الرياضيات - الفصل 7: معادلة المستوى في الفراغ

# ملخص: معادلة المستوى في الفراغ

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم

1.  فهم الصورة المتجهة لمعادلة المستوى في الفراغ.
2.  استنتاج الصورة القياسية والصورة العامة لمعادلة المستوى.
3.  تحديد معادلة المستوى المار بثلاث نقاط غير متوالية على خط مستقيم.
4.  إيجاد معادلة المستوى الذي يحتوي على مستقيمين متقاطعين.
5.  حساب الزاوية بين مستويين باستخدام متجهي الاتجاه العموديين.
6.  فهم كيفية إيجاد نقطة تقاطع مستقيم مع مستوى.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **المعادلة المتجهة للمستوى:** $(\vec{r} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n} = 0$، حيث $\vec{r}$ هو متجه موضع أي نقطة على المستوى، $\vec{r_0}$ هو متجه موضع نقطة معلومة على المستوى، و$\vec{n}$ هو متجه الاتجاه العمودي على المستوى.
*   **المعادلة القياسية للمستوى:** $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$، حيث $(x_0, y_0, z_0)$ هي نقطة على المستوى، و$a, b, c$ هي مركبات متجه الاتجاه العمودي على المستوى.
*   **المعادلة العامة للمستوى:** $ax + by + cz + d = 0$، حيث $a, b, c$ هي معاملات $x, y, z$ على الترتيب، و$d$ هو ثابت.

## القوانين والنظريات والقواعد

### معادلة المستوى المار بثلاث نقاط

إذا كانت النقاط هي $(x_1, y_1, z_1)$، $(x_2, y_2, z_2)$، و$(x_3, y_3, z_3)$، فإن معادلة المستوى يمكن إيجادها باستخدام الضرب الاتجاهي لمتجهين يقعان في المستوى.

### معادلة المستوى الذي يحتوي على مستقيمين متقاطعين

إذا كان لدينا مستقيمين متقاطعان، فإن متجه الاتجاه العمودي على المستوى الذي يحتويهما يمكن إيجاده عن طريق الضرب الاتجاهي لمتجهي اتجاه المستقيمين.

### الزاوية بين مستويين

قياس الزاوية بين مستويين هو قياس الزاوية بين متجهي الاتجاه العموديين عليهما. فإذا كان $\vec{n_1}$ و$\vec{n_2}$ هما المتجهين العموديين على المستويين، فإن قياس الزاوية بينهما $\theta$ يعطى بالعلاقة:

$$\cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$$

## أمثلة محلولة

### مثال 1: إيجاد معادلة المستوى المار بنقطة ومتجه عمودي

إذا كان لدينا نقطة $(1, 2, 3)$ ومتجه عمودي $(4, 5, 6)$، فإن معادلة المستوى يمكن إيجادها باستخدام الصورة القياسية:

$$4(x - 1) + 5(y - 2) + 6(z - 3) = 0$$

### مثال 2: إيجاد معادلة المستوى الذي يحتوي على مستقيمين متقاطعين

إذا كان لدينا مستقيمين متقاطعان، فإن متجه الاتجاه العمودي على المستوى الذي يحتويهما يمكن إيجاده عن طريق الضرب الاتجاهي لمتجهي اتجاه المستقيمين.

### مثال 3: حساب الزاوية بين مستويين

إذا كان لدينا مستويين معادلاتهما $2x - y + z = 4$ و$x + 2y - z = 3$، فإن متجهي الاتجاه العموديين عليهما هما $(2, -1, 1)$ و$(1, 2, -1)$ على الترتيب. يمكن حساب الزاوية بينهما باستخدام العلاقة:

$$\cos \theta = \frac{(2, -1, 1) \cdot (1, 2, -1)}{||2, -1, 1|| \cdot ||1, 2, -1||}$$

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   يجب التأكد من أن النقاط الثلاث ليست على خط مستقيم واحد عند إيجاد معادلة المستوى المار بثلاث نقاط.
*   يجب التأكد من أن المستقيمين متقاطعان عند إيجاد معادلة المستوى الذي يحتوي على مستقيمين متقاطعين.

## قائمة المراجعة

1.  المعادلة المتجهة للمستوى: $(\vec{r} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n} = 0$
2.  المعادلة القياسية للمستوى: $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$
3.  المعادلة العامة للمستوى: $ax + by + cz + d = 0$
4.  الضرب الاتجاهي لمتجهين: $\vec{a} \times \vec{b} = (a_yb_z - a_zb_y, a_zb_x - a_xb_z, a_xb_y - a_yb_x)$
5.  الزاوية بين مستويين: $\cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$
6.  معادلة المستوى المار بثلاث نقاط: باستخدام الضرب الاتجاهي لمتجهين يقعان في المستوى.
7.  معادلة المستوى الذي يحتوي على مستقيمين متقاطعين: باستخدام الضرب الاتجاهي لمتجهي اتجاه المستقيمين.
8.  نقطة تقاطع مستقيم مع مستوى: باستخدام معادلة المستوى ومعادلة المستقيم.
9.  متجه الاتجاه العمودي على المستوى: باستخدام الضرب الاتجاهي لمتجهين يقعان في المستوى.
10. الزاوية بين مستويين: باستخدام العلاقة $\cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

## جميع القوانين دفعة واحدة

```
المعادلة المتجهة للمستوى: (r - r0) · n = 0
المعادلة القياسية للمستوى: a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
المعادلة العامة للمستوى: ax + by + cz + d = 0
الضرب الاتجاهي لمتجهين: a × b = (aybz - azby, azbx - axbz, axby - aybx)
الزاوية بين مستويين: cos θ = (n1 · n2) / (||n1|| * ||n2||)
```

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

المعادلة المتجهة للمستوى

فهم وإيجاد المعادلة المتجهة للمستوى في الفراغ باستخدام نقطة ومتجه عمودي.

2

الصورة القياسية للمعادلة

تحويل المعادلة المتجهة إلى الصورة القياسية للمعادلة العامة للمستوى.

3

الصورة العامة للمعادلة

فهم الصورة العامة للمعادلة، وكيفية استنتاجها من الصورة القياسية.

4

إيجاد معادلة مستوى بمعلومية نقطة ومتجه عمودي

تطبيق الخطوات لإيجاد معادلة مستوى بمعلومية نقطة تقع عليه ومتجه عمودي عليه.

5

إيجاد معادلة مستوى بثلاث نقاط

إيجاد معادلة مستوى يمر بثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة.

6

الضرب الاتجاهي لإيجاد متجه عمودي

استخدام الضرب الاتجاهي لإيجاد متجه عمودي على المستوى من متجهين يقعان فيه.

7

الزاوية بين مستويين

حساب الزاوية بين مستويين باستخدام متجهي الاتجاه العموديين عليهما.

8

شروط تعامد وتوازي المستويات

تحديد شروط تعامد وتوازي المستويات بناءً على متجهي الاتجاه العموديين.

9

إيجاد معادلة خط تقاطع مستويين

إيجاد معادلة خط تقاطع مستويين.

10

طول العمود من نقطة إلى مستوى

حساب طول العمود المرسوم من نقطة إلى مستوى.

11

تحديد نقطة تقاطع مستقيم ومستوى

إيجاد نقطة تقاطع مستقيم مع مستوى.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

LO-1

معادلة المستوى في الفراغ