ملخص الرياضيات تانية إعدادي، الترم الأول التطابق ونظرية فيثاغورس

أهداف التعلم

• يتعرف تطابق الأشكال المستوية وشروط تطابق مضلعين.
• يتعرف حالات تطابق مثلثين ويستخدمها في إثبات التطابق وإيجاد أطوال وزوايا مجهولة.
• يستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول ضلع في مثلث قائم الزاوية.
• يستخدم عكس نظرية فيثاغورس لإثبات أن المثلث قائم الزاوية.
• يحدد نوع المثلث بالنسبة لزواياه (حاد أو قائم أو منفرج) من أطوال أضلاعه.

المفاهيم والتعريفات

• تطابق قطعتين مستقيمتين: تتطابقان إذا تساوى طولاهما. تطابق زاويتين: تتطابقان إذا تساوى قياساهما. ويرمز للتطابق بالرمز ≡.
• تطابق مضلعين: يتطابق المضلعان إذا تحقق الشرطان معًا: أطوال أضلاعهما المتناظرة متساوية، وقياسات زواياهما المتناظرة متساوية، مع ترتيب الرؤوس المتناظرة بنفس الترتيب في الكتابة.
• التحويلات الهندسية (الانعكاس والانسحاب والدوران) تعطي صورة مطابقة للشكل لأنها تحافظ على قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع والتوازي.
• المثلث له 6 عناصر (3 أضلاع و3 زوايا)، ولإثبات التطابق يكفي إثبات تطابق 3 عناصر منها على الأقل ضلع واحد.
• رموز: S ضلع، A زاوية، R الزاوية القائمة، H الوتر (أطول ضلع في المثلث القائم ويقابل الزاوية القائمة).

حالات تطابق مثلثين

1. ضلع − ضلع − ضلع (SSS): كل ضلع في مثلث يطابق نظيره في الآخر.
2. ضلعان وزاوية محصورة بينهما (SAS): ضلعان وزاوية محصورة بينهما في مثلث تطابق نظائرها.
3. زاويتان وضلع محصور بينهما (ASA).
4. زاويتان وضلع غير محصور (AAS).
5. قائم − وتر − ضلع (RHS): في مثلثين قائمين يتطابق الوتر وضلع من أحدهما مع نظيريهما في الآخر.

• ملاحظة: تساوي زوايا مثلثين المتناظرة (AAA) لا يكفي للتطابق، وكذلك ضلعان وزاوية غير محصورة (SSA).
• من التطابق ينتج تساوي باقي العناصر المتناظرة.

نظرية فيثاغورس وعكسها

النظرية

في المثلث القائم الزاوية: مربع طول الوتر = مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين: جـ² = أ² + ب².

• يستخدم لإيجاد طول ضلع مجهول: إذا كان ضلعان قائمان 8 و15 فالوتر = √(64 + 225) = √289 = 17.
• وإذا كان الوتر 25 وضلع 15 فالضلع الآخر = √(625 − 225) = √400 = 20 ومساحة المثلث = ½ × 15 × 20 = 150 سم².
• المصريون القدماء استخدموا حبلًا ذا 12 عقدة متساوية البعد لتكوين مثلث أطوال أضلاعه بنسبة 3 : 4 : 5.

عكس النظرية

إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعين في مثلث يساوي مربع طول الضلع الثالث فالمثلث قائم الزاوية فيه، والزاوية القائمة مقابلة للضلع الأكبر.

متباينة فيثاغورس (تحديد نوع المثلث)

ليكن جـ أكبر الأضلاع:

• إذا كان جـ² = أ² + ب² فالمثلث قائم.
• إذا كان جـ² < أ² + ب² فالمثلث حاد الزوايا.
• إذا كان جـ² > أ² + ب² فالمثلث منفرج الزاوية.

ثلاثيات فيثاغورس

(3، 4، 5)، (5، 12، 13)، (8، 15، 17)، (7، 24، 25) ومضاعفاتها مثل (6، 8، 10)، (9، 12، 15)، (10، 24، 26).

أمثلة محلولة

1. في الشكل: المضلع هـ و ز ح هو صورة المضلع أ ب جـ د بدوران، إذا كانت ق(∠د) = 130° فإن ق(∠ح) = 130° لأن الدوران يحفظ القياسات.
2. مثال تطابق: إذا كانت د منتصف ب جـ ، أ ب = أ جـ فإن △أ د ب ≡ △أ د جـ (SSS)، وإذا كان ق(∠ب) = 63° فإن ق(∠جـ) = 63° ومنها ق(∠ب أ جـ) = 180 − 126 = 54° وق(∠د أ جـ) = 27°.
3. هل المثلث قائم؟ أضلاعه 24، 7، 25: 7² + 24² = 625 = 25² فهو قائم. أما 8، 13، 15: 64 + 169 = 233 ≠ 225 فليس قائمًا.
4. نوع المثلث: أضلاعه 9، 10، 11: 121 < 181 ⇒ حاد الزوايا. أضلاعه 3، 2√3، 3√3: 27 > 9 + 12 = 21 ⇒ منفرج الزاوية. أضلاعه 1.5، 2، 2.5: 6.25 = 6.25 ⇒ قائم.
5. سلم: سلم طوله 13 قدمًا قاعدته على بعد 5 أقدام من الحائط فارتفاعه على الحائط = √(169 − 25) = 12 قدمًا.
6. قطر مستطيل: أبعاده 20 و15 فقطره = √(400 + 225) = 25 م.

أخطاء شائعة

• كتابة النظرية بأن الوتر هو أحد الضلعين القصيرين؛ الوتر هو الأطول دائمًا.
• اعتبار AAA أو SSA حالة تطابق.
• كتابة رؤوس المثلثين المتطابقين بغير ترتيب التناظر.
• عند استخدام العكس: وضع الضلع الأكبر في الطرف الأيمن بالمعادلة.

قائمة المراجعة

• [ ] أعرف شرطي تطابق مضلعين.
• [ ] أذكر حالات تطابق مثلثين الخمس.
• [ ] أستخدم التطابق لإيجاد طول أو زاوية.
• [ ] أكتب إثبات التطابق بخطوات منظمة.
• [ ] أعرف أن التحويلات الهندسية تحفظ التطابق.
• [ ] أنص نظرية فيثاغورس.
• [ ] أحسب ضلعًا مجهولًا في مثلث قائم.
• [ ] أنص عكس فيثاغورس.
• [ ] أحدد المثلث القائم من أطوال أضلاعه.
• [ ] أحدد نوع المثلث (حاد/قائم/منفرج).
• [ ] أحفظ ثلاثيات فيثاغورس.
• [ ] أحل مسائل حياتية (سلم، قطر مستطيل).

جميع القوانين دفعة واحدة

في المثلث القائم: جـ² = أ² + ب²   (جـ الوتر)
عكس فيثاغورس: جـ² = أ² + ب² ⇒ المثلث قائم
جـ² < أ² + ب² ⇒ حاد   ،   جـ² > أ² + ب² ⇒ منفرج
حالات التطابق: SSS ، SAS ، ASA ، AAS ، RHS