتظم وعدد أقطاره.

3-3 تطبيقات التوازي

• نظرية (3-1): إذا قطع مستقيم عدة مستقيمات متوازية وقطّعت منه أجزاء متساوية، فإنها تقطع من أي مستقيم آخر قاطع لها أجزاء متساوية.
• نظرية (3-2): المستقيم المرسوم من منتصف أحد أضلاع مثلث موازيًا لضلع آخر يُنصّف الضلع الثالث.
• القطعة المتوسطة في المثلث: قطعة مستقيمة تصل بين منتصفي ضلعين، وللمثلث ثلاث قطع متوسطة.
• نظرية القطعة المتوسطة: القطعة المتوسطة في المثلث توازي الضلع الثالث وطولها يساوي نصف طوله: إذا كانت د منتصف أب، هـ منتصف أجـ فإن دهـ ∥ ب جـ ، دهـ = ½ ب جـ.
• نتيجة: محيط المثلث المتكوّن من القطع المتوسطة الثلاث يساوي نصف محيط المثلث الأصلي.
• مثال: إذا كانت د منتصف أب وهـ منتصف أجـ وكان دهـ = 5 سم فإن ب جـ = 10 سم، ودهـ ∥ ب جـ.

3-4 متوسطات المثلث

• المتوسط: قطعة مستقيمة مرسومة من رأس المثلث إلى منتصف الضلع المقابل، وللمثلث ثلاثة متوسطات.
• متوسطات المثلث تتقاطع في نقطة واحدة تسمى نقطة تلاقي المتوسطات (مركز الثقل أو نقطة الاتزان).
• نظرية: نقطة تلاقي متوسطات المثلث تقسم كل متوسط بنسبة 2 : 1 من جهة الرأس (أي أن البعد عن القاعدة = ⅓ المتوسط، والبعد عن الرأس = ⅔ المتوسط). ونتيجتها: النقطة التي تقسم متوسطًا بنسبة 2 : 1 من الرأس هي نقطة تلاقي المتوسطات.
• في المثلث القائم الزاوية: طول المتوسط المرسوم من رأس القائمة = نصف طول الوتر.
• عكسيًا: إذا كان طول المتوسط المرسوم من رأس مثلث يساوي نصف طول الضلع المقابل لهذا الرأس فالزاوية عند هذا الرأس قائمة.
• أمثلة: إذا كان أد متوسط في مثلث أب جـ القائم في أ وكان أد = 17 سم فإن ب جـ = 34 سم؛ وإذا كان أب = 16 فإن أجـ = √(34² − 16²) = 30 ومساحة المثلث = ½ × 16 × 30 = 240 سم². وإذا كانت م نقطة تلاقي متوسطات △أ ب جـ وكان أد = 21 سم فإن م د = ⅓ × 21 = 7 سم وأ م = 14 سم.

3-5 المثلث المتساوي الساقين

• المثلث المتساوي الساقين: مثلث فيه ضلعان متطابقان. نظرية: زاويتا القاعدة متطابقتان. عكسها: إذا تطابقت زاويتان في مثلث تطابق الضلعان المقابلان لهما.
• المثلث المتساوي الأضلاع: أضلاعه الثلاثة متطابقة، فهو متساوي الزوايا (كل زاوية 60°) والعكس صحيح.
• محور تماثل القطعة المستقيمة: المستقيم العمودي عليها من منتصفها. نتيجتان: أي نقطة على المحور تبعد بعدين متساويين عن طرفي القطعة، وأي نقطة تبعد بعدين متساويين عن طرفي قطعة تقع على محورها.
• محور تماثل المثلث المتساوي الساقين: المستقيم المار برأسه عموديًا على القاعدة. ولذا: المتوسط المرسوم من رأس المثلث المتساوي الساقين ينصف زاوية الرأس ويعامد القاعدة، وكذلك منصف زاوية الرأس ينصف القاعدة ويعامدها. وللمثلث المتساوي الأضلاع ثلاثة محاور تماثل، وللمتساوي الساقين محور واحد، وللمختلف الأضلاع لا يوجد.
• المثلث 30°−60°−90°: طول الضلع المقابل للزاوية 30° يساوي نصف طول الوتر.
• مثال: في مثلث متساوي الساقين قياس زاوية القمة 120° تكون كل من زاويتي القاعدة 30°. وفي مثلث متساوي الساقين قياس زاوية القمة 72° تكون زاوية القاعدة (180 − 72) ÷ 2 = 54°.

3-6 الزوايا الداخلية والخارجية للمضلعات

• مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع محدب عدد أضلاعه ن: (ن − 2) × 180°. مثال: السداسي: (6−2) × 180 = 720°، والخماسي 540°.
• مجموع قياسات الزوايا الخارجية (زاوية عند كل رأس) لأي مضلع محدب = 360° مهما كان عدد أضلاعه.
• المضلع المنتظم أضلاعه متساوية وزواياه متساوية: قياس الزاوية الداخلية = ((ن−2) × 180°) ÷ ن، وقياس الزاوية الخارجية = 360° ÷ ن، مع أن الداخلية + الخارجية = 180°.
• عدد أقطار المضلع المحدب = ن(ن − 3) ÷ 2. مثال: المثمن: 8 × 5 ÷ 2 = 20 قطرًا. وإذا كان عدد الأقطار 35 فإن ن(ن−3) = 70 ⇒ ن = 10.
• أمثلة: مجموع زواياه الداخلية 1440° ⇒ ن − 2 = 8 ⇒ ن = 10. مضلع منتظم قياس زاويته الداخلية 150° ⇒ الخارجية 30° ⇒ ن = 360 ÷ 30 = 12. وقياس خارجيته 24° ⇒ ن = 15.

أخطاء شائعة

• نسيان أن نسبة التقسيم في نقطة تلاقي المتوسطات تُحسب من جهة الرأس 2 : 1.
• الخلط بين مجموع الزوايا الداخلية والخارجية.
• استخدام قانون الأقطار دون القسمة على 2.
• نسيان أن زاويتي القاعدة فقط هما المتساويتان في المثلث المتساوي الساقين.

قائمة المراجعة

• [ ] أنص نظريتي التوازي (3-1) و(3-2).
• [ ] أطبق نظرية القطعة المتوسطة (توازٍ ونصف الطول).
• [ ] أعرف المتوسط ونقطة تلاقي المتوسطات.
• [ ] أطبق نسبة 2 : 1.
• [ ] أطبق نظرية المتوسط في المثلث القائم وعكسها.
• [ ] أطبق نظرية المثلث المتساوي الساقين وعكسها.
• [ ] أعرف خواص المثلث المتساوي الأضلاع.
• [ ] أعرف محور تماثل القطعة والنتيجتين.
• [ ] أعرف خاصية المثلث 30°−60°−90°.
• [ ] أحسب مجموع الزوايا الداخلية والخارجية لمضلع.
• [ ] أحسب زاوية المضلع المنتظم وعدد الأضلاع.
• [ ] أحسب عدد أقطار المضلع.

جميع القوانين دفعة واحدة

القطعة المتوسطة: ∥ الضلع الثالث وطولها = ½ طوله
نقطة تلاقي المتوسطات: تقسم المتوسط 2 : 1 من الرأس
متوسط القائمة = ½ الوتر
مجموع الزوايا الداخلية = (ن − 2) × 180°
مجموع الزوايا الخارجية = 360°
الزاوية الداخلية للمنتظم = (ن − 2) × 180° ÷ ن
الزاوية الخارجية للمنتظم = 360° ÷ ن
عدد الأقطار = ن (ن − 3) ÷ 2