الرياضيات - الفصل 6: معادلة المستقيم في الفراغ

# ملخص: معادلة المستقيم في الفراغ

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم

1. يتعرف الطالب على مفهوم متجه اتجاه المستقيم في الفراغ.
2. يفهم الطالب كيفية إيجاد المعادلة البارامترية للمستقيم في الفراغ.
3. يتعلم الطالب كيفية إيجاد المعادلة الإحداثية للمستقيم في الفراغ.
4. يفهم الطالب مفهوم الزاوية بين مستقيمين في الفراغ.
5. يتعلم الطالب كيفية إيجاد المسافة بين نقطة ومستقيم في الفراغ.
6. يفهم الطالب كيفية إيجاد معادلة خط تقاطع مستويين في الفراغ.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

* **متجه اتجاه (Direction vector)**: متجه يحدد اتجاه الخط المستقيم.
* **زوايا اتجاه (Direction angles)**: الزوايا بين متجه اتجاه المستقيم والمحاور الإحداثية.
* **جيوب تمام الاتجاه (Direction cosines)**: قيم جيب تمام الزوايا بين متجه اتجاه المستقيم والمحاور الإحداثية.
* **نسب الاتجاه (Direction ratios)**: النسب بين Components متجه اتجاه المستقيم.
* **معادلة متجهة (Vector equation)**: معادلة تعبر عن متجه موضع نقطة على المستقيم.
* **معادلات بارامترية (Parametric equations)**: معادلات تعبر عن إحداثيات نقطة على المستقيم بدلالة بارامتر.
* **معادلة إحداثية (Cartesian equation)**: معادلة تعبر عن العلاقة بين الإحداثيات الديكارتية لنقطة على المستقيم.

## القوانين والنظريات والقواعد

### متجه اتجاه المستقيم

```
l^2 + m^2 + n^2 = 1
```
**شرط التطبيق:** يجب أن يكون ل، م، ن أعداد حقيقية.
**ملاحظة:** متجه اتجاه المستقيم هو متجه وحدة في اتجاه المستقيم.

### المعادلة البارامترية للمستقيم

```
x = x0 + ka
y = y0 + kb
z = z0 + kc
```
**شرط التطبيق:** يجب أن يكون x0، y0، z0 إحداثيات نقطة على المستقيم، و a، b، c هي نسب الاتجاه.
**ملاحظة:** المعادلة البارامترية تعبر عن إحداثيات نقطة على المستقيم بدلالة بارامتر.

### المعادلة الإحداثية للمستقيم

```
(x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c
```
**شرط التطبيق:** يجب أن يكون x0، y0، z0 إحداثيات نقطة على المستقيم، و a، b، c هي نسب الاتجاه.
**ملاحظة:** المعادلة الإحداثية تعبر عن العلاقة بين الإحداثيات الديكارتية لنقطة على المستقيم.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: إيجاد متجه اتجاه المستقيم

إذا كان المستقيم يمر بالنقطتين أ (1، 2، 3) و ب (4، 5، 6)، أوجد متجه اتجاه المستقيم.

**الحل:**

متجه اتجاه المستقيم هو:
```
(4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3)
```
### مثال 2: إيجاد المعادلة البارامترية للمستقيم

إذا كان المستقيم يمر بالنقطة أ (2، -1، 3) والمتجه (1، 2، -1) متجه اتجاه له، أوجد المعادلة البارامترية للمستقيم.

**الحل:**

المعادلة البارامترية للمستقيم هي:
```
x = 2 + k
y = -1 + 2k
z = 3 - k
```
### مثال 3: إيجاد المعادلة الإحداثية للمستقيم

إذا كان المستقيم يمر بالنقطة أ (1، 2، 3) والمتجه (2، 3، 4) متجه اتجاه له، أوجد المعادلة الإحداثية للمستقيم.

**الحل:**

المعادلة الإحداثية للمستقيم هي:
```
(x - 1) / 2 = (y - 2) / 3 = (z - 3) / 4
```

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

* يجب أن يكون متجه اتجاه المستقيم متجه وحدة.
* يجب أن تكون نسب الاتجاه أعداد حقيقية.
* يجب أن تكون إحداثيات نقطة على المستقيم أعداد حقيقية.

## قائمة المراجعة

1. متجه اتجاه المستقيم هو متجه وحدة في اتجاه المستقيم.
2. المعادلة البارامترية للمستقيم تعبر عن إحداثيات نقطة على المستقيم بدلالة بارامتر.
3. المعادلة الإحداثية للمستقيم تعبر عن العلاقة بين الإحداثيات الديكارتية لنقطة على المستقيم.
4. يجب أن يكون متجه اتجاه المستقيم متجه وحدة.
5. يجب أن تكون نسب الاتجاه أعداد حقيقية.
6. يجب أن تكون إحداثيات نقطة على المستقيم أعداد حقيقية.
7. المعادلة البارامترية للمستقيم هي x = x0 + ka, y = y0 + kb, z = z0 + kc.
8. المعادلة الإحداثية للمستقيم هي (x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c.
9. يجب أن يكون ل، م، ن أعداد حقيقية.
10. يجب أن يكون x0، y0، z0 إحداثيات نقطة على المستقيم.
11. يجب أن يكون a، b، c نسب الاتجاه.
12. يجب أن يكون ك بارامتر.

## جميع القوانين دفعة واحدة

```
l^2 + m^2 + n^2 = 1
x = x0 + ka
y = y0 + kb
z = z0 + kc
(x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c
```

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

تحديد متجه اتجاه المستقيم في الفراغ

يتعلم الطالب كيفية إيجاد متجه اتجاه مستقيم في الفراغ، سواء بمعرفة نقطتين عليه أو بمعرفة معلومات أخرى.

2

إيجاد المعادلة المتجهة للمستقيم

يتمكن الطالب من كتابة المعادلة المتجهة للمستقيم في الفراغ باستخدام نقطة عليه ومتجه اتجاه.

3

إيجاد المعادلات البارامترية للمستقيم

يحول الطالب المعادلة المتجهة للمستقيم إلى معادلات بارامترية.

4

إيجاد المعادلة الإحداثية للمستقيم

يتمكن الطالب من كتابة المعادلة الإحداثية للمستقيم انطلاقاً من المعادلات البارامترية.

5

إيجاد صور مختلفة لمعادلة المستقيم

يستطيع الطالب التحويل بين الصور المختلفة لمعادلة المستقيم (المتجهة، البارامترية، الإحداثية).

6

تطبيق إيجاد معادلة المستقيم

يحل الطالب مسائل متنوعة تتطلب إيجاد معادلة المستقيم في الفراغ في صورها المختلفة.

7

التعرف على مفهوم متجه الوحدة

يفهم الطالب مفهوم متجه الوحدة في سياق متجه اتجاه المستقيم.

8

تحديد نقطة على المستقيم من معادلته

يستطيع الطالب إيجاد نقطة تقع على المستقيم بمعرفة معادلته.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

LO-1

معادلة المستقيم في الفراغ

أهداف الدرس الأساسية

تحديد متجه اتجاه المستقيم في الفراغ

إيجاد المعادلة المتجهة للمستقيم

إيجاد المعادلات البارامترية للمستقيم

إيجاد المعادلة الإحداثية للمستقيم

إيجاد صور مختلفة لمعادلة المستقيم

تطبيق إيجاد معادلة المستقيم

التعرف على مفهوم متجه الوحدة

تحديد نقطة على المستقيم من معادلته

الشرح المرئي (Slides)

كمّل مذاكرة مع الزتونة