ملخص الرياضيات تالتة ثانوي معادلة المستوى في الفراغ

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• متجه عمودي على المستوى (متجه الاتجاه العمودي): ن = (أ ، ب ، جـ) عمودي على كل مستقيم في المستوى.
• مستويان متوازيان: متجها عموديهما متوازيان.
• مستويان متعامدان: متجها عموديهما متعامدان.
• خط تقاطع مستويين: مجموعة النقط المشتركة بين مستويين غير متوازيين.

القوانين والنظريات والقواعد

صور معادلة المستوى

المتجهة:   ن · ر = ن · أ             (أ نقطة في المستوى ، ن عمودي عليه)
القياسية:  أ(س − س₁) + ب(ص − ص₁) + جـ(ع − ع₁) = 0
العامة:    أ س + ب ص + جـ ع + د = 0       حيث د = −(أ س₁ + ب ص₁ + جـ ع₁)

شرط التطبيق: نقطة على المستوى ومتجه عمودي عليه (ن = أ ب × أ جـ عند معلومية ثلاث نقط).

معادلة المستوى المار بثلاث نقط

ن = أب × أجـ ثم نستخدم أي نقطة منها.   (التأكد أولاً أن النقط ليست على استقامة واحدة)

الزاوية بين مستويين وأوضاعهما

جتاθ = |ن₁ · ن₂| / (‖ن₁‖‖ن₂‖)      (0 ≤ θ ≤ 90°)
التوازي:  ن₁ ∥ ن₂  ⇔  أ₁/أ₂ = ب₁/ب₂ = جـ₁/جـ₂
التعامد:  ن₁ · ن₂ = 0  ⇔  أ₁أ₂ + ب₁ب₂ + جـ₁جـ₂ = 0

خط التقاطع

ن₁ × ن₂ = متجه اتجاه خط تقاطع المستويين.
نوجد نقطة بوضع أحد المتغيرات = 0 وحل المعادلتين.

البعد بين نقطة ومستوى

ل = |أ س₁ + ب ص₁ + جـ ع₁ + د| / √(أ² + ب² + جـ²)
البعد بين مستويين متوازيين = بعد نقطة من أحدهما عن الآخر

معادلة المستوى بدلالة الأجزاء المقطوعة

س/س₁ + ص/ص₁ + ع/ع₁ = 1       يقطع المحاور في (س₁،0،0) و (0،ص₁،0) و (0،0،ع₁)

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): أوجد الصورتين القياسية والعامة للمستوى المار بالنقطة (3 ، −5 ، 2) والعمودي على ن = (2 ، 1 ، 1). القياسية: 2(س − 3) + (ص + 5) + (ع − 2) = 0 والعامة: 2س + ص + ع − 3 = 0.

مثال 2 (متوسط): أوجد الزاوية بين المستويين ر · (2 ، −1 ، 4) = 5 ، 3س − ص + 2ع = 4. ن₁ = (2 ، −1 ، 4) ، ن₂ = (3 ، −1 ، 2) ؛ جتاθ = 15/(√21 √14) ≈ 0.875 فتكون θ ≈ 28.98° (أي 28° 58′).

مثال 3 (صعب): أثبت أن المستويين س + 3ص − 4ع = 3 ، 2س + 6ص − 8ع = 4 متوازيان وأوجد البعد بينهما. ن₁ = (1 ، 3 ، −4) ، ن₂ = (2 ، 6 ، −8) = 2ن₁ فهما متوازيان. نكتب الثاني س + 3ص − 4ع − 2 = 0 فيكون البعد بين المستويين = |−3 − (−2)|/√26 = 1/√26 = √26/26 ≈ 0.196 وحدة طول.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• الخلط بين متجه الاتجاه للمستقيم والمتجه العمودي على المستوى.
• عدم التأكد من أن النقط الثلاث ليست على استقامة واحدة قبل حساب أب × أجـ.
• نسيان القيمة المطلقة في قانون البعد بين نقطة ومستوى أو في الزاوية بين مستويين.
• عدم توحيد معاملات س ، ص ، ع عند حساب البعد بين مستويين متوازيين (يجب أن يكون المتجه العمودي نفسه).
• اعتبار أن (أ س + ب ص + جـ ع + د = 0) مستقيم وليس مستوى.

قائمة المراجعة

• [ ] أكتب المعادلة المتجهة والقياسية والعامة للمستوى.
• [ ] أعين المتجه العمودي ن من معادلة المستوى (معاملات س ، ص ، ع).
• [ ] أجد معادلة المستوى المار بثلاث نقط.
• [ ] أجد معادلة المستوى المحتوي مستقيمين متقاطعين.
• [ ] أحدد نقطة تقاطع مستقيم مع مستوى بالتعويض.
• [ ] أحسب الزاوية بين مستويين.
• [ ] أطبق شرطي التوازي والتعامد.
• [ ] أجد معادلة خط تقاطع مستويين.
• [ ] أحسب بعد نقطة عن مستوى.
• [ ] أحسب البعد بين مستويين متوازيين.
• [ ] أكتب معادلة المستوى بدلالة الأجزاء المقطوعة.
• [ ] أجد الأجزاء المقطوعة من المحاور بوضع متغيرين = 0.

جميع القوانين دفعة واحدة

ن · ر = ن · أ
أ(س−س₁) + ب(ص−ص₁) + جـ(ع−ع₁) = 0
أ س + ب ص + جـ ع + د = 0
ن = أب × أجـ
جتاθ = |ن₁·ن₂|/(‖ن₁‖‖ن₂‖)
توازي: ن₁ = ك ن₂     تعامد: ن₁·ن₂ = 0
اتجاه خط التقاطع = ن₁ × ن₂
ل = |أ س₁ + ب ص₁ + جـ ع₁ + د| / √(أ² + ب² + جـ²)
س/س₁ + ص/ص₁ + ع/ع₁ = 1