ملخص الرياضيات تانية إعدادي، الترم الأول التحليل

أهداف التعلم

• يحلل كثيرة الحدود بإخراج العامل المشترك الأكبر (ع.م.أ) ويستخدمه في حل المعادلات.
• يحلل ثلاثي الحدود على الصورة س² + بس + جـ وأس² + بس + جـ.
• يحلل المقدار الذي يمثل مربعًا كاملًا، والفرق بين مربعين، ومجموع مكعبين والفرق بينهما.
• يحلل بالتجميع ويستخدم إكمال المربع.
• يوظف التحليل في تسهيل العمليات الحسابية وحل المسائل الحياتية.

المفاهيم والتعريفات

• كثيرة الحدود: مقدار جبري تكون فيه جميع أسس متغيراته أعدادًا صحيحة موجبة: حد واحد (أحادية)، حدان (ثنائية)، ثلاثة حدود (ثلاثية).
• التحليل: كتابة كثيرة الحدود على صورة حاصل ضرب عوامل؛ وهو عملية عكسية للضرب (التوزيع).
• التحليل الكلي: كتابة كثيرة الحدود على صورة حاصل ضرب كثيرات حدود أولية.
• المعادلة التربيعية: معادلة من الدرجة الثانية تحل بالتحليل.

القواعد والقوانين

1) التحليل بإخراج العامل المشترك الأكبر

1. حلل كل حد إلى عوامله الأولية.
2. ع.م.أ = ع.م.أ للمعاملات × المتغير المشترك بأصغر أس.
3. اقسم كل حد على ع.م.أ واكتبه بين قوسين. مثال: 6س² − 15س = 3س(2س − 5).

• يمكن أن يكون العامل المشترك ذا حدين: 12س(س+ص) − 18ص(س+ص) = 6(س+ص)(2س − 3ص).
• لتسهيل الحساب: 19 × 23 + 19 × 27 = 19(23+27) = 19 × 50 = 950.
• حل المعادلات: إذا كان أ × ب = 0 فإن أ = 0 أو ب = 0. مثال: 3س² + 6س = 0 ⇒ 3س(س+2) = 0 ⇒ س = 0 أو س = −2. ولا تقسم الطرفين على المتغير حتى لا يضيع الحل س = 0.

2) تحليل ثلاثي الحدود س² + بس + جـ

نبحث عن عددين حاصل ضربهما جـ ومجموعهما ب، فتكون = (س + ل)(س + م).

• إذا كان جـ موجبًا فللعددين نفس إشارة ب.
• إذا كان جـ سالبًا فللعددين إشارتان مختلفتان، وللأكبر قيمة مطلقة نفس إشارة ب.
• أمثلة: س² + 7س + 12 = (س+3)(س+4)، س² − 6س + 8 = (س−2)(س−4)، س² + س − 12 = (س−3)(س+4).
• في أس² + بس + جـ (أ ≠ 1): نجرب التحليل ونتحقق من الحد الأوسط، مثل 2س² + 7س + 6 = (2س+3)(س+2)، 4س² + س − 3 = (س+1)(4س−3). ويمكن استخدام التجميع: نبحث عن عددين حاصل ضربهما أ×جـ ومجموعهما ب.
• حل المعادلة التربيعية بالتحليل: مثل س² + 5س − 36 = 0 ⇒ (س−4)(س+9) = 0 ⇒ س = 4 أو س = −9.

3) الحالات الخاصة

• المربع الكامل: أ² + 2أب + ب² = (أ+ب)²، أ² − 2أب + ب² = (أ−ب)². شروطه: الحد الأول والثالث مربعان كاملان والحد الأوسط = ± 2 × جذر الأول × جذر الثالث. مثال: 4س² + 20س + 25 = (2س+5)². أما س² − 6س − 9 فليس مربعًا كاملًا.
• الفرق بين مربعين: أ² − ب² = (أ − ب)(أ + ب). مثال: 9س² − 16ص² = (3س − 4ص)(3س + 4ص). ومجموع مربعين لا يحلل.
• مجموع مكعبين: أ³ + ب³ = (أ+ب)(أ² − أب + ب²).
• الفرق بين مكعبين: أ³ − ب³ = (أ−ب)(أ² + أب + ب²). مثال: س³ − 27 = (س−3)(س² + 3س + 9).
• نبدأ دائمًا بإخراج ع.م.أ ثم نحلل ما بين القوسين: 5س⁴ − 320س = 5س(س³ − 64) = 5س(س−4)(س² + 4س + 16).

4) التحليل بالتجميع وإكمال المربع

• رباعي الحدود: نقسمه إلى مجموعتين ونخرج عاملًا مشتركًا من كل مجموعة ثم العامل المشترك الثنائي. مثال: أس + بص + أص + بس = (أ+ب)(س+ص).
• الطريقة الثانية: تجميع ثلاثة حدود تمثل مربعًا كاملًا والحد الرابع مربع كامل، فيكون الفرق بين مربعين: س² + 16ص² − 8سص − 49 = (س − 4ص)² − 7² = (س − 4ص − 7)(س − 4ص + 7).
• إكمال المربع: إضافة حد لثنائي الحدود ليصبح مربعًا كاملًا: إما إضافة الحد الأوسط (± 2 × جذر الأول × جذر الثالث) أو إضافة الحد الثالث = (الأوسط)² ÷ (4 × الأول). مثال: س² + 10س نضيف 25 فتصبح (س+5)². وتستخدم لحل معادلة لا تحلل مثل س² − 8س + 3 = 0 ⇒ (س−4)² = 13 ⇒ س = 4 ± √13.

أمثلة محلولة

1. حلل: 8س² − 16 = 8(س² − 2).
2. إذا كان س + 2ص = 8 ، 2س + ص = 7 فإن 2س(س+2ص) + ص(س+2ص) = (س+2ص)(2س+ص) = 8 × 7 = 56.
3. حلل: 6س² − 13س + 6 = (2س−3)(3س−2) ، وحل المعادلة: س = 3/2 أو س = 2/3.
4. مساحة حديقة (3س² + 4س − 7) م² = (3س+7)(س−1)؛ فإذا زاد كل بعد 3 م فالأبعاد (3س+10) و(س+2).
5. بالتحليل: (57)² + 2(57)(43) + (43)² = (57+43)² = 10000، و (99)² − 1 = (99+1)(99−1) = 9800.

أخطاء شائعة

• نسيان إخراج العامل المشترك الأكبر أولًا فيكون التحليل غير كلي.
• الخلط بين إشارتي العددين عند تحليل س² + بس + جـ.
• اعتبار مجموع مربعين قابلًا للتحليل بالطريقة نفسها.
• قسمة طرفي المعادلة على متغير فتضيع جذورها.
• خطأ إشارة الحد الأوسط في تحليل مجموع/فرق المكعبين: (أ−ب)(أ² + أب + ب²).

قائمة المراجعة

• [ ] أخرج ع.م.أ لحدود كثيرة الحدود.
• [ ] أستخدم التحليل لتسهيل الحساب.
• [ ] أحل معادلة بإخراج عامل مشترك.
• [ ] أحلل س² + بس + جـ.
• [ ] أحلل أس² + بس + جـ.
• [ ] أتحقق من المربع الكامل.
• [ ] أحلل فرق مربعين.
• [ ] أحلل مجموع وفرق مكعبين.
• [ ] أحلل بالتجميع.
• [ ] أكمل المربع.
• [ ] أحل المعادلات التربيعية بالتحليل.
• [ ] أطبق التحليل في مسائل المساحة والحجم.

جميع القوانين دفعة واحدة

أ² − ب² = (أ−ب)(أ+ب)
أ² + 2أب + ب² = (أ+ب)²
أ² − 2أب + ب² = (أ−ب)²
أ³ + ب³ = (أ+ب)(أ² − أب + ب²)
أ³ − ب³ = (أ−ب)(أ² + أب + ب²)
س² + بس + جـ = (س+ل)(س+م) ، ل + م = ب ، ل × م = جـ
أ × ب = 0 ⇒ أ = 0 أو ب = 0