الرياضيات - الفصل 8: الاشتقاق الضمني والبارامتري

# ملخص: الاشتقاق الضمني والبارامتري

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم

1.  فهم概念 الاشتقاق الضمني والبارامتري.
2.  القدرة على تطبيق قواعد الاشتقاق الضمني والبارامتري لحل المسائل.
3.  تحليل الدوال الضمنية والبارامترية وتحديد مشتقاتها.
4.  تطبيق الاشتقاق الضمني والبارامتري في حل المشكلات الحياتية والفيزيائية.
5.  فهم أهمية الاشتقاق في دراسة المشتقات العليا للدالة.
6.  القدرة على إيجاد المشتقات العليا للدوال باستخدام الاشتقاق الضمني والبارامتري.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **الدالة الضمنية (Implicit Function):** دالة لا يمكن التعبير عنها بشكل صريح، بل تعبر عن علاقة ضمنية بين المتغيرات.
*   **الاشتقاق الضمني (Implicit Differentiation):** عملية إيجاد مشتقة دالة ضمنية بالنسبة لمتغير معين.
*   **البارامتر (Parameter):** متغير يظهر في معادلة أو دالة، ويستخدم لتحديد قيم أخرى.
*   **الاشتقاق البارامتري (Parametric Differentiation):** عملية إيجاد مشتقة دالة معبر عنها بالشكل البارامتري.

## القوانين والنظريات والقواعد

### قاعدة الاشتقاق الضمني

```
إذا كانت y دالة ضمنية في x، فإن dy/dx = (dy/du) / (dx/du)
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة y قابلة للاشتقاق بالنسبة إلى x.

**ملاحظة:** يجب مراعاة أن y دالة في x عند تطبيق قاعدة الاشتقاق الضمني.

### قاعدة الاشتقاق البارامتري

```
إذا كانت x = f(t) و y = g(t)، فإن dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالتان f و g قابلتين للاشتقاق بالنسبة إلى t.

**ملاحظة:** يجب أن تكون dx/dt ≠ 0 عند تطبيق قاعدة الاشتقاق البارامتري.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: الاشتقاق الضمني

إذا كانت الدالة y² - x² + 4 = 0، أوجد dy/dx.

**الحل:**

نشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى x:

d(y²)/dx - d(x²)/dx + d(4)/dx = 0

2y(dy/dx) - 2x + 0 = 0

2y(dy/dx) = 2x

dy/dx = 2x / 2y

dy/dx = x / y

### مثال 2: الاشتقاق البارامتري

إذا كانت x = 3sin(θ) و y = 3cos(θ)، أوجد dy/dx عند θ = π/4.

**الحل:**

نشتق x و y بالنسبة إلى θ:

dx/dθ = 3cos(θ)

dy/dθ = -3sin(θ)

نطبق قاعدة الاشتقاق البارامتري:

dy/dx = (dy/dθ) / (dx/dθ)

dy/dx = (-3sin(θ)) / (3cos(θ))

dy/dx = -tan(θ)

عند θ = π/4، dy/dx = -tan(π/4) = -1

### مثال 3: تطبيق الاشتقاق الضمني في حل مشكلة فيزيائية

إذا كانت مسار جسم يتحرك وفق المعادلة x² + y² = 4، أوجد dy/dx عند x = 1.

**الحل:**

نشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى x:

d(x²)/dx + d(y²)/dx = 0

2x + 2y(dy/dx) = 0

2y(dy/dx) = -2x

dy/dx = -2x / 2y

dy/dx = -x / y

عند x = 1، نجد y من المعادلة الأصلية:

1² + y² = 4

y² = 3

y = √3

dy/dx = -1 / √3

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   الأخطاء الشائعة في تطبيق قواعد الاشتقاق الضمني والبارامتري هي عدم مراعاة أن y دالة في x أو عدم تحقق شروط التطبيق.
*   حالة خاصة هي عندما تكون dx/dt = 0 في قاعدة الاشتقاق البارامتري، يجب في هذه الحالة إعادة النظر في المعادلات أو استخدام طرق بديلة.

## قائمة المراجعة

1.  مفهوم الدالة الضمنية والبارامترية.
2.  قاعدة الاشتقاق الضمني.
3.  قاعدة الاشتقاق البارامتري.
4.  تطبيق الاشتقاق الضمني في حل المشكلات.
5.  تطبيق الاشتقاق البارامتري في حل المشكلات.
6.  أهمية الاشتقاق في دراسة المشتقات العليا للدالة.
7.  الأخطاء الشائعة في تطبيق قواعد الاشتقاق.
8.  الحالات الخاصة في تطبيق قواعد الاشتقاق.
9.  أمثلة على تطبيق الاشتقاق الضمني والبارامتري.
10. تحليل الدوال الضمنية والبارامترية.
11. تحديد مشتقات الدوال الضمنية والبارامترية.
12. استخدام الاشتقاق في حل المشكلات الحياتية والفيزيائية.

## جميع القوانين دفعة واحدة

```
dy/dx = (dy/du) / (dx/du)
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
```

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

تمييز الدالة الصريحة والضمنية

التعرف على الفرق بين الدوال الصريحة (y = f(x)) والضمنية (f(x, y) = 0) وكيفية تمثيل كل منهما.

2

اشتقاق الدوال الضمنية

تطبيق قاعدة السلسلة لاشتقاق الدوال الضمنية بالنسبة لمتغير واحد، مع الأخذ في الاعتبار أن y دالة في x.

3

إيجاد المشتقة الأولى ضمنيًا

إيجاد dy/dx من معادلات ضمنية معقدة باستخدام الاشتقاق الضمني.

4

حل مسائل على الاشتقاق الضمني

تطبيق الاشتقاق الضمني لحل مسائل متنوعة تتضمن إيجاد معادلات المماس والعمودي.

5

فهم المعادلات البارامترية

التعرف على المعادلات البارامترية (x = f(t), y = g(t)) وكيفية تمثيلها بيانيًا.

6

اشتقاق الدوال البارامترية

إيجاد dy/dx للدوال المعطاة بصيغة بارامترية باستخدام قاعدة السلسلة.

7

إيجاد المشتقة الثانية للدوال البارامترية

إيجاد المشتقة الثانية d²y/dx² للدوال المعطاة بصيغة بارامترية.

8

حل مسائل على الاشتقاق البارامتري

تطبيق الاشتقاق البارامتري لحل مسائل متنوعة تتضمن إيجاد معادلات المماس والعمودي، ونقاط الانعطاف.

9

تطبيق الاشتقاق الضمني في مسائل متنوعة

استخدام الاشتقاق الضمني لحل مسائل متنوعة تتضمن إيجاد قيم المشتقات في نقاط معينة.

10

تطبيق الاشتقاق البارامتري في مسائل متنوعة

استخدام الاشتقاق البارامتري لحل مسائل متنوعة تتضمن إيجاد ميل المماس، ونقاط الانعطاف.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: الاشتقاق الضمني والبارامتري - 1

LO-1

الاشتقاق الضمني والبارامتري

أهداف الدرس الأساسية

تمييز الدالة الصريحة والضمنية

اشتقاق الدوال الضمنية

إيجاد المشتقة الأولى ضمنيًا

حل مسائل على الاشتقاق الضمني

فهم المعادلات البارامترية

اشتقاق الدوال البارامترية

إيجاد المشتقة الثانية للدوال البارامترية

حل مسائل على الاشتقاق البارامتري

تطبيق الاشتقاق الضمني في مسائل متنوعة

تطبيق الاشتقاق البارامتري في مسائل متنوعة

الشرح المرئي (Slides)

كمّل مذاكرة مع الزتونة