ملخص الرياضيات أولى إعدادي، الترم الأول تنظيم البيانات والوسط الحسابي والقطاعات الدائرية

أهداف التعلم

• يجمع البيانات وينظمها في جداول تكرارية بفئات. • يمثل البيانات بالمدرج التكراري والنقاط والأعمدة والساق والأوراق والصندوق. • يميز التمثيلات المضللة ويحسب الوسط الحسابي والوسيط والمنوال. • يحسب الوسط الحسابي لجدول تكراري ويفهم أثر القيم المتطرفة. • يمثل البيانات بالقطاعات الدائرية ويحسب زاوية كل قطاع.

المفاهيم والتعريفات

علم الإحصاء: فرع من الرياضيات يختص بجمع البيانات وتنظيمها وعرضها وتحليلها وتفسيرها لاتخاذ القرار. خطواته: تحديد المشكلة، جمع البيانات، تنظيمها وعرضها، تحليلها وتفسيرها، التنبؤ واتخاذ القرار. تُجمع البيانات بالملاحظة أو المقابلة الشخصية أو الاستبيان. السؤال الإحصائي: سؤال إجابته تتغير من فرد لآخر ويحتاج إلى جمع بيانات. الجدول التكراري: يُنظم البيانات الكثيرة في فئات متساوية الطول. المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة، وطول الفئة = المدى ÷ عدد الفئات تقريبًا. الفئة (41 −) تعني من 41 إلى أقل من 51. المدرج التكراري: أعمدة متلاصقة متساوية العرض بلا فواصل، ولا يعرض القيم الفعلية للبيانات. الساق والأوراق: يعرض البيانات مرتبة وبقيمها الفعلية، فالعدد 41 ساقه 4 (العشرات) وورقته 1 (الآحاد). يُكتب مفتاح للقراءة. الصندوق (الصندوق ذو الشارب): يعتمد على أصغر قيمة وأكبر قيمة والوسيط والربيع الأول والربيع الثالث، ولا يعرض القيم الفعلية. النقاط والأعمدة: يعرضان القيم الفعلية للبيانات. الوسط الحسابي = مجموع القيم ÷ عددها. الوسيط: القيمة التي تتوسط البيانات بعد ترتيبها (إذا كان عددها زوجيًا فهو متوسط القيمتين الأوسطين). المنوال: القيمة الأكثر تكرارًا، وقد يوجد منوالان أو لا يوجد. الرسم البياني المضلل: رسم لا يعرض البيانات بصدق، كأن يبدأ المحور الرأسي من غير الصفر أو يكون تدريجه غير منتظم. القطاع الدائري: شكل يمثل أجزاء من الكل، ومجموع قياسات زواياه المركزية 360°.

القوانين والقواعد

الوسط الحسابي لتوزيع تكراري

الوسط الحسابي = مجـ(ت × س) ÷ مجـ ت، حيث ت التكرار و س القيمة.

مجموع القيم من الوسط

مجموع القيم = الوسط الحسابي × عددها.

قياس الزاوية المركزية للقطاع

زاوية القطاع = (تكرار الفئة ÷ مجموع التكرارات) × 360°.

تأثير القيم المتطرفة

إذا وُجدت قيمة متطرفة كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا فإن الوسط الحسابي يتأثر بها بشدة، ويكون الوسيط أو المنوال أصدق في تمثيل البيانات.

أمثلة محلولة

سهل: الوسط الحسابي للقيم 3، 5، 7 = (3 + 5 + 7) ÷ 3 = 5. متوسط (جدول تكراري): المصروف اليومي: 16 جنيهًا (يومان)، 20 (3 أيام)، 25 (يوم)، 30 (يوم). مجـ ت = 7، مجـ ت س = 32 + 60 + 25 + 30 = 147، فالوسط = 147 ÷ 7 = 21 جنيهًا. متوسط (قطاعات): مجموع التكرارات 7200. الفئة 1 − تكرارها 900: زاويتها (900 ÷ 7200) × 360° = 45°. والفئة 11 − تكرارها 1200: 60°. والفئة 21 − تكرارها 2700: 135°. والفئة 31 − تكرارها 2400: 120°. المجموع 360°. متقدم: حصلت سارة على 94، 88، 81 من 100. لكي يكون وسطها 83 في خمسة اختبارات يلزم أن يكون المجموع 415، فيبقى 415 − 263 = 152 للاختبارين، وأقل درجة ممكنة في أحدهما 152 − 100 = 52. قيمة متطرفة: مرتبات 25000، 4000، 3000، 2500، 2500، 2000: الوسط 6500 لكن الوسيط (2500 + 3000) ÷ 2 = 2750، وهو الأصدق لوصف معظم المرتبات.

خطوات رسم القطاعات الدائرية

١) نجمع التكرارات لنحصل على المجموع الكلي. ٢) نحسب زاوية كل قطاع بالقانون. ٣) نرسم دائرة ونقسمها بالمنقلة إلى قطاعات بحسب الزوايا. ٤) نكتب اسم كل فئة أو نسبتها المئوية على قطاعها. ويمكن إيجاد النسبة المئوية لكل فئة بقسمة تكرارها على المجموع ثم الضرب في 100، ويجب أن يكون مجموع النسب 100%. يمكن استخدام برنامج إكسل لتمثيل جدول بقطاعات دائرية بإدخال البيانات في عمودين ثم اختيار الإدراج ثم الرسم الدائري، كما يمكنه حساب الوسط الحسابي (AVERAGE) والوسيط (MEDIAN) والمنوال (MODE).

كيف نتجنب الإحصاءات المضللة

نتعلم ونتدرب ونتحقق من مصدر البيانات ونقارن بين المصادر، وننتبه عند قراءة الرسوم إلى بداية المحور الرأسي وتساوي تدريجه. مثال: رسمان لعدد مكاتب البريد في أربع محافظات؛ الرسم الذي تدريجه الرأسي غير منتظم يجعل عدد مكاتب إحدى المحافظات يبدو ضعف الأخرى وهو غير صحيح.

أخطاء شائعة

• ترك فواصل بين أعمدة المدرج التكراري (يجب أن تكون متلاصقة). • نسيان ترتيب البيانات قبل إيجاد الوسيط أو الساق والأوراق. • اعتبار أن الوسط الحسابي دائمًا هو الأفضل في وجود قيم متطرفة. • عدم كتابة المفتاح في الساق والأوراق. • ظن أن الرسم الذي يبدأ محوره الرأسي من قيمة كبيرة صادق دائمًا.

قائمة المراجعة

☐ أفرق بين السؤال الإحصائي وغير الإحصائي. ☐ أكوّن جدولًا تكراريًا بفئات متساوية. ☐ أرسم المدرج التكراري والنقاط والأعمدة. ☐ أرسم الساق والأوراق مع المفتاح. ☐ أستخرج الوسيط والربيعين والمنوال. ☐ أكشف الرسوم المضللة. ☐ أحسب الوسط الحسابي والوسيط والمنوال. ☐ أحسب الوسط لجدول تكراري. ☐ أميز متى يتأثر الوسط بالقيم المتطرفة. ☐ أحسب زاوية القطاع الدائري وأرسم القطاعات.

جميع القوانين دفعة واحدة

الوسط الحسابي = مجموع القيم ÷ عددها الوسط (جدول تكراري) = مجـ(ت × س) ÷ مجـ ت المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة زاوية القطاع = (التكرار ÷ مجموع التكرارات) × 360°