ملخص الرياضيات تالتة ثانوي النسبة بين حدين متتاليين من مفكوك ذات الحدين

أهداف التعلم

• استنتاج النسبة بين حدين متتاليين من مفكوك (س + أ)ⁿ.
• إيجاد النسبة بين معاملي حدين متتاليين.
• استخدام النسبة لإيجاد مجاهيل في مفكوك بمعلومية علاقة بين حدوده.
• إيجاد أكبر حد في مفكوك ذات الحدين عند قيم عددية معطاة.
• حل مسائل المعاملات الثلاثة المتتالية.

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• حدان متتاليان: حدان رتبتاهما متتاليتان مثل ح_ر و ح₍ᵣ₊₁₎.
• النسبة بين حدين متتاليين: ناتج قسمة الحد الأعلى رتبة على الحد الذي يسبقه مباشرة.
• أكبر حد: الحد الأكبر قيمة عددية في المفكوك عند قيم محددة لـ س ، أ.

القوانين والنظريات والقواعد

النسبة بين حدين متتاليين

ح₍ᵣ₊₁₎ / ح_ر = ((ن − ر + 1) / ر) × (الحد الثاني / الحد الأول) = ((ن − ر + 1)/ر) × (أ/س)

شرط التطبيق: المفكوك (س + أ)ⁿ، و 1 ≤ ر ≤ ن.

النسبة بين معاملي حدين متتاليين

معامل ح₍ᵣ₊₁₎ / معامل ح_ر = ((ن − ر + 1)/ر) × (معامل الحد الثاني / معامل الحد الأول)

ملاحظة: المعاملات هنا هي معاملات الحد الأول والثاني في المقدار ذي الحدين نفسه (قبل الرفع للقوة).

ربط الحدود المتباعدة

ح₍ᵣ₊₂₎ / ح_ر = (ح₍ᵣ₊₂₎ / ح₍ᵣ₊₁₎) × (ح₍ᵣ₊₁₎ / ح_ر)

إيجاد أكبر حد في المفكوك

نكتب ح₍ᵣ₊₁₎ / ح_ر بقيم س ، أ المعطاة.
الحدود تتزايد ما دامت النسبة > 1 وتتناقص عندما تصبح النسبة < 1.
أكبر حد هو الحد الذي تنتقل عنده النسبة من أكبر من 1 إلى أقل من 1.

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): في مفكوك (س + 2ص)¹² أوجد ح₃/ح₂. ح₃/ح₂ = ((12 − 2 + 1)/2) × (2ص/س) = (11/2) × (2ص/س) = 11ص/س.

مثال 2 (متوسط): في مفكوك (س + 2ص)¹² أوجد (معامل ح₈) ÷ (معامل ح₆). معامل ح₈/معامل ح₇ = ((12−7+1)/7) × 2 = 12/7 ، معامل ح₇/معامل ح₆ = ((12−6+1)/6) × 2 = 7/3 ، فالناتج = (12/7) × (7/3) = 4.

مثال 3 (صعب): أوجد أكبر حد في مفكوك (س + ص)¹⁰ عندما س = 2 ، ص = 3. ح₍ᵣ₊₁₎/ح_ر = ((10 − ر + 1)/ر) × (3/2) = (33 − 3ر)/(2ر). تكون النسبة > 1 عندما 33 − 3ر > 2ر أي ر < 6.6، والنسبة < 1 عندما ر > 6.6. إذن ح₁ < ح₂ < … < ح₇ > ح₈ > … ، فأكبر حد هو ح₇ = ¹⁰و₆ (2)⁴ (3)⁶ = 210 × 16 × 729 = 2 449 440.

مثال 4 (علاقة بين حدود): في مفكوك (س + ص)⁸ إذا كان 2ح₅ = ح₄ + ح₆ أوجد س/ص عددياً. نقسم على ح₅: 2 = ح₄/ح₅ + ح₆/ح₅ ، حيث ح₅/ح₄ = ((8−4+1)/4)(ص/س) = 5ص/(4س) ومنه ح₄/ح₅ = 4س/(5ص) ، وح₆/ح₅ = ((8−5+1)/5)(ص/س) = 4ص/(5س). فتكون 2 = 4س/(5ص) + 4ص/(5س) ومنها بالضرب في 5س ص: 10 س ص = 4س² + 4ص² أي 2س² − 5س ص + 2ص² = 0 أي (2س − ص)(س − 2ص) = 0 فإما س/ص = 1/2 أو س/ص = 2.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• استخدام (ن − ر) بدلاً من (ن − ر + 1) في بسط النسبة.
• قلب النسبة (الأول على الثاني) بدلاً من (الثاني على الأول).
• عند حساب النسبة بين حدين غير متتاليين يجب ضرب عدة نسب متتالية.
• في أكبر حد، لا يكفي حل النسبة = 1 فقط، بل يجب فحص النسبة على جانبي القيمة.
• نسيان أن معاملات النسبة هي معاملات حدي المقدار ذي الحدين وليست معاملات المفكوك.

قائمة المراجعة

• [ ] أكتب ح₍ᵣ₊₁₎/ح_ر = (ن−ر+1)/ر × أ/س.
• [ ] أحدد قيمة ر من رتبة الحد الأصغر في النسبة.
• [ ] أحسب نسبة معاملين متتاليين بالقانون نفسه.
• [ ] أضرب نسبتين متتاليتين للحصول على نسبة حدين متباعدين.
• [ ] أحول علاقة بين حدود (ك ح₃ = ح₄ + ح₅ …) إلى معادلة في س/ص.
• [ ] أفك معادلات بالتعويض عندما تعطى معاملات ثلاثة حدود متتالية.
• [ ] أجد أكبر حد بدراسة إشارة (النسبة − 1).
• [ ] أتحقق من أن ر عدد صحيح موجب.
• [ ] أحسب قيمة الحد الأكبر بالتعويض في الحد العام.
• [ ] أتذكر أن عند تساوي حدين متتاليين يوجد حدان أكبران متساويان.
• [ ] أرتب المعادلات الناتجة وأحلها بالتحليل أو التعويض.
• [ ] أراجع نتيجتي بإعادة حساب النسبة.

جميع القوانين دفعة واحدة

ح₍ᵣ₊₁₎/ح_ر = (ن − ر + 1)/ر × أ/س
معامل ح₍ᵣ₊₁₎ / معامل ح_ر = (ن − ر + 1)/ر × (معامل الثاني / معامل الأول)
ح₍ᵣ₊₂₎/ح_ر = (ح₍ᵣ₊₂₎/ح₍ᵣ₊₁₎) × (ح₍ᵣ₊₁₎/ح_ر)
أكبر حد: النسبة ح₍ᵣ₊₁₎/ح_ر > 1 قبل الحد الأكبر و < 1 بعده