ملخص الرياضيات تالتة ثانوي متطلبات قبلية في التفاضل والتكامل

أهداف التعلم

• استنتاج مشتقات الدوال المثلثية المقلوبة: ظتا س ، قا س ، قتا س.
• تطبيق قواعد الاشتقاق (الضرب والقسمة والسلسلة) على هذه الدوال.
• تذكّر تكاملات الدوال المثلثية الأساسية.
• استخدام هذه القواعد كأساس لدروس الاشتقاق والتكامل التالية.

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• ظتا س: ظتا س = جتا س ÷ جا س وتُعرَّف عندما س ≠ ن π ، ن ∈ ص.
• قا س: قا س = 1 ÷ جتا س وتُعرَّف عندما س ≠ (2ن + 1)π/2.
• قتا س: قتا س = 1 ÷ جا س وتُعرَّف عندما س ≠ ن π.
• التكامل غير المحدد: عكس عملية الاشتقاق؛ ناتجه دالة أصلية + ثابت التكامل (ث).

القوانين والنظريات والقواعد

مشتقات الدوال المثلثية المقلوبة

د/دس (ظتا س) = −قتا² س
د/دس (قا س)  = قا س ظا س
د/دس (قتا س) = −قتا س ظتا س

شرط التطبيق: في الفترات التي تُعرَّف فيها الدالة. ملاحظة: يُستنتج الأول من ظتا س = جتا س/جا س بقاعدة قسمة دالتين: (جا س × (−جا س) − جتا س × جتا س)/جا² س = −1/جا² س = −قتا² س.

مشتقات أخرى مفيدة

د/دس (جا س) = جتا س      د/دس (جتا س) = −جا س      د/دس (ظا س) = قا² س

تكاملات الدوال المثلثية

∫ جا س دس = −جتا س + ث
∫ جتا س دس = جا س + ث
∫ قا² س دس = ظا س + ث
∫ قتا² س دس = −ظتا س + ث
∫ قا س ظا س دس = قا س + ث
∫ قتا س ظتا س دس = −قتا س + ث

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): أوجد دص/دس إذا كانت ص = 3س⁵ + 4ظتا س. دص/دس = 15س⁴ + 4(−قتا² س) = 15س⁴ − 4قتا² س.

مثال 2 (متوسط): أوجد دص/دس إذا كانت ص = 3قا س − 5ظا س. دص/دس = 3 قا س ظا س − 5 قا² س = قا س (3 ظا س − 5 قا س).

مثال 3 (صعب): أوجد دص/دس إذا كانت ص = س³ قتا س. بقاعدة الضرب: دص/دس = 3س² قتا س + س³(−قتا س ظتا س) = س² قتا س (3 − س ظتا س).

مثال 4 (استنتاج): أثبت أن د/دس (قا س) = قا س ظا س. قا س = (جتا س)⁻¹ فبقاعدة السلسلة: د/دس (قا س) = −(جتا س)⁻² × (−جا س) = جا س/جتا² س = (1/جتا س)(جا س/جتا س) = قا س ظا س.

مثال 5 (تكامل): أوجد ∫ (3قا² س − 2قتا² س) دس. = 3 ظا س − 2(−ظتا س) + ث = 3 ظا س + 2 ظتا س + ث.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان الإشارة السالبة في مشتقتي ظتا س وقتا س.
• كتابة مشتقة قا س على الصورة قا² س (وهي مشتقة ظا س).
• الخلط بين ∫ قتا² س دس = −ظتا س + ث والمشتقة −قتا² س.
• نسيان ثابت التكامل في التكامل غير المحدد.
• عدم التحقق من أن النقطة المطلوبة تنتمي لمجال تعريف الدالة (مثلاً ظتا س غير معرفة عند س = ن π).

قائمة المراجعة

• [ ] أحفظ مشتقة ظتا س = −قتا² س.
• [ ] أحفظ مشتقة قا س = قا س ظا س.
• [ ] أحفظ مشتقة قتا س = −قتا س ظتا س.
• [ ] أطبق قاعدتي الضرب والقسمة مع هذه الدوال.
• [ ] أذكر تكاملات الدوال المثلثية الستة.
• [ ] أميز بين المشتقة والتكامل لكل دالة.
• [ ] أحسب قيمة المشتقة عند نقطة معينة.
• [ ] أحدد مجال تعريف كل دالة من هذه الدوال.
• [ ] أبسط الناتج بإخراج عامل مشترك.
• [ ] أراجع الإشارة بعد كل اشتقاق.
• [ ] أتحقق من التكامل بالاشتقاق.
• [ ] أتذكر إضافة ثابت التكامل.

جميع القوانين دفعة واحدة

د(ظتا س) = −قتا² س
د(قا س) = قا س ظا س
د(قتا س) = −قتا س ظتا س
∫ جا س = −جتا س + ث        ∫ جتا س = جا س + ث
∫ قا² س = ظا س + ث          ∫ قتا² س = −ظتا س + ث
∫ قا س ظا س = قا س + ث      ∫ قتا س ظتا س = −قتا س + ث