ملخص الرياضيات أولى إعدادي، الترم الأول الأشكال الرباعية والمضلعات والإحداثيات

أهداف التعلم

• يستنتج مجموع زوايا الشكل الرباعي ويميز الأشكال الرباعية الخاصة وخواصها. • يتعرف شجرة العلاقات بين الأشكال الرباعية. • يميز المضلع المحدب والمقعر ويحسب مجموع زواياه والزاوية الداخلة للمنتظم. • يحدد محاور التماثل في المضلعات المنتظمة. • يمثل النقاط في المستوى الإحداثي ويجد المسقط ومنتصف القطعة المستقيمة.

المفاهيم والتعريفات

الشكل الرباعي: شكل مغلق له أربعة أضلاع. القطر هو القطعة الواصلة بين رأسين غير متتاليين، وللشكل الرباعي قطران. شبه المنحرف: شكل رباعي فيه ضلعان فقط متوازيان. أنواعه: شبه منحرف عادي، قائم الزاوية، متساوي الساقين. متوازي الأضلاع: شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان. المستطيل: متوازي أضلاع إحدى زواياه قائمة. المعين: متوازي أضلاع فيه ضلعان متجاوران متساويان في الطول. المربع: متوازي أضلاع فيه زاوية قائمة وضلعان متجاوران متساويان. المضلع: شكل مستو مغلق ينتج من اتحاد ثلاث قطع مستقيمة أو أكثر تتقابل عند أطرافها (الرؤوس). المضلع المحدب لا توجد فيه زاوية داخلية منعكسة، والمقعر فيه زاوية منعكسة واحدة على الأقل. المضلع المنتظم: جميع أضلاعه متساوية الطول وجميع زواياه الداخلة متساوية القياس. محور التماثل: مستقيم يقسم الشكل إلى جزأين متطابقين ينطبقان عند الطي عليه. المستوى الإحداثي: محوران متعامدان س (أفقي) و ص (رأسي) يتقاطعان في نقطة الأصل (0، 0)، ويقسمان المستوى إلى أربعة أرباع.

القوانين والخواص

مجموع زوايا الشكل الرباعي

مجموع قياسات زوايا أي شكل رباعي = 360° (يقسمه القطر إلى مثلثين).

خواص متوازي الأضلاع

كل ضلعين متقابلين متساويان؛ القطران ينصف كل منهما الآخر؛ كل زاويتين متقابلتين متساويتان؛ كل زاويتين متتاليتين متكاملتان.

متى يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع؟

إذا تحقق أحد الشروط: كل ضلعين متقابلين متوازيان، أو كل ضلعين متقابلين متساويان، أو ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان، أو القطران ينصف كل منهما الآخر، أو كل زاويتين متقابلتين متساويتان.

خواص خاصة

المستطيل: جميع زواياه قائمة وقطراه متساويان. المعين: جميع أضلاعه متساوية وقطراه متعامدان وينصفان زواياه. المربع: يحمل خواص المستطيل والمعين معًا.

المضلعات

مجموع زوايا المضلع المحدب ذي ن ضلعًا = (ن − 2) × 180°. قياس الزاوية الداخلة للمضلع المنتظم = ((ن − 2) × 180°) ÷ ن. عدد محاور تماثل المضلع المنتظم = عدد أضلاعه.

الإحداثيات

نقطة على محور السينات إحداثيها الصادي 0، وعلى محور الصادات إحداثيها السيني 0. مسقط نقطة (أ، ب) على محور السينات هو (أ، 0)، وعلى محور الصادات (0، ب). طول مسقط قطعة على محور = القيمة المطلقة للفرق بين الإحداثيين المناظرين. منتصف القطعة من (س₁، ص₁) إلى (س₂، ص₂) هو ((س₁ + س₂) ÷ 2 ، (ص₁ + ص₂) ÷ 2).

أمثلة محلولة

سهل: المربع له 4 محاور تماثل، وزاويته الداخلة 90°. متوسط: المضلع الخماسي: مجموع زواياه 3 × 180° = 540°. والمنتظم العشاري: كل زاوية = (8 × 180°) ÷ 10 = 144°. متوسط: شبه منحرف أ ب جـ د (أ ب // د جـ)، ق(∠جـ) = 112°، ق(∠أ) = 3س°، ق(∠ب) = 4س°: الداخلتان في جهة واحدة: 4س + 112 = 180 ⟹ س = 17، ق(∠أ) = 51°، ق(∠د) = 360° − (112° + 68° + 51°) = 129°. مستطيل: قطره ينصف الآخر وهما متساويان: أم = م د، 4س − 5 = 3س ⟹ س = 5. مضلعان: خماسي منتظم (108°) وسداسي منتظم (120°) يشتركان في الرأس أ: الزاوية المتبقية حول أ = 360° − (108° + 120°) = 132°. منتصف: منتصف أ(2، −2) و ب(−6، 8) هو ((2 − 6) ÷ 2 ، (−2 + 8) ÷ 2) = (−2، 3). متوازي أضلاع: أ(−1، 1)، ب(4، 2)، د(1، 4): نقطة تقاطع القطرين منتصف ب د = (2.5، 3)، وهي أيضًا منتصف أ جـ، فيكون جـ = (6، 5).

أخطاء شائعة

• خلط شبه المنحرف (ضلعان متوازيان فقط) بمتوازي الأضلاع (زوجان متوازيان). • ظن أن قطري المعين متساويان؛ إنهما متعامدان وغير متساويين عمومًا، أما قطرا المستطيل فمتساويان. • نسيان أن المربع معين ومستطيل في آن واحد. • استخدام (ن − 2) × 180° على مضلع غير محدب دون حذر. • عند تحديد الربع: الربع الأول (+ ،+)، الثاني (− ،+)، الثالث (− ،−)، الرابع (+ ،−).

قائمة المراجعة

☐ أحسب زاوية مجهولة في شكل رباعي. ☐ أميز أشباه المنحرف والمتوازيات والمستطيل والمعين والمربع. ☐ أطبق خواص متوازي الأضلاع وشروط كون الشكل متوازي أضلاع. ☐ أقرأ شجرة العلاقات بين الأشكال الرباعية. ☐ أحدد المضلع المحدب والمقعر. ☐ أحسب مجموع زوايا المضلع والزاوية الداخلة للمنتظم. ☐ أحدد محاور التماثل وعددها. ☐ أعين النقطة وأحدد ربعها. ☐ أجد مسقط نقطة وقطعة مستقيمة وطوله. ☐ أحسب منتصف قطعة مستقيمة وأوجد رأسًا مجهولًا.

جميع القوانين دفعة واحدة

مجموع زوايا الرباعي = 360° مجموع زوايا المضلع = (ن − 2) × 180° الزاوية الداخلة للمنتظم = (ن − 2) × 180° ÷ ن المنتصف = ((س₁ + س₂)/2 ، (ص₁ + ص₂)/2)