ملخص الرياضيات تانية إعدادي الوحدة الأولى: الاعداد والعمليات عليها

أهداف التعلم

بعد دراسة هذه الوحدة، ستكون قادراً على:

1. تعريف مفهوم النسبة والتناسب وتمييز الأعداد المتناسبة من غيرها
2. تطبيق خاصية الضرب التبادلي في حل المسائل والتحقق من التناسب
3. إيجاد الحدود المجهولة في التناسب (الحد الثالث والرابع)
4. فهم مفهوم التناسب المتسلسل والوسط المتناسب (الوسط الهندسي)
5. حساب الوسط المتناسب بين عددين باستخدام الصيغة الرياضية
6. حل مسائل تطبيقية واقعية تتضمن التناسب والتناسب المتسلسل

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

النسبة

التعريف: النسبة بين كميتين هي مقارنة بين كميتين من نفس النوع.

تُعبّر النسبة بين الكميتين $a$ و $b$ بإحدى الصيغ التالية:

• $a : b$ (صيغة النسبة)
• $\frac{a}{b}$ (صيغة الكسر)
• $a ÷ b$ (صيغة القسمة)

المصطلحات:

• يُسمى $a$ مقدم النسبة
• يُسمى $b$ تالي النسبة

مثال: النسبة بين 12 و 28 تُكتب: $12 : 28$ أو $\frac{12}{28}$ أو $12 ÷ 28$

---

التناسب

التعريف: يُقال إن الكميات $a, b, c, d$ متناسبة إذا كانت النسبة بين الكميتين الأولى والثانية مساوية للنسبة بين الكميتين الثالثة والرابعة.

الصيغة الرياضية:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

أو بصيغة أخرى:

$$a : b = c : d$$

المصطلحات المرتبطة بالتناسب:

في التناسب $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$:

• يُسمى $a$ الأول المتناسب (First proportional)
• يُسمى $b$ الثاني المتناسب (Second proportional)
• يُسمى $c$ الثالث المتناسب (Third proportional)
• يُسمى $d$ الرابع المتناسب (Fourth proportional)

الطرفان والوسطان:

• الحدان $a$ و $d$ يُسميان الطرفين (Extremes)
• الحدان $b$ و $c$ يُسميان الوسطين (Means)

مثال: في التناسب $\frac{4}{6} = \frac{10}{15}$:

• الطرفان: 4 و 15
• الوسطان: 6 و 10

---

الأعداد المتناسبة

التعريف: الأعداد $a, b, c, d$ تكون متناسبة إذا تحقق التناسب $a : b = c : d$

مثال على أعداد متناسبة: الأعداد 4, 6, 10, 15 متناسبة لأن: $4 : 6 = 10 : 15$

مثال على أعداد غير متناسبة: الأعداد 2, 7, 4, 21 ليست متناسبة لأن: $2 : 7 ≠ 4 : 21$

---

التناسب المتسلسل

التعريف: إذا كانت الكميات $a$ و $b$ و $c$ متناسبة بحيث تحقق العلاقة:

$$\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$$

فإن هذه الكميات تكون في تناسب متسلسل.

مثال: الأعداد 4 و 6 و 9 في تناسب متسلسل لأن: $\frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

مثال آخر: الأعداد 12 و 15 و 10 ليست في تناسب متسلسل لأن: $\frac{12}{15} ≠ \frac{15}{10}$

---

الوسط المتناسب (الوسط الهندسي)

التعريف: إذا كانت الأعداد $a$ و $b$ و $c$ متناسبة (في تناسب متسلسل)، فإن $b$ يُسمى الوسط المتناسب أو الوسط الهندسي بين $a$ و $c$.

الخاصية الأساسية: إذا كان $b$ وسطاً متناسباً بين $a$ و $c$، فإن:

$$b^2 = a × c$$

أو بصيغة أخرى:

$$b = \sqrt{a × c}$$

مثال: الوسط المتناسب بين 8 و 2 هو: $b = \sqrt{8 × 2} = \sqrt{16} = 4$

---

القوانين والنظريات والقواعد

القاعدة الأولى: خاصية الضرب التبادلي (الخاصية الأساسية للتناسب)

إذا كانت الأعداد a, b, c, d متناسبة (أي a : b = c : d)
فإن: a × d = b × c

أي أن: حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين

شرط التطبيق: يجب أن تكون الأعداد الأربعة متناسبة، وجميع الأعداد يجب أن تكون غير صفرية.

ملاحظة: هذه الخاصية تُستخدم للتحقق من تناسب الأعداد، وكذلك لإيجاد الحدود المجهولة في التناسب.

إثبات الخاصية:

إذا كان $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$، فبضرب طرفي المعادلة في $b × d$ نحصل على:

$$a × d = b × c$$

أمثلة:

• الأعداد 4, 6, 10, 15 متناسبة لأن: $4 × 15 = 60$ و $6 × 10 = 60$ ✓
• الأعداد 2, 7, 4, 21 ليست متناسبة لأن: $2 × 21 = 42$ و $7 × 4 = 28$ ✗

---

القاعدة الثانية: إيجاد الحد الرابع المتناسب

إذا كانت الأعداد a, b, c, x متناسبة (أي a : b = c : x)
فإن: x = (b × c) / a

شرط التطبيق: يجب معرفة ثلاثة حدود من التناسب، والحد الرابع يكون مجهولاً.

ملاحظة: الحد الرابع يُسمى أيضاً "الحد الرابع المتناسب"، وهو يُوجد باستخدام خاصية الضرب التبادلي.

الاشتقاق:

من $a : b = c : x$ نحصل على $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$

بضرب الطرفين في $x$ وقسمة على $a$:

$$x = \frac{b × c}{a}$$

مثال: أوجد الحد الرابع المتناسب للأعداد 8, 12, 14

الحل: إذا كانت $8 : 12 = 14 : x$

$$x = \frac{12 × 14}{8} = \frac{168}{8} = 21$$

---

القاعدة الثالثة: إيجاد الحد الثالث المتناسب

إذا كانت الأعداد a, b, c, x متناسبة (أي a : b = c : x)
وكان المطلوب إيجاد c (الحد الثالث)
فإن: c = (a × x) / b

شرط التطبيق: يجب معرفة الحدود الأول والثاني والرابع، والحد الثالث يكون مجهولاً.

ملاحظة: هذه القاعدة هي تطبيق مباشر لخاصية الضرب التبادلي.

الاشتقاق:

من $a : b = c : x$ نحصل على $a × x = b × c$

بقسمة الطرفين على $b$:

$$c = \frac{a × x}{b}$$

مثال: أوجد الحد الثالث المتناسب للأعداد 12, 28, 35

الحل: إذا كانت $12 : 28 = 35 : x$

$$x = \frac{28 × 35}{12} = \frac{980}{12} = \frac{245}{3} ≈ 81.67$$

---

القاعدة الرابعة: الوسط المتناسب (الوسط الهندسي)

إذا كان b وسطاً متناسباً بين a و c
(أي أن a, b, c في تناسب متسلسل: a : b = b : c)
فإن: b² = a × c
أو: b = √(a × c)

شرط التطبيق: يجب أن تكون الأعداد الثلاثة في تناسب متسلسل، والعدد الأوسط يكون مجهولاً.

ملاحظة: الوسط المتناسب يُسمى أيضاً "الوسط الهندسي"، وهو يُستخدم في العديد من التطبيقات الهندسية والعملية.

الاشتقاق:

من $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$ نحصل على:

$$b × b = a × c$$

$$b^2 = a × c$$

$$b = \sqrt{a × c}$$

أمثلة:

• الوسط المتناسب بين 8 و 2: $b = \sqrt{8 × 2} = \sqrt{16} = 4$
• الوسط المتناسب بين 9 و 12: $b = \sqrt{9 × 12} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$
• الوسط المتناسب بين 27 و 3: $b = \sqrt{27 × 3} = \sqrt{81} = 9$

---

القاعدة الخامسة: خاصية عدم تغير النسبة

النسبة بين كميتين لا تتغير إذا ضربنا أو قسمنا الكميتين على نفس العدد (غير الصفر)

إذا كانت a : b فإن:
(a × k) : (b × k) = a : b
(a ÷ k) : (b ÷ k) = a : b
حيث k ≠ 0

شرط التطبيق: يجب أن يكون العدد الذي نضرب أو نقسم عليه غير صفري.

ملاحظة: هذه الخاصية تُستخدم في تبسيط النسب وتحويلها إلى صيغ أخرى.

مثال: النسبة $12 : 28$ تساوي $3 : 7$ (بقسمة الطرفين على 4)

---

أمثلة محلولة

مثال 1: التحقق من تناسب الأعداد (مستوى سهل)

المسألة: تحقق مما إذا كانت الأعداد 4, 6, 10, 15 متناسبة.

الحل:

نستخدم خاصية الضرب التبادلي:

إذا كانت الأعداد متناسبة، فيجب أن يكون: $4 × 15 = 6 × 10$

حساب الطرف الأيسر: $4 × 15 = 60$

حساب الطرف الأيمن: $6 × 10 = 60$

بما أن $60 = 60$، فإن الأعداد متناسبة ✓

التحقق الإضافي: $$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$

النسبتان متساويتان، إذن الأعداد متناسبة.

---

مثال 2: إيجاد الحد الرابع المتناسب (مستوى متوسط)

المسألة: أوجد الحد الرابع المتناسب للأعداد 8, 12, 14

الحل:

نفرض أن الحد الرابع المتناسب هو $x$

إذا كانت الأعداد 8, 12, 14, $x$ متناسبة، فإن:

$$8 : 12 = 14 : x$$

أو بصيغة الكسر:

$$\frac{8}{12} = \frac{14}{x}$$

باستخدام خاصية الضرب التبادلي:

$$8 × x = 12 × 14$$

$$8x = 168$$

$$x = \frac{168}{8} = 21$$

التحقق: $$\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$ $$\frac{14}{21} = \frac{2}{3}$$

النسبتان متساويتان، إذن الحد الرابع المتناسب هو 21 ✓

---

مثال 3: إيجاد الوسط المتناسب وإثبات تناسب (مستوى صعب)

المسألة: إذا كانت الكميات $a, b, c, d$ متناسبة (أي $a : b = c : d$)، فأثبت أن:

$$\frac{2a - 3b}{a + 5b} = \frac{2c - 3d}{c + 5d}$$

الحل:

الخطوة 1: بما أن الكميات $a, b, c, d$ متناسبة، فإن:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$$

حيث $k$ ثابت غير صفري.

الخطوة 2: من هذا التعريف نستنتج:

$$a = bk \quad \text{و} \quad c = dk$$

الخطوة 3: نحسب الطرف الأيسر من المعادلة المطلوب إثباتها:

$$\frac{2a - 3b}{a + 5b} = \frac{2(bk) - 3b}{(bk) + 5b}$$

$$= \frac{2bk - 3b}{bk + 5b}$$

$$= \frac{b(2k - 3)}{b(k + 5)}$$

$$= \frac{2k - 3}{k + 5}$$

الخطوة 4: نحسب الطرف الأيمن من المعادلة المطلوب إثباتها:

$$\frac{2c - 3d}{c + 5d} = \frac{2(dk) - 3d}{(dk) + 5d}$$

$$= \frac{2dk - 3d}{dk + 5d}$$

$$= \frac{d(2k - 3)}{d(k + 5)}$$

$$= \frac{2k - 3}{k + 5}$$

الخطوة 5: المقارنة:

بما أن الطرف الأيسر = الطرف الأيمن = $\frac{2k - 3}{k + 5}$

فإن:

$$\frac{2a - 3b}{a + 5b} = \frac{2c - 3d}{c + 5d}$$ ✓

الخلاصة: تم إثبات المطلوب.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

الخطأ الأول: الخلط بين النسبة والتناسب

الخطأ الشائع: اعتبار أن $3 : 5$ و $6 : 10$ نسبتان مختلفتان.

التصحيح: النسبتان متساويتان لأن $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0.6$

الدرس: النسبة تبقى ثابتة عند ضرب أو قسمة الطرفين على نفس العدد.

---

الخطأ الثاني: عدم تطبيق خاصية الضرب التبادلي بشكل صحيح

الخطأ الشائع: في التناسب $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$، كتابة $a × c = b × d$ بدلاً من $a × d = b × c$

التصحيح: الصيغة الصحيحة هي: حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين

$$a × d = b × c$$

الدرس: تذكر أن الطرفين هما الحدان الأول والرابع، والوسطان هما الحدان الثاني والثالث.

---

الخطأ الثالث: نسيان الجذر عند حساب الوسط المتناسب

الخطأ الشائع: إذا كان $b$ وسطاً متناسباً بين 8 و 2، كتابة $b = 8 × 2 = 16$ بدلاً من $b = \sqrt{8 × 2}$

التصحيح: الصيغة الصحيحة هي:

$$b = \sqrt{a × c} = \sqrt{8 × 2} = \sqrt{16} = 4$$

الدرس: الوسط المتناسب يُحسب بأخذ الجذر التربيعي لحاصل ضرب الحدين الأول والثالث.

---

الخطأ الرابع: عدم التحقق من صحة الحل

الخطأ الشائع: إيجاد قيمة مجهول في التناسب دون التحقق من صحة الحل.

التصحيح: بعد إيجاد قيمة المجهول، يجب التحقق من أن النسبتين متساويتان.

مثال: إذا وجدنا أن $x = 21$ في التناسب $8 : 12 = 14 : x$

التحقق: $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ و $\frac{14}{21} = \frac{2}{3}$ ✓

---

الخطأ الخامس: الخلط بين الحد الثالث والحد الرابع

الخطأ الشائع: في التناسب $a : b = c : x$، اعتبار أن $c$ هو الحد الرابع بدلاً من $x$

التصحيح: في التناسب $a : b = c : x$:

• $a$ هو الحد الأول
• $b$ هو الحد الثاني
• $c$ هو الحد الثالث
• $x$ هو الحد الرابع

الدرس: تذكر ترتيب الحدود الأربعة في التناسب.

---

حالة خاصة: التناسب المتسلسل

الحالة: عندما تكون الأعداد في تناسب متسلسل $a : b = b : c$

الخاصية: الحد الأوسط يُسمى الوسط المتناسب، و $b^2 = a × c$

مثال: في التناسب $4 : 6 = 6 : 9$، الحد الأوسط 6 هو الوسط المتناسب، و $6^2 = 36 = 4 × 9$ ✓

---

حالة خاصة: الأعداد السالبة

الحالة: عند التعامل مع أعداد سالبة في التناسب

ملاحظة: خاصية الضرب التبادلي تبقى صحيحة حتى مع الأعداد السالبة.

مثال: الأعداد $-4, 6, -10, 15$ متناسبة لأن: $(-4) × 15 = -60$ و $6 × (-10) = -60$ ✓

---

قائمة المراجعة

قبل الامتحان، تأكد من أنك تستطيع:

• [ ] تعريف النسبة وتمييز مقدم النسبة من تاليها
• [ ] تعريف التناسب وكتابته بصيغتي النسبة والكسر
• [ ] تمييز الطرفين والوسطين في أي تناسب معطى
• [ ] تطبيق خاصية الضرب التبادلي للتحقق من تناسب الأعداد
• [ ] إيجاد الحد الرابع المتناسب باستخدام الصيغة $x = \frac{b × c}{a}$
• [ ] إيجاد الحد الثالث المتناسب باستخدام الصيغة $c = \frac{a × x}{b}$
• [ ] تعريف التناسب المتسلسل والتحقق من أن ثلاثة أعداد في تناسب متسلسل
• [ ] حساب الوسط المتناسب باستخدام الصيغة $b = \sqrt{a × c}$
• [ ] إثبات تناسب الكميات من معادلات معطاة
• [ ] حل مسائل تطبيقية تتضمن التناسب والتناسب المتسلسل
• [ ] تجنب الأخطاء الشائعة المذكورة في القسم السابق
• [ ] التحقق من صحة الحل بعد إيجاد أي قيمة مجهولة

---

جميع القوانين دفعة واحدة (للحفظ السريع)

١. تعريف النسبة:
   a : b  أو  a/b  أو  a ÷ b

٢. تعريف التناسب:
   a : b = c : d  أو  a/b = c/d

٣. خاصية الضرب التبادلي (الأساسية):
   إذا a : b = c : d  فإن  a × d = b × c

٤. إيجاد الحد الرابع المتناسب:
   إذا a : b = c : x  فإن  x = (b × c) / a

٥. إيجاد الحد الثالث المتناسب:
   إذا a : b = c : x  فإن  c = (a × x) / b

٦. تعريف التناسب المتسلسل:
   a : b = b : c  أو  a/b = b/c

٧. الوسط المتناسب (الوسط الهندسي):
   إذا a : b = b : c  فإن  b² = a × c
   أو  b = √(a × c)

٨. خاصية عدم تغير النسبة:
   (a × k) : (b × k) = a : b
   (a ÷ k) : (b ÷ k) = a : b
   حيث k ≠ 0

٩. المصطلحات في التناسب a : b = c : d:
   - a: الأول المتناسب
   - b: الثاني المتناسب
   - c: الثالث المتناسب
   - d: الرابع المتناسب
   - a, d: الطرفان
   - b, c: الوسطان

---

ملخص تطبيقي سريع

خطوات حل مسائل التناسب:

الخطوة 1: اكتب التناسب بصيغة واضحة: $a : b = c : d$ أو $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

الخطوة 2: حدد المجهول (الحد الذي تريد إيجاده)

الخطوة 3: طبق خاصية الضرب التبادلي: $a × d = b × c$

الخطوة 4: حل المعادلة للحصول على قيمة المجهول

الخطوة 5: تحقق من صحة الحل بالتعويض في التناسب الأصلي

خطوات حل مسائل الوسط المتناسب:

الخطوة 1: تأكد من أن الأعداد الثلاثة في تناسب متسلسل

الخطوة 2: استخدم الصيغة: $b = \sqrt{a × c}$

الخطوة 3: احسب حاصل الضرب $a × c$

الخطوة 4: احسب الجذر التربيعي للناتج

الخطوة 5: تحقق من أن $b^2 = a × c$

---

تطبيقات واقعية

تطبيق 1: معدل المشاهدات (من المسألة الواقعية)

السياق: قناة وثائقية تعرض فيلماً على منصتين رقميتين:

• المنصة الأولى: 12,000 مشاهدة في 4 ساعات
• المنصة الثانية: 18,000 مشاهدة في 6 ساعات

الحل:

معدل المشاهدات على المنصة الأولى: $\frac{12,000}{4} = 3,000$ مشاهدة/ساعة

معدل المشاهدات على المنصة الثانية: $\frac{18,000}{6} = 3,000$ مشاهدة/ساعة

النتيجة: المعدلان متساويان، والمشاهدات متناسبة مع ال