ملخص الرياضيات تانية إعدادي، الترم الأول الأعداد الحقيقية والعمليات عليها

أهداف التعلم

• يتعرف العدد غير النسبي ومجموعة الأعداد الحقيقية ويقدّر قيمته ويمثله على خط الأعداد.
• يحل معادلات في مجموعة الأعداد الحقيقية.
• يتعرف الفترات وأنواعها ويجري عليها عمليات الاتحاد والتقاطع والفرق والمتممة.
• يجري العمليات الأربع على الأعداد الحقيقية ويعرف خواصها.
• يطبق قوانين الجذر التربيعي والتكعيبي وقوانين الأسس.

المفاهيم والتعريفات

• العدد النسبي: كل عدد يمكن كتابته على الصورة أ/ب حيث أ، ب عددان صحيحان، ب ≠ 0، ويرمز لمجموعته بالرمز ن.
• العدد غير النسبي: عدد لا يمكن كتابته على صورة كسر عادي، ومجموعته ن' (مثل √2، √5، π ≈ 3.14159..، والنسبة الذهبية φ ≈ 1.618..).
• الأعداد الحقيقية (ح): اتحاد مجموعتي الأعداد النسبية وغير النسبية: ح = ن ∪ ن'، وتحتوي على ط ⊂ ص ⊂ ن ⊂ ح. لا يوجد جذر تربيعي لعدد حقيقي سالب.
• الفترة: مجموعة جزئية من ح. للعددين أ < ب:
  • [أ، ب] فترة مغلقة (تشمل الطرفين)، ]أ، ب[ فترة مفتوحة (لا تشملهما)، [أ، ب[ و]أ، ب] فترتان نصف مفتوحتين.
  • الفترات غير المحدودة تستخدم الرمز ∞: ]−∞، ∞[ = ح، ح⁺ = ]0، ∞[ و ح⁻ = ]−∞، 0[. وكذلك ∞ و−∞ ∉ ح.
  • العمليات: الاتحاد (س ∪ ص)، التقاطع (س ∩ ص)، الفرق (س − ص)، المتممة (س' = ح − س).

القوانين والقواعد

تقدير الجذر

إذا كان العدد بين مربعين كاملين متتاليين: ن² < عدد < (ن+1)² فإن ن < √العدد < ن+1. مثال: 25 < 29 < 36 ⇒ 5 < √29 < 6. وبنفس الطريقة بين مكعبين كاملين: 8 < 20 < 27 ⇒ 2 < ∛20 < 3 وهو أقرب إلى 3 لأن 20 أقرب إلى 27.

خواص العمليات على الأعداد الحقيقية

الانغلاق، الإبدال (أ+ب = ب+أ، أ×ب = ب×أ)، الدمج، توزيع الضرب على الجمع أ(ب+جـ) = أب + أجـ، المحايد الجمعي 0 والضربي 1، المعكوس الجمعي (−أ) والمعكوس الضربي 1/أ (أ ≠ 0).

الحدود الجذرية المتشابهة

جمع وطرح الحدود الجذرية المتشابهة كجمع الحدود الجبرية: −4√3 + √3 = −3√3. وعند جمع حدود غير متشابهة نبسط كل حد أولًا. والمتطابقات: (س+ص)(س−ص) = س² − ص²، (س±ص)² = س² ± 2سص + ص².

قوانين الجذور

√أ × √ب = √(أب)، √أ ÷ √ب = √(أ/ب)، ∛أ × ∛ب = ∛(أب). لجعل المقام عددًا صحيحًا نضرب البسط والمقام في √ب (أو في ∛ب² للجذر التكعيبي)، وفي مرافق المقام عند وجود مجموع أو فرق جذرين: مرافق (√5 − √2) هو (√5 + √2).

قوانين الأسس

• أ^ن = أ × أ × ... (ن مرة)، أ⁰ = 1 (أ ≠ 0)، أ^(−ن) = 1/أ^ن.
• أ^م × أ^ن = أ^(م+ن)، أ^م ÷ أ^ن = أ^(م−ن)، (أ^م)^ن = أ^(م×ن)، (أب)^ن = أ^ن × ب^ن، (أ/ب)^ن = أ^ن/ب^ن.
• (−أ)^ن = أ^ن إذا كان ن زوجيًا، و = −أ^ن إذا كان ن فرديًا. وتذكر: (أ+ب)^ن ≠ أ^ن + ب^ن.
• 0.1 = 10⁻¹، 0.01 = 10⁻²، 0.001 = 10⁻³.

أمثلة محلولة

1. بسّط: √32 = √(16×2) = 4√2، و ∛24 = ∛(8×3) = 2∛3.
2. اختصر: 2√3 + 5√27 − √48 = 2√3 + 15√3 − 4√3 = 13√3.
3. إذا كان س = √5 + √2 ، ص = 3/س فإن ص = 3(√5 − √2)/(5 − 2) = √5 − √2، ومنها س − ص = 2√2.
4. أوجد المعكوس الضربي للعدد (2 − √3): = 1/(2 − √3) × (2 + √3)/(2 + √3) = 2 + √3.
5. الفترات: [2، 5[ ∪ ]−2، 3] = ]−2، 5[ ، و [4، 9] ∩ [7، 10[ = [7، 9].
6. قيمة (−(√5)⁴): (√5)⁴ = 25 ومنه −(√5)⁴ = −25، بينما (−√5)⁴ = 25.

أخطاء شائعة

• كتابة 2√3 + 3√2 = 5√5 أو 2√5 + 5 = 7√5 (الحدود غير متشابهة فلا تجمع).
• الاعتقاد بأن √أ + √ب = √(أ+ب).
• نسيان أن (أ+ب)² ≠ أ² + ب².
• نسيان تغيير الإشارة عند ضرب فترة في عدد سالب أو حساب المتممة.

قائمة المراجعة

• [ ] أميز العدد النسبي من غير النسبي.
• [ ] أقدّر √ و ∛ لعدد غير مربع/مكعب كامل.
• [ ] أحل معادلات في ح.
• [ ] أكتب الفترة وأمثلها على خط الأعداد.
• [ ] أجري اتحاد وتقاطع وفرق ومتممة الفترات.
• [ ] أجمع وأطرح الحدود الجذرية المتشابهة.
• [ ] أضرب جذورًا وأستخدم المتطابقات.
• [ ] أجعل المقام عددًا صحيحًا.
• [ ] أوجد المعكوسين الجمعي والضربي.
• [ ] أطبق قوانين الأسس بما فيها الأس الصفري والسالب.
• [ ] أبسط عبارات أسية فيها متغيرات.
• [ ] أحل مسائل هندسية على الجذور (محيط ومساحة).

جميع القوانين دفعة واحدة

√أ × √ب = √(أب)
√أ ÷ √ب = √(أ/ب)
∛أ × ∛ب = ∛(أب)
(س+ص)(س−ص) = س² − ص²
(س±ص)² = س² ± 2سص + ص²
أ⁰ = 1 ، أ^(−ن) = 1/أ^ن
أ^م × أ^ن = أ^(م+ن)
أ^م ÷ أ^ن = أ^(م−ن)
(أ^م)^ن = أ^(من)
(أب)^ن = أ^ن × ب^ن