ملخص الرياضيات أولى إعدادي، الترم الأول أنواع الزوايا والتوازي ومجموع زوايا المثلث

أهداف التعلم

• يتعرف أنواع الزوايا ووحدات قياسها ويستخدم المنقلة. • يميز الزوايا المتجاورة والمتتامتان والمتكاملتان والمتقابلتان بالرأس والمتجمعة حول نقطة. • يتعرف القاطع والزوايا المتناظرة والمتبادلة والداخلتان في جهة واحدة. • يثبت توازي مستقيمين ويكتب برهانًا هندسيًا بسيطًا. • يستنتج مجموع زوايا المثلث وخاصية الزاوية الخارجة ومتباينة المثلث.

المفاهيم والتعريفات

الزاوية: اتحاد شعاعين لهما نقطة بداية واحدة تسمى الرأس، وكل شعاع ضلع للزاوية. وحدات القياس: الدرجة والدقيقة والثانية، 1° = 60′ و 1′ = 60″. يرمز لقياس الزاوية ق(∠أ ب جـ). أنواع الزوايا: الصفرية (0°)، الحادة (بين 0° و 90°)، القائمة (90°)، المنفرجة (بين 90° و 180°)، المستقيمة (180°)، والمنعكسة (بين 180° و 360°). قياس الزاوية المنعكسة = 360° − قياس الزاوية. الزاويتان المتجاورتان: في مستوى واحد، لهما نفس الرأس وضلع مشترك وضلعاهما الآخران في جهتين مختلفتين من الضلع المشترك. الزاويتان المتتامتان: مجموع قياسيهما 90°. المتكاملتان: مجموع قياسيهما 180°. إذا كانت متجاورتان متتامتين فضلعاهما الخارجان متعامدان. وإذا كانتا متكاملتين فضلعاهما الخارجان على استقامة واحدة. الزاويتان المتقابلتان بالرأس: زاويتان غير متجاورتين تنتجان من تقاطع مستقيمين، وهما متساويتان في القياس. الزوايا المتجمعة حول نقطة: مجموع قياساتها 360°. منصف الزاوية: شعاع يقسمها إلى زاويتين متساويتين في القياس. القاطع: مستقيم يقطع مستقيمين أو أكثر، فتنتج ثماني زوايا: أربع داخلية بين المستقيمين وأربع خارجية. المتوازيان: مستقيمان لا يتقاطعان أبدًا (//). المتعامدان: يتقاطعان في أربع زوايا قائمة (⊥). الزاوية الخارجة عن المثلث: تنتج من مد أحد أضلاعه، وهي مكملة للزاوية الداخلية المجاورة لها.

القوانين والنظريات

المستقيمان المتوازيان والقاطع

إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين فإن: كل زاويتين متناظرتين متساويتان؛ كل زاويتين متبادلتين متساويتان؛ كل زاويتين داخلتين في جهة واحدة من القاطع متكاملتان (مجموعهما 180°).

إثبات التوازي (عكس النظريات)

يتوازى المستقيمان إذا قطعهما مستقيم وتساوت زاويتان متناظرتان، أو تساوت زاويتان متبادلتان، أو تكاملت زاويتان داخلتان في جهة واحدة من القاطع.

خطوات كتابة البرهان

أقرأ المسألة، أحدد المعطيات والمطلوب إثباته، أضع خطة، أكتب خطوات منطقية لكل منها سبب (تعريف أو نظرية أو خاصية)، ثم أراجع. نستخدم (∵) بمعنى «لأن» و (∴) بمعنى «إذن».

المثلث

مجموع قياسات زوايا المثلث الداخلة = 180°. قياس الزاوية الخارجة = مجموع قياسي الزاويتين الداخلتين البعيدتين عنها.

متباينة المثلث

مجموع طولي أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث. وطول أي ضلع أكبر من الفرق بين طولي الضلعين الآخرين وأقل من مجموعهما.

أمثلة محلولة

سهل: إذا كان قياس زاوية 70° فالمنعكسة لها = 360° − 70° = 290°. متوسط: ∠أ ب جـ، ∠جـ ب د على استقامة، قياسهما (4س + 7)° و 55° وهما متتامتان: 4س + 7 + 55 = 90 ⟹ 4س = 28 ⟹ س = 7. متوسط: قاطع يقطع متوازيين والداخلتان في جهة واحدة (3س + 15)° و 75°: 3س + 15 + 75 = 180 ⟹ س = 30. الزاوية الخارجة: زاويتان داخليتان بعيدتان 82° و 22° فالخارجة = 104°. وإذا كانت الخارجة 125° والداخلتان (2س − 2)° و (3س + 7)° فإن 5س + 5 = 125 ⟹ س = 24. متباينة المثلث: ضلعان 5 سم و 2 سم: الثالث بين 3 و 7 سم، وأكبر عدد صحيح ممكن 6 سم. والأطوال 5، 6، 11 (5 + 6 = 11 لا يزيد على 11) لا تكوّن مثلثًا.

ملاحظات تطبيقية

• لإيجاد قيمة س في شكل: حدد العلاقة بين الزوايا (متتامتان؟ متكاملتان؟ متقابلتان بالرأس؟ متناظرتان؟ داخلتان في جهة واحدة؟) ثم اكتب معادلة وحلها، ثم تحقق بالتعويض. • إذا كانت ثلاث نقاط أ، ب، جـ على استقامة واحدة وخرج منها شعاع من ب فالزاويتان الناتجتان متكاملتان. وإذا كان مجموع زاويتين متجاورتين 180° فضلعاهما الخارجان على استقامة واحدة، وإذا كان 90° فهما متعامدان. • في مثال لاعب الإسكواش: 4س + 21° + 50° + 6س − 1° = 180° ⟹ 10س = 110° ⟹ س = 11°، فتكون الزاويتان 65° و 65°. • في مثلث، إذا كانت زواياه 5أ و 3أ و أ فإن 9أ = 180° ⟹ أ = 20°. • تصنف المثلثات بحسب أضلاعها إلى: مختلف الأضلاع ومتساوي الساقين ومتساوي الأضلاع، وبحسب زواياها إلى: حاد الزوايا وقائم الزاوية ومنفرج الزاوية.

أخطاء شائعة

• الخلط بين المتتامتين (90°) والمتكاملتين (180°). • نسيان أن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متساويتان لا متكاملتان. • اعتبار أن أي ثلاثة أطوال تكوّن مثلثًا، وإهمال شرط مجموع الضلعين الأصغر > الأكبر. • كتابة البرهان بلا ذكر السبب لكل خطوة. • استخدام زوايا غير متبادلة أو غير متناظرة للحكم بالتوازي.

قائمة المراجعة

☐ أصنف الزوايا بحسب قياسها. ☐ أستخدم المنقلة وأحول بين الدرجة والدقيقة. ☐ أحسب متممة الزاوية ومكملتها. ☐ أطبق خاصية الزاويتين المتقابلتين بالرأس والزوايا حول نقطة. ☐ أحدد الزوايا المتناظرة والمتبادلة والداخلتين في جهة واحدة. ☐ أحسب قياسات زوايا باستخدام التوازي. ☐ أثبت توازي مستقيمين بسبب مناسب. ☐ أكتب برهانًا هندسيًا مرتبًا. ☐ أستخدم مجموع زوايا المثلث والزاوية الخارجة. ☐ أطبق متباينة المثلث.