ملخص الرياضيات تالتة ثانوي الاشتقاق الضمني والبارامتري

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الدالة الصريحة: دالة ص = د(س) تحدد قيمة ص مباشرة متى عُلمت قيمة س، مثل ص = 4س³ − 5س + 2.
• العلاقة (الدالة) الضمنية: معادلة تحوي س ، ص معاً ولا يمكن غالباً كتابة ص بدلالة س مباشرة، مثل س ص + ص − 4 = 0 أو س² + ص² = 9.
• ملاحظة: المعادلة س ص + ص − 4 = 0 تُكتب ص(س + 1) = 4 ومنها ص = 4/(س + 1) حيث س ≠ −1، أي تعرّف دالة صريحة واحدة. أما س² + ص² = 9 فهي دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 3 ولا تمثل دالة (تفشل اختبار الخط الرأسي)، لكنها تعرّف دالتين: ص = √(9 − س²) مجالها [−3 ، 3] ومداها [0 ، 3]، وص = −√(9 − س²) مجالها [−3 ، 3] ومداها [−3 ، 0].
• الوسيط (البارامتر): متغير ثالث (ن) تُعبَّر به إحداثيات النقطة: س = د(ن) ، ص = ر(ن) حيث الدالتان لهما المجال نفسه، والمعادلتان معاً تمثلان منحنى بالصورة البارامترية.

القوانين والنظريات والقواعد

الاشتقاق الضمني

نشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى س مع اعتبار ص دالة في س:
د/دس (ص ⁿ) = n ص ⁿ⁻¹ × دص/دس
د/دس (س ص) = ص + س × دص/دس
ثم نجمّع الحدود التي تحوي دص/دس ونحلّ المعادلة لإيجادها.

شرط التطبيق: ص دالة قابلة للاشتقاق في س. ملاحظة: الناتج يحوي س ، ص معاً؛ ولحساب المشتقة عند قيمة لـ س نحتاج أولاً قيمة ص المناظرة (نقطة على المنحنى).

الاشتقاق البارامتري

دص/دس = (دص/دن) ÷ (دس/دن)     حيث دس/دن ≠ 0

شرط التطبيق: الدالتان د ، ر قابلتان للاشتقاق بالنسبة إلى ن. ملاحظة: يكون المماس أفقياً حيث دص/دن = 0 (و دس/دن ≠ 0)، ورأسياً حيث دس/دن = 0 (و دص/دن ≠ 0).

مشتقة دالة بالنسبة إلى دالة أخرى

إذا كانت ص = د(س) ، ع = ر(س) فإن  دص/دع = (دص/دس) ÷ (دع/دس)

شرط التطبيق: س هو الوسيط لكل من ص ، ع.

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): أوجد دص/دس إذا كانت س² + ص² − 7س + 5ص = 8. نشتق: 2س + 2ص × دص/دس − 7 + 5 × دص/دس = 0 ومنه (2ص + 5) × دص/دس = 7 − 2س، إذن دص/دس = (7 − 2س)/(2ص + 5).

مثال 2 (متوسط): أوجد دص/دس إذا كانت جا 2ص = ص جتا 3س. 2 جتا 2ص × دص/دس = −3ص جا 3س + جتا 3س × دص/دس، ومنه دص/دس × (2جتا 2ص − جتا 3س) = −3ص جا 3س، إذن دص/دس = 3ص جا 3س ÷ (جتا 3س − 2جتا 2ص).

مثال 3 (متوسط، بارامتري): س = 3جتا 2θ ، ص = 4جا 3θ. دس/دθ = −6 جا 2θ ، دص/دθ = 12 جتا 3θ، إذن دص/دس = 12جتا 3θ ÷ (−6جا 2θ) = −2جتا 3θ ÷ جا 2θ. عند θ = π/4: دص/دس = −2 × (−√2/2) ÷ 1 = √2.

مثال 4 (صعب): أوجد مشتقة (4س³ − 9س² + 5) بالنسبة إلى (3س² + 7). نضع ص = 4س³ − 9س² + 5 ، ع = 3س² + 7 فيكون دص/دع = (12س² − 18س) ÷ (6س) = 2س − 3 حيث س ≠ 0.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان ضرب مشتقة الدالة الداخلية (دص/دس) عند اشتقاق حد يحوي ص.
• اشتقاق الحد س ص كأنه حاصل ضرب ثابتين وإهمال قاعدة الضرب: يجب أن يكون الناتج ص + س × دص/دس.
• في الاشتقاق البارامتري قسمة دس/دن على دص/دن بدلاً من العكس.
• إهمال الشرط دس/دن ≠ 0 عند القسمة.
• حساب دص/دس عند س معينة دون معرفة قيمة ص المناظرة لها من المعادلة.

قائمة المراجعة

• [ ] أميز الدالة الصريحة من العلاقة الضمنية.
• [ ] أعرف أن س² + ص² = ر² لا تمثل دالة لكنها تعرّف دالتين.
• [ ] أشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى س.
• [ ] أضرب في دص/دس عند اشتقاق أي حد يحوي ص.
• [ ] أطبق قاعدة الضرب على الحد س ص.
• [ ] أجمّع حدود دص/دس وأخرجها عاملاً مشتركاً.
• [ ] أتحقق أن النقطة تحقق المعادلة قبل حساب الميل.
• [ ] أكتب دص/دس = (دص/دن) ÷ (دس/دن).
• [ ] أحسب الميل عند قيمة معطاة للوسيط.
• [ ] أعرف شرط المماس الأفقي (دص/دن = 0) والرأسي (دس/دن = 0).
• [ ] أوجد مشتقة دالة بالنسبة إلى دالة أخرى بقسمة مشتقتيهما.
• [ ] أبسّط الناتج النهائي.

جميع القوانين دفعة واحدة

د/دس (ص²) = 2ص × دص/دس          د/دس (س ص) = ص + س × دص/دس
دص/دس = (دص/دن) ÷ (دس/دن)
مماس أفقي: دص/دن = 0      مماس رأسي: دس/دن = 0
دص/دع = (دص/دس) ÷ (دع/دس)