جاري العرض... # ملخص: الوحدة الأولى: الأعداد والعمليات عليها > **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثاني الإعدادي --- ## أهداف التعلم بعد دراسة هذه الوحدة، ستكون قادراً على: 1. **تعريف مفهوم النسبة والتناسب** وتمييز الأعداد المتناسبة من غيرها 2. **تطبيق خاصية الضرب التبادلي** في حل المسائل والتحقق من التناسب 3. **إيجاد الحدود المجهولة** في التناسب (الحد الثالث والرابع) 4. **فهم مفهوم التناسب المتسلسل** والوسط المتناسب (الوسط الهندسي) 5. **حساب الوسط المتناسب** بين عددين باستخدام الصيغة الرياضية 6. **حل مسائل تطبيقية واقعية** تتضمن التناسب والتناسب المتسلسل --- ## المفاهيم والتعريفات الرياضية ### النسبة **التعريف:** النسبة بين كميتين هي مقارنة بين كميتين من نفس النوع. تُعبّر النسبة بين الكميتين $a$ و $b$ بإحدى الصيغ التالية: - $a : b$ (صيغة النسبة) - $\frac{a}{b}$ (صيغة الكسر) - $a ÷ b$ (صيغة القسمة) **المصطلحات:** - يُسمى $a$ **مقدم النسبة** - يُسمى $b$ **تالي النسبة** **مثال:** النسبة بين 12 و 28 تُكتب: $12 : 28$ أو $\frac{12}{28}$ أو $12 ÷ 28$ --- ### التناسب **التعريف:** يُقال إن الكميات $a, b, c, d$ **متناسبة** إذا كانت النسبة بين الكميتين الأولى والثانية مساوية للنسبة بين الكميتين الثالثة والرابعة. **الصيغة الرياضية:** $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$ أو بصيغة أخرى: $$a : b = c : d$$ **المصطلحات المرتبطة بالتناسب:** في التناسب $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$: - يُسمى $a$ **الأول المتناسب** (First proportional) - يُسمى $b$ **الثاني المتناسب** (Second proportional) - يُسمى $c$ **الثالث المتناسب** (Third proportional) - يُسمى $d$ **الرابع المتناسب** (Fourth proportional) **الطرفان والوسطان:** - الحدان $a$ و $d$ يُسميان **الطرفين** (Extremes) - الحدان $b$ و $c$ يُسميان **الوسطين** (Means) **مثال:** في التناسب $\frac{4}{6} = \frac{10}{15}$: - الطرفان: 4 و 15 - الوسطان: 6 و 10 --- ### الأعداد المتناسبة **التعريف:** الأعداد $a, b, c, d$ تكون متناسبة إذا تحقق التناسب $a : b = c : d$ **مثال على أعداد متناسبة:** الأعداد 4, 6, 10, 15 متناسبة لأن: $4 : 6 = 10 : 15$ **مثال على أعداد غير متناسبة:** الأعداد 2, 7, 4, 21 ليست متناسبة لأن: $2 : 7 ≠ 4 : 21$ --- ### التناسب المتسلسل **التعريف:** إذا كانت الكميات $a$ و $b$ و $c$ متناسبة بحيث تحقق العلاقة: $$\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$$ فإن هذه الكميات تكون في **تناسب متسلسل**. **مثال:** الأعداد 4 و 6 و 9 في تناسب متسلسل لأن: $\frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ **مثال آخر:** الأعداد 12 و 15 و 10 ليست في تناسب متسلسل لأن: $\frac{12}{15} ≠ \frac{15}{10}$ --- ### الوسط المتناسب (الوسط الهندسي) **التعريف:** إذا كانت الأعداد $a$ و $b$ و $c$ متناسبة (في تناسب متسلسل)، فإن $b$ يُسمى **الوسط المتناسب** أو **الوسط الهندسي** بين $a$ و $c$. **الخاصية الأساسية:** إذا كان $b$ وسطاً متناسباً بين $a$ و $c$، فإن: $$b^2 = a × c$$ أو بصيغة أخرى: $$b = \sqrt{a × c}$$ **مثال:** الوسط المتناسب بين 8 و 2 هو: $b = \sqrt{8 × 2} = \sqrt{16} = 4$ --- ## القوانين والنظريات والقواعد ### القاعدة الأولى: خاصية الضرب التبادلي (الخاصية الأساسية للتناسب) ``` إذا كانت الأعداد a, b, c, d متناسبة (أي a : b = c : d) فإن: a × d = b × c أي أن: حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون الأعداد الأربعة متناسبة، وجميع الأعداد يجب أن تكون غير صفرية. **ملاحظة:** هذه الخاصية تُستخدم للتحقق من تناسب الأعداد، وكذلك لإيجاد الحدود المجهولة في التناسب. **إثبات الخاصية:** إذا كان $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$، فبضرب طرفي المعادلة في $b × d$ نحصل على: $$a × d = b × c$$ **أمثلة:** - الأعداد 4, 6, 10, 15 متناسبة لأن: $4 × 15 = 60$ و $6 × 10 = 60$ ✓ - الأعداد 2, 7, 4, 21 ليست متناسبة لأن: $2 × 21 = 42$ و $7 × 4 = 28$ ✗ --- ### القاعدة الثانية: إيجاد الحد الرابع المتناسب ``` إذا كانت الأعداد a, b, c, x متناسبة (أي a : b = c : x) فإن: x = (b × c) / a ``` **شرط التطبيق:** يجب معرفة ثلاثة حدود من التناسب، والحد الرابع يكون مجهولاً. **ملاحظة:** الحد الرابع يُسمى أيضاً "الحد الرابع المتناسب"، وهو يُوجد باستخدام خاصية الضرب التبادلي. **الاشتقاق:** من $a : b = c : x$ نحصل على $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$ بضرب الطرفين في $x$ وقسمة على $a$: $$x = \frac{b × c}{a}$$ **مثال:** أوجد الحد الرابع المتناسب للأعداد 8, 12, 14 الحل: إذا كانت $8 : 12 = 14 : x$ $$x = \frac{12 × 14}{8} = \frac{168}{8} = 21$$ --- ### القاعدة الثالثة: إيجاد الحد الثالث المتناسب ``` إذا كانت الأعداد a, b, c, x متناسبة (أي a : b = c : x) وكان المطلوب إيجاد c (الحد الثالث) فإن: c = (a × x) / b ``` **شرط التطبيق:** يجب معرفة الحدود الأول والثاني والرابع، والحد الثالث يكون مجهولاً. **ملاحظة:** هذه القاعدة هي تطبيق مباشر لخاصية الضرب التبادلي. **الاشتقاق:** من $a : b = c : x$ نحصل على $a × x = b × c$ بقسمة الطرفين على $b$: $$c = \frac{a × x}{b}$$ **مثال:** أوجد الحد الثالث المتناسب للأعداد 12, 28, 35 الحل: إذا كانت $12 : 28 = 35 : x$ $$x = \frac{28 × 35}{12} = \frac{980}{12} = \frac{245}{3} ≈ 81.67$$ --- ### القاعدة الرابعة: الوسط المتناسب (الوسط الهندسي) ``` إذا كان b وسطاً متناسباً بين a و c (أي أن a, b, c في تناسب متسلسل: a : b = b : c) فإن: b² = a × c أو: b = √(a × c) ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون الأعداد الثلاثة في تناسب متسلسل، والعدد الأوسط يكون مجهولاً. **ملاحظة:** الوسط المتناسب يُسمى أيضاً "الوسط الهندسي"، وهو يُستخدم في العديد من التطبيقات الهندسية والعملية. **الاشتقاق:** من $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$ نحصل على: $$b × b = a × c$$ $$b^2 = a × c$$ $$b = \sqrt{a × c}$$ **أمثلة:** - الوسط المتناسب بين 8 و 2: $b = \sqrt{8 × 2} = \sqrt{16} = 4$ - الوسط المتناسب بين 9 و 12: $b = \sqrt{9 × 12} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ - الوسط المتناسب بين 27 و 3: $b = \sqrt{27 × 3} = \sqrt{81} = 9$ --- ### القاعدة الخامسة: خاصية عدم تغير النسبة ``` النسبة بين كميتين لا تتغير إذا ضربنا أو قسمنا الكميتين على نفس العدد (غير الصفر) إذا كانت a : b فإن: (a × k) : (b × k) = a : b (a ÷ k) : (b ÷ k) = a : b حيث k ≠ 0 ``` **شرط التطبيق:** يجب أن يكون العدد الذي نضرب أو نقسم عليه غير صفري. **ملاحظة:** هذه الخاصية تُستخدم في تبسيط النسب وتحويلها إلى صيغ أخرى. **مثال:** النسبة $12 : 28$ تساوي $3 : 7$ (بقسمة الطرفين على 4) --- ## أمثلة محلولة ### مثال 1: التحقق من تناسب الأعداد (مستوى سهل) **المسألة:** تحقق مما إذا كانت الأعداد 4, 6, 10, 15 متناسبة. **الحل:** نستخدم خاصية الضرب التبادلي: إذا كانت الأعداد متناسبة، فيجب أن يكون: $4 × 15 = 6 × 10$ حساب الطرف الأيسر: $4 × 15 = 60$ حساب الطرف الأيمن: $6 × 10 = 60$ بما أن $60 = 60$، فإن الأعداد **متناسبة** ✓ **التحقق الإضافي:** $$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$ النسبتان متساويتان، إذن الأعداد متناسبة. --- ### مثال 2: إيجاد الحد الرابع المتناسب (مستوى متوسط) **المسألة:** أوجد الحد الرابع المتناسب للأعداد 8, 12, 14 **الحل:** نفرض أن الحد الرابع المتناسب هو $x$ إذا كانت الأعداد 8, 12, 14, $x$ متناسبة، فإن: $$8 : 12 = 14 : x$$ أو بصيغة الكسر: $$\frac{8}{12} = \frac{14}{x}$$ باستخدام خاصية الضرب التبادلي: $$8 × x = 12 × 14$$ $$8x = 168$$ $$x = \frac{168}{8} = 21$$ **التحقق:** $$\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$ $$\frac{14}{21} = \frac{2}{3}$$ النسبتان متساويتان، إذن الحد الرابع المتناسب هو **21** ✓ --- ### مثال 3: إيجاد الوسط المتناسب وإثبات تناسب (مستوى صعب) **المسألة:** إذا كانت الكميات $a, b, c, d$ متناسبة (أي $a : b = c : d$)، فأثبت أن: $$\frac{2a - 3b}{a + 5b} = \frac{2c - 3d}{c + 5d}$$ **الحل:** **الخطوة 1:** بما أن الكميات $a, b, c, d$ متناسبة، فإن: $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$$ حيث $k$ ثابت غير صفري. **الخطوة 2:** من هذا التعريف نستنتج: $$a = bk \quad \text{و} \quad c = dk$$ **الخطوة 3:** نحسب الطرف الأيسر من المعادلة المطلوب إثباتها: $$\frac{2a - 3b}{a + 5b} = \frac{2(bk) - 3b}{(bk) + 5b}$$ $$= \frac{2bk - 3b}{bk + 5b}$$ $$= \frac{b(2k - 3)}{b(k + 5)}$$ $$= \frac{2k - 3}{k + 5}$$ **الخطوة 4:** نحسب الطرف الأيمن من المعادلة المطلوب إثباتها: $$\frac{2c - 3d}{c + 5d} = \frac{2(dk) - 3d}{(dk) + 5d}$$ $$= \frac{2dk - 3d}{dk + 5d}$$ $$= \frac{d(2k - 3)}{d(k + 5)}$$ $$= \frac{2k - 3}{k + 5}$$ **الخطوة 5:** المقارنة: بما أن الطرف الأيسر = الطرف الأيمن = $\frac{2k - 3}{k + 5}$ فإن: $$\frac{2a - 3b}{a + 5b} = \frac{2c - 3d}{c + 5d}$$ ✓ **الخلاصة:** تم إثبات المطلوب. --- ## أخطاء شائعة وحالات خاصة ### الخطأ الأول: الخلط بين النسبة والتناسب **الخطأ الشائع:** اعتبار أن $3 : 5$ و $6 : 10$ نسبتان مختلفتان. **التصحيح:** النسبتان متساويتان لأن $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0.6$ **الدرس:** النسبة تبقى ثابتة عند ضرب أو قسمة الطرفين على نفس العدد. --- ### الخطأ الثاني: عدم تطبيق خاصية الضرب التبادلي بشكل صحيح **الخطأ الشائع:** في التناسب $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$، كتابة $a × c = b × d$ بدلاً من $a × d = b × c$ **التصحيح:** الصيغة الصحيحة هي: **حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين** $$a × d = b × c$$ **الدرس:** تذكر أن الطرفين هما الحدان الأول والرابع، والوسطان هما الحدان الثاني والثالث. --- ### الخطأ الثالث: نسيان الجذر عند حساب الوسط المتناسب **الخطأ الشائع:** إذا كان $b$ وسطاً متناسباً بين 8 و 2، كتابة $b = 8 × 2 = 16$ بدلاً من $b = \sqrt{8 × 2}$ **التصحيح:** الصيغة الصحيحة هي: $$b = \sqrt{a × c} = \sqrt{8 × 2} = \sqrt{16} = 4$$ **الدرس:** الوسط المتناسب يُحسب بأخذ الجذر التربيعي لحاصل ضرب الحدين الأول والثالث. --- ### الخطأ الرابع: عدم التحقق من صحة الحل **الخطأ الشائع:** إيجاد قيمة مجهول في التناسب دون التحقق من صحة الحل. **التصحيح:** بعد إيجاد قيمة المجهول، يجب التحقق من أن النسبتين متساويتان. **مثال:** إذا وجدنا أن $x = 21$ في التناسب $8 : 12 = 14 : x$ التحقق: $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ و $\frac{14}{21} = \frac{2}{3}$ ✓ --- ### الخطأ الخامس: الخلط بين الحد الثالث والحد الرابع **الخطأ الشائع:** في التناسب $a : b = c : x$، اعتبار أن $c$ هو الحد الرابع بدلاً من $x$ **التصحيح:** في التناسب $a : b = c : x$: - $a$ هو الحد الأول - $b$ هو الحد الثاني - $c$ هو الحد الثالث - $x$ هو الحد الرابع **الدرس:** تذكر ترتيب الحدود الأربعة في التناسب. --- ### حالة خاصة: التناسب المتسلسل **الحالة:** عندما تكون الأعداد في تناسب متسلسل $a : b = b : c$ **الخاصية:** الحد الأوسط يُسمى الوسط المتناسب، و $b^2 = a × c$ **مثال:** في التناسب $4 : 6 = 6 : 9$، الحد الأوسط 6 هو الوسط المتناسب، و $6^2 = 36 = 4 × 9$ ✓ --- ### حالة خاصة: الأعداد السالبة **الحالة:** عند التعامل مع أعداد سالبة في التناسب **ملاحظة:** خاصية الضرب التبادلي تبقى صحيحة حتى مع الأعداد السالبة. **مثال:** الأعداد $-4, 6, -10, 15$ متناسبة لأن: $(-4) × 15 = -60$ و $6 × (-10) = -60$ ✓ --- ## قائمة المراجعة قبل الامتحان، تأكد من أنك تستطيع: - [ ] **تعريف النسبة** وتمييز مقدم النسبة من تاليها - [ ] **تعريف التناسب** وكتابته بصيغتي النسبة والكسر - [ ] **تمييز الطرفين والوسطين** في أي تناسب معطى - [ ] **تطبيق خاصية الضرب التبادلي** للتحقق من تناسب الأعداد - [ ] **إيجاد الحد الرابع المتناسب** باستخدام الصيغة $x = \frac{b × c}{a}$ - [ ] **إيجاد الحد الثالث المتناسب** باستخدام الصيغة $c = \frac{a × x}{b}$ - [ ] **تعريف التناسب المتسلسل** والتحقق من أن ثلاثة أعداد في تناسب متسلسل - [ ] **حساب الوسط المتناسب** باستخدام الصيغة $b = \sqrt{a × c}$ - [ ] **إثبات تناسب الكميات** من معادلات معطاة - [ ] **حل مسائل تطبيقية** تتضمن التناسب والتناسب المتسلسل - [ ] **تجنب الأخطاء الشائعة** المذكورة في القسم السابق - [ ] **التحقق من صحة الحل** بعد إيجاد أي قيمة مجهولة --- ## جميع القوانين دفعة واحدة (للحفظ السريع) ``` ١. تعريف النسبة: a : b أو a/b أو a ÷ b ٢. تعريف التناسب: a : b = c : d أو a/b = c/d ٣. خاصية الضرب التبادلي (الأساسية): إذا a : b = c : d فإن a × d = b × c ٤. إيجاد الحد الرابع المتناسب: إذا a : b = c : x فإن x = (b × c) / a ٥. إيجاد الحد الثالث المتناسب: إذا a : b = c : x فإن c = (a × x) / b ٦. تعريف التناسب المتسلسل: a : b = b : c أو a/b = b/c ٧. الوسط المتناسب (الوسط الهندسي): إذا a : b = b : c فإن b² = a × c أو b = √(a × c) ٨. خاصية عدم تغير النسبة: (a × k) : (b × k) = a : b (a ÷ k) : (b ÷ k) = a : b حيث k ≠ 0 ٩. المصطلحات في التناسب a : b = c : d: - a: الأول المتناسب - b: الثاني المتناسب - c: الثالث المتناسب - d: الرابع المتناسب - a, d: الطرفان - b, c: الوسطان ``` --- ## ملخص تطبيقي سريع ### خطوات حل مسائل التناسب: **الخطوة 1:** اكتب التناسب بصيغة واضحة: $a : b = c : d$ أو $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ **الخطوة 2:** حدد المجهول (الحد الذي تريد إيجاده) **الخطوة 3:** طبق خاصية الضرب التبادلي: $a × d = b × c$ **الخطوة 4:** حل المعادلة للحصول على قيمة المجهول **الخطوة 5:** تحقق من صحة الحل بالتعويض في التناسب الأصلي ### خطوات حل مسائل الوسط المتناسب: **الخطوة 1:** تأكد من أن الأعداد الثلاثة في تناسب متسلسل **الخطوة 2:** استخدم الصيغة: $b = \sqrt{a × c}$ **الخطوة 3:** احسب حاصل الضرب $a × c$ **الخطوة 4:** احسب الجذر التربيعي للناتج **الخطوة 5:** تحقق من أن $b^2 = a × c$ --- ## تطبيقات واقعية ### تطبيق 1: معدل المشاهدات (من المسألة الواقعية) **السياق:** قناة وثائقية تعرض فيلماً على منصتين رقميتين: - المنصة الأولى: 12,000 مشاهدة في 4 ساعات - المنصة الثانية: 18,000 مشاهدة في 6 ساعات **الحل:** معدل المشاهدات على المنصة الأولى: $\frac{12,000}{4} = 3,000$ مشاهدة/ساعة معدل المشاهدات على المنصة الثانية: $\frac{18,000}{6} = 3,000$ مشاهدة/ساعة **النتيجة:** المعدلان متساويان، والمشاهدات متناسبة مع ال
