ملخص الرياضيات تالتة ثانوي معادلة المستقيم في الفراغ

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• زوايا الاتجاه: الزوايا θس ، θص ، θع التي يصنعها المستقيم مع الاتجاهات الموجبة للمحاور.
• جيوب تمام الاتجاه: ل = جتاθس ، م = جتاθص ، ن = جتاθع، وتحقق ل² + م² + ن² = 1.
• متجه الاتجاه: أي متجه يوازي المستقيم، د = (أ ، ب ، جـ) = ك(ل ، م ، ن) حيث ك ≠ 0.
• نسب الاتجاه: الأعداد أ ، ب ، جـ المتناسبة مع ل ، م ، ن.
• مستقيمان متخالفان: مستقيمان غير متوازيين ولا يتقاطعان.

القوانين والنظريات والقواعد

متجه الاتجاه والمعادلة المتجهة

متجه الاتجاه للمار بالنقطتين أ ، ب = أب = متجه موضع ب − متجه موضع أ
المعادلة المتجهة:  ر = أ + ت د        (ت بارامتر)

شرط التطبيق: نقطة على المستقيم ومتجه اتجاهه.

الصورة البارامترية

س = س₁ + أ ت ،   ص = ص₁ + ب ت ،   ع = ع₁ + جـ ت

الصورة الكارتيزية

(س − س₁)/أ = (ص − ص₁)/ب = (ع − ع₁)/جـ        بشرط أ ، ب ، جـ جميعها ≠ 0
إذا كان أ = 0 :   س = س₁  ،  (ص − ص₁)/ب = (ع − ع₁)/جـ

ملاحظة: المعادلة أ س + ب ص + جـ ع + د = 0 تمثل مستوياً وليست مستقيماً.

الزاوية بين مستقيمين

جتاθ = |د₁ · د₂| / (‖د₁‖ ‖د₂‖)        0 ≤ θ ≤ 90°
بدلالة جيوب تمام الاتجاه:  جتاθ = |ل₁ل₂ + م₁م₂ + ن₁ن₂|

أوضاع مستقيمين

متوازيان:  د₁ = ك د₂   (نسب الاتجاه متناسبة)
متعامدان:  د₁ · د₂ = 0
غير متوازيين:  إما يتقاطعان (يوجد ت₁ ، ت₂ يحققان تساوي المتجهين) أو متخالفان (لا يوجد)

البعد بين نقطة ومستقيم

البعد = ‖أج × د‖ / ‖د‖     حيث أ نقطة على المستقيم ، جـ النقطة ، د متجه الاتجاه

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): أوجد الصور المختلفة لمعادلة المستقيم المار بالنقطتين (2 ، −1 ، 5) ، (−3 ، 1 ، 4). د = (−5 ، 2 ، −1). المتجهة: ر = (2 ، −1 ، 5) + ت(−5 ، 2 ، −1). البارامترية: س = 2 − 5ت ، ص = −1 + 2ت ، ع = 5 − ت. الكارتيزية: (س − 2)/(−5) = (ص + 1)/2 = (ع − 5)/(−1).

مثال 2 (متوسط): أوجد الزاوية بين المستقيمين ر = (2 ، −1 ، 3) + ت(−2 ، 0 ، 2) و س = 1 ، (ص − 4)/3 = (ع + 5)/3. د₁ = (−2 ، 0 ، 2) ، د₂ = (0 ، 3 ، 3) ؛ جتاθ = |0 + 0 + 6| / (√8 × √18) = 6/12 = 1/2 ومنه θ = 60°.

مثال 3 (صعب): أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة (2 ، −1 ، 3) ويقطع المستقيم ر = (1 ، −1 ، 2) + ت(2 ، 2 ، −1) عمودياً. نفرض نقطة التقاطع جـ(1 + 2ت ، −1 + 2ت ، 2 − ت) فيكون متجه الاتجاه المطلوب أجـ = (2ت − 1 ، 2ت ، −ت − 1) ، وبالتعامد مع (2 ، 2 ، −1): 4ت − 2 + 4ت + ت + 1 = 0 فتكون ت = 1/9 ويكون أجـ = (−7/9 ، 2/9 ، −10/9) ∥ (−7 ، 2 ، −10) والمعادلة ر = (2 ، −1 ، 3) + ك(−7 ، 2 ، −10).

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• اعتبار أن المعادلة أ س + ب ص + جـ ع + د = 0 معادلة مستقيم في الفراغ، وهي معادلة مستوى.
• القسمة على صفر في الصورة الكارتيزية عندما تكون إحدى نسب الاتجاه صفراً (نستخدم الصورة الخاصة س = س₁).
• نسيان القيمة المطلقة عند حساب الزاوية بين مستقيمين (الزاوية الصغرى).
• الحكم بتقاطع مستقيمين لمجرد أنهما غير متوازيين؛ يجب فحص المعادلة الثالثة (قد يكونان متخالفين).
• الخلط بين البارامترين ت₁ و ت₂ عند حل تقاطع مستقيمين: لكل مستقيم بارامتر مستقل.

قائمة المراجعة

• [ ] أوجد متجه اتجاه مستقيم يمر بنقطتين.
• [ ] أحول نسب الاتجاه إلى جيوب تمام الاتجاه والعكس.
• [ ] أكتب المعادلة المتجهة من نقطة ومتجه اتجاه.
• [ ] أستخرج المعادلات البارامترية من المعادلة المتجهة.
• [ ] أكتب الصورة الكارتيزية وأعالج حالة وجود نسبة اتجاه صفرية.
• [ ] أحول بين الصور الثلاث للمعادلة.
• [ ] أحسب الزاوية بين مستقيمين.
• [ ] أطبق شرط التوازي (تناسب نسب الاتجاه).
• [ ] أطبق شرط التعامد (الضرب القياسي = 0).
• [ ] أميز بين التقاطع والتخالف بحل ثلاث معادلات في مجهولين.
• [ ] أجد نقطة التقاطع.
• [ ] أحسب بعد نقطة عن مستقيم.

جميع القوانين دفعة واحدة

د = أب = (س₂−س₁ ، ص₂−ص₁ ، ع₂−ع₁)
ر = أ + ت د
س = س₁ + أت  ،  ص = ص₁ + بت  ،  ع = ع₁ + جـت
(س−س₁)/أ = (ص−ص₁)/ب = (ع−ع₁)/جـ
ل² + م² + ن² = 1       ل = أ/‖د‖ ، م = ب/‖د‖ ، ن = جـ/‖د‖
جتاθ = |د₁·د₂|/(‖د₁‖‖د₂‖)
تعامد: د₁·د₂ = 0       توازي: د₁ = ك د₂
البعد = ‖أج × د‖/‖د‖