ملخص الرياضيات أولى إعدادي، الترم الأول النسبة المئوية والنسبة والتناسب، المجموعات، الأعداد الصحيحة والنسبية

أهداف التعلم

• يتعرف التناسب ويحل التناسبات بالضرب التبادلي. • يحسب مقياس الرسم والطول الحقيقي والطول في الرسم. • يقسم كمية بنسبة معلومة ويطبق النسبة المئوية في الخصم والضريبة. • يعبر عن المجموعات بالسرد والصفة المميزة وأشكال فن، ويجد الاتحاد والتقاطع. • يجري العمليات الأربع على الأعداد الصحيحة والنسبية ويطبق خواصها.

المفاهيم والتعريفات الرياضية

النسبة: مقارنة بين كميتين من نوع واحد، تُكتب أ : ب أو أ/ب. التناسب: تساوي نسبتين أو معدلين، أ/ب = جـ/د؛ أ و د طرفان، ب و جـ وسطان. خاصية الضرب التبادلي: إذا كان أ/ب = جـ/د فإن أ × د = ب × جـ، والعكس صحيح. العلاقة التناسبية: عند تمثيلها بيانيًا تقع النقاط على خط مستقيم يمر بنقطة الأصل. إذا لم يمر الخط بالأصل أو لم تقع النقاط على استقامة فلا تناسب. مقياس الرسم: النسبة بين البُعد في الرسم (أو النموذج) والبُعد الحقيقي = الطول في الرسم ÷ الطول الحقيقي. إذا كان المقياس أقل من 1 فهو تصغير، وإذا كان أكبر من 1 فهو تكبير. التقسيم التناسبي: تقسيم كمية (مال، أرض، وزن...) إلى جزأين أو أكثر بنسبة معلومة. المجموعة: تجمع من الأشياء المحددة تمامًا، وتسمى عناصر، وتُكتب بين قوسين { } دون تكرار ولا يهم الترتيب. المجموعة المنتهية لها عدد محدود من العناصر، وغير المنتهية عناصرها لا تنتهي مثل ط = {0، 1، 2، 3، ...}، والمجموعة الخالية ∅ أو { } لا عناصر لها. العدد النسبي: كل عدد يمكن كتابته على صورة أ/ب حيث أ، ب عددان صحيحان وب ≠ 0. مجموعات أعداد العدّ والأعداد الطبيعية والصحيحة كلها مجموعات جزئية من مجموعة الأعداد النسبية.

القوانين والقواعد

حل التناسب

س/أ = جـ/د ⟹ س = (أ × جـ) ÷ د (بعد الضرب التبادلي).

الخصم والزيادة

قيمة الخصم = السعر × نسبة الخصم؛ السعر بعد الخصم = السعر الأصلي − قيمة الخصم. قيمة الزيادة (ضريبة أو ربح) = السعر × النسبة؛ السعر بعد الزيادة = السعر الأصلي + قيمة الزيادة. عند معرفة السعر بعد الخصم d% يكون السعر الأصلي = السعر بعد الخصم × 100 ÷ (100 − d).

المجموعات

أ ∪ ب: كل العناصر التي تنتمي إلى أ أو ب. أ ∩ ب: العناصر المشتركة. إذا كانت أ ∩ ب = ∅ فالمجموعتان متباعدتان. إذا كانت ب ⊂ أ فإن أ ∪ ب = أ و أ ∩ ب = ب. عدد المجموعات الجزئية لمجموعة عدد عناصرها ن يساوي 2ⁿ.

الأعداد الصحيحة

• الجمع: عددان لهما نفس الإشارة نجمع القيمتين المطلقتين ونحتفظ بالإشارة. عددان مختلفان في الإشارة نطرح القيمتين المطلقتين ونأخذ إشارة العدد الأكبر قيمة مطلقة. • الطرح: أ − ب = أ + (−ب). • الضرب والقسمة: الإشارتان المتشابهتان تعطيان ناتجًا موجبًا، والمختلفتان ناتجًا سالبًا، والقسمة على صفر غير معرّفة. • خواص الجمع: الانغلاق، الإبدال، الدمج، العنصر المحايد الجمعي (0)، المعكوس الجمعي. وللضرب أيضًا المحايد الضربي (1)، والتوزيع على الجمع والطرح.

الأعداد النسبية

أ/ب + جـ/ب = (أ + جـ)/ب؛ أ/ب + جـ/د = (أ د + ب جـ)/(ب د). الطرح هو جمع المعكوس الجمعي. الضرب: (أ/ب) × (جـ/د) = (أ جـ)/(ب د). القسمة هي الضرب في المعكوس الضربي للمقسوم عليه. الصفر ليس له معكوس ضربي.

أمثلة محلولة

سهل: أوجد س إذا كان 12/16 = 21/س. الحل: 12 × س = 16 × 21 = 336 ⟹ س = 28. متوسط: تقسيم 3600 جنيه بنسبة 3 : 2: مجموع الأجزاء 5، قيمة الجزء 720، النصيبان 2160 و 1440 جنيهًا. متوسط: هاتف سعره 12750 جنيهًا عليه خصم 8%: الخصم = 1020 جنيهًا، السعر بعد الخصم = 11730 جنيهًا. أصعب: اشترى شخص حذاءً بخصم 15% ودفع 340 جنيهًا. نسبة ما دفعه 85% من السعر الأصلي، فالسعر الأصلي = 340 × 100 ÷ 85 = 400 جنيه. أعداد صحيحة: (−13) + 7 = −6، لأن القيمة المطلقة لـ −13 أكبر والفرق 6. و −4 − (−6) = −4 + 6 = 2.

أخطاء شائعة

• ضريبة المبيعات 14% تعني أن قيمة الضريبة = 14% من السعر، وليس أن الضريبة هي 14 جنيهًا. • نسيان تحويل الوحدات عند حساب مقياس الرسم (يجب أن تكون الوحدتان واحدة). • الخلط بين الحدّ ∪ و ∩، وبين الانتماء (∈) والاحتواء (⊂). • كتابة 9 + (−12) = 21؛ والصواب −3. • القسمة على صفر غير معرّفة، والصفر ليس له معكوس ضربي.

قائمة المراجعة

☐ أعرّف التناسب وأميز الطرفين والوسطين. ☐ أحل التناسب بالضرب التبادلي. ☐ أتحقق من التناسب بيانيًا (خط مستقيم يمر بالأصل). ☐ أحسب مقياس الرسم وأميز التكبير من التصغير. ☐ أقسم كمية بنسبة معلومة. ☐ أحسب الخصم والضريبة والسعر قبل الخصم. ☐ أكتب المجموعة بالسرد وبالصفة المميزة وبشكل فن. ☐ أجد الاتحاد والتقاطع وأعدّ المجموعات الجزئية (2ⁿ). ☐ أجمع وأطرح وأضرب وأقسم الأعداد الصحيحة بالإشارات. ☐ أطبق خواص الجمع والضرب. ☐ أجمع وأطرح وأضرب وأقسم الأعداد النسبية وأحسب المعكوس الضربي.

جميع القوانين دفعة واحدة

أ/ب = جـ/د ⟹ أ × د = ب × جـ مقياس الرسم = الطول في الرسم ÷ الطول الحقيقي السعر بعد الخصم = السعر − (السعر × ن%) عدد المجموعات الجزئية = 2ⁿ أ − ب = أ + (−ب) (أ/ب) ÷ (جـ/د) = (أ/ب) × (د/جـ)