ملخص الرياضيات أولى إعدادي، الترم الأول العبارات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية

أهداف التعلم

• يعبر عن المتغيرات بالرموز ويكتب المقادير الجبرية والصيغ الرياضية. • يميز الحد الجبري والحدود المتشابهة ويبسط المقادير الجبرية. • يجمع المقادير الجبرية ويطرحها ويحسب قيمتها عند قيمة معلومة. • يكوّن معادلة خطية في مجهول واحد من موقف حياتي. • يحل المعادلة باستخدام خواص المساواة ويتحقق من الحل.

المفاهيم والتعريفات الرياضية

المتغير: رمز (مثل س، ص) يعبر عن كمية مجهولة. الثابت: عدد لا يحتوي متغيرًا. المقدار العددي: يتكون من أعداد وعملية حسابية أو أكثر، مثل 4 + 7 × (3 − 2). المقدار الجبري: يحتوي على متغير أو أكثر (أو أعداد ومتغيرات) مع عملية أو أكثر مثل س² + 3س − 1. المعادلة: مقداران رياضيان بينهما علامة المساواة (=)، مثل 2س + 5 = 1. المتباينة: مقداران بينهما إحدى علامات (<، >، ≤، ≥)، مثل س ≤ 120. الصيغة الرياضية: تمثل حقيقة أو قاعدة في صورة معادلة أو متباينة، مثل مساحة المربع م = ل². الحد الجبري: حاصل ضرب (أو قسمة) عدد لا يساوي الصفر في متغير أو أكثر. العدد يسمى المعامل. الحد الجبري لا يحتوي علامة جمع أو طرح بداخله. الحدود المتشابهة: حدود لها نفس المتغيرات وبنفس الأسس مهما اختلفت معاملاتها. فمثلًا −3س² و 4س² متشابهان، أما 4ص و ص² فغير متشابهين. الحدود الثابتة (أعداد فقط) متشابهة. المعادلة الخطية في مجهول واحد: معادلة يكون فيها أس المجهول 1، ويمثلها خط مستقيم. مجموعة التعويض: مجموعة القيم الممكنة للمجهول. مجموعة الحل: القيم من مجموعة التعويض التي تحقق المعادلة، وهي مجموعة جزئية من مجموعة التعويض. المعادلتان المتكافئتان: معادلتان لهما نفس مجموعة الحل.

القواعد

تبسيط المقدار الجبري

يكون المقدار في أبسط صورة عندما لا يحتوي حدودًا متشابهة. نفك الأقواس بخاصية التوزيع ثم نجمع معاملات الحدود المتشابهة. وتذكّر: −(س + ص) = −س − ص، −(س − ص) = −س + ص.

خواص العمليات

الإبدال (أ + ب = ب + أ، أ × ب = ب × أ)، الدمج ((أ + ب) + جـ = أ + (ب + جـ))، التوزيع (أ(ب + جـ) = أ ب + أ جـ، أ(ب − جـ) = أ ب − أ جـ).

خواص المساواة

إذا كان أ = ب فإن: أ + جـ = ب + جـ؛ أ − جـ = ب − جـ؛ أ × جـ = ب × جـ؛ أ ÷ جـ = ب ÷ جـ (جـ ≠ 0).

خطوات حل المعادلة

نعزل المتغير في طرف باستخدام العمليات العكسية، ثم نتحقق بالتعويض في المعادلة الأصلية. قد يكون الحل غير موجود في المجموعة المطلوبة، فتكون مجموعة الحل ∅ (مثل حل 2س + 7 = 3 في ط حيث الناتج −2 ليس عددًا طبيعيًا).

أمثلة محلولة

سهل: المقدار 4س + 3ص − 8س ص − 6: حدوده 4س، 3ص، −8س ص، −6؛ الحد الثابت −6؛ معامل س ص هو −8. متوسط: بسّط −س + 2ص − 8ص + 5س + 7 = (−1 + 5)س + (2 − 8)ص + 7 = 4س − 6ص + 7. متوسط: بسّط 2(3س − 4) − 3(س − 2) = 6س − 8 − 3س + 6 = 3س − 2. معادلة: أوجد في ن حل 2(س − 3) = 8: 2س − 6 = 8 ⟹ 2س = 14 ⟹ س = 7، مجموعة الحل {7}. موقف حياتي: أربع تذاكر ثمن الواحدة س وهدايا بـ 500 جنيه والمجموع 620 جنيهًا: 4س + 500 = 620 ⟹ 4س = 120 ⟹ س = 30 جنيهًا. معادلة بمجهول في الطرفين: 2(س + 3) = 3(1 − س) ⟹ 2س + 6 = 3 − 3س ⟹ 5س = −3 ⟹ س = −3/5.

أخطاء شائعة

• عند فك قوس مسبوق بإشارة سالبة ننسى تغيير إشارة كل حد داخل القوس. • جمع حدود غير متشابهة مثل 3س + 2ص = 5س ص (خطأ). • عند حل 2س + 7 = 16 نقسم الطرفين على 2 قبل التخلص من 7 دون تقسيم 7 أيضًا. • نسيان تعويض الحل في المعادلة الأصلية للتحقق.

قائمة المراجعة

☐ أميز المقدار العددي والجبري والمعادلة والمتباينة. ☐ أحدد معامل الحد والحد الثابت. ☐ أصنف الحدود المتشابهة. ☐ أبسط مقدارًا جبريًا بفك الأقواس وجمع المتشابهة. ☐ أجمع وأطرح مقدارين جبريين. ☐ أحسب قيمة مقدار عند قيمة معلومة للمتغير. ☐ أكتب معادلة من موقف لفظي. ☐ أحدد مجموعة التعويض ومجموعة الحل. ☐ أحل معادلة باستخدام خواص المساواة في ط، ص، ن. ☐ أتحقق من الحل.