ملخص الرياضيات تالتة ثانوي إيجاد الحد المشتمل على س^ك من مفكوك ذات الحدين

أهداف التعلم

• استخدام الحد العام لإيجاد الحد المشتمل على سᵏ في مفكوك ذات الحدين.
• إيجاد الحد الخالي من س في المفكوك.
• إيجاد معامل الحد المشتمل على قوة معينة من س.
• تحديد ما إذا كان المفكوك يحتوي على حد بقوة معينة أم لا.
• حل مسائل تربط معاملات حدود مختلفة بعلاقات (تساوي معاملين مثلاً) لإيجاد مجاهيل.

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الحد العام: ح₍ᵣ₊₁₎ = ⁿوᵣ (الحد الأول)ⁿ⁻ʳ (الحد الثاني)ʳ حيث ر ∈ ط (عدد صحيح غير سالب) و ر ≤ ن.
• الحد المشتمل على سᵏ: الحد الذي يكون أس س فيه يساوي ك.
• الحد الخالي من س: الحد الذي يكون أس س فيه صفراً (أي ك = 0).
• معامل الحد: العدد المضروب في القوة المطلوبة من س بعد حذف س.

القوانين والنظريات والقواعد

طريقة إيجاد الحد المشتمل على سᵏ

1) نكتب الحد العام ح₍ᵣ₊₁₎ بدلالة ر.
2) نجمع قوى س في الحد العام (بدلالة ر) ونساويها بـ ك.
3) نحل المعادلة لإيجاد ر:
   إذا كانت ر ∈ ط (وكانت ≤ ن) فالحد المطلوب هو الحد رقم ر + 1.
   إذا كانت ر ∉ ط (كسرية أو سالبة أو أكبر من ن) فلا يوجد حد بهذه القوة.

شرط التطبيق: ر عدد صحيح بين 0 و ن.

الحد الخالي من س

نضع مجموع قوى س في الحد العام = 0

ملاحظة: في مفكوك (س + 1/س)ⁿ حيث ن زوجي يكون الحد الخالي من س هو الحد الأوسط.

معامل الحد

معامل ح₍ᵣ₊₁₎ = ⁿوᵣ (معامل الحد الأول)ⁿ⁻ʳ (معامل الحد الثاني)ʳ

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): في مفكوك (3س/2 + 2/(3س))¹¹ أوجد معامل س. ح₍ᵣ₊₁₎ = ¹¹وᵣ (3/2)¹¹⁻ʳ (2/3)ʳ س¹¹⁻²ʳ. نضع 11 − 2ر = 1 فتكون ر = 5، فالحد المطلوب هو السادس ومعامله ¹¹و₅ (3/2)⁶ (2/3)⁵ = 462 × 3/2 = 693.

مثال 2 (متوسط): في مفكوك (2س − 1/(2س²))⁹ أوجد (أ) معامل س³ (ب) الحد الخالي من س (ج) أثبت أنه لا يوجد حد يحتوي على س². ح₍ᵣ₊₁₎ = ⁹وᵣ (2س)⁹⁻ʳ (−1/(2س²))ʳ = ⁹وᵣ 2⁹⁻²ʳ (−1)ʳ س⁹⁻³ʳ.

• (أ) 9 − 3ر = 3 فتكون ر = 2 والمعامل = ⁹و₂ × 2⁵ = 36 × 32 = 1152.
• (ب) 9 − 3ر = 0 فتكون ر = 3 والحد الخالي من س = ح₄ = ⁹و₃ (2)⁶ (−1/2)³ = 84 × 64 × (−1/8) = −672.
• (ج) 9 − 3ر = 2 فتكون ر = 7/3 ∉ ط، فلا يوجد حد يحتوي على س².

مثال 3 (صعب): إذا كان ن عدداً صحيحاً موجباً فأثبت أنه لا يوجد حد خالٍ من س في مفكوك (س³ + 4/س⁴)ⁿ إلا إذا كان ن من مضاعفات 7، ثم أوجد هذا الحد عندما ن = 7. ح₍ᵣ₊₁₎ = ⁿوᵣ (س³)ⁿ⁻ʳ (4/س⁴)ʳ = ⁿوᵣ 4ʳ س³ⁿ⁻⁷ʳ. نضع 3ن − 7ر = 0 فتكون ر = 3ن/7، ولا تكون عدداً صحيحاً إلا إذا كان ن من مضاعفات 7. عند ن = 7: ر = 3 والحد = ⁷و₃ × 4³ = 35 × 64 = 2240.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• الخلط بين رتبة الحد (ر + 1) وقيمة ر عند كتابة الإجابة النهائية.
• نسيان إشارة السالب عندما يكون الحد الثاني سالباً وتكون ر فردية.
• عدم رفع معامل الحد الثاني بالكامل إلى القوة ر، مثل (2س²)ʳ = 2ʳ س²ʳ.
• نسيان التحقق من أن ر عدد صحيح غير سالب وأنها لا تتجاوز ن.
• الخلط بين "الحد" و"معامل الحد": الحد يشمل القوة من س، والمعامل لا يشملها.

قائمة المراجعة

• [ ] أكتب الحد العام بدلالة ر.
• [ ] أجمع قوى س في الحد العام بعد التبسيط.
• [ ] أساوي مجموع القوى بـ ك لإيجاد ر.
• [ ] أتأكد أن ر ∈ ط وأن ر ≤ ن.
• [ ] أعرف أن رتبة الحد المطلوب = ر + 1.
• [ ] أضع مجموع القوى = 0 لإيجاد الحد الخالي من س.
• [ ] أميز بين الحد ومعامل الحد.
• [ ] أحل معادلات تربط معاملين لحدين مختلفين.
• [ ] أعرف أن الحد الخالي من س في (س + 1/س)ⁿ (ن زوجي) هو الحد الأوسط.
• [ ] أتحقق من إشارة الحد عند وجود حد سالب.
• [ ] أستنتج عدم وجود الحد إذا كانت ر كسرية.
• [ ] أبسط أسس س بعناية عند وجود جذور أو كسور.

جميع القوانين دفعة واحدة

ح₍ᵣ₊₁₎ = ⁿوᵣ (س)ⁿ⁻ʳ (أ)ʳ
الحد المشتمل على سᵏ:  مجموع قوى س في ح₍ᵣ₊₁₎ = ك  ⇒  ر
الحد الخالي من س:     مجموع قوى س في ح₍ᵣ₊₁₎ = 0  ⇒  ر
الحد المطلوب موجود إذا: ر ∈ ط و 0 ≤ ر ≤ ن
رتبة الحد = ر + 1
معامل ح₍ᵣ₊₁₎ = ⁿوᵣ (معامل الأول)ⁿ⁻ʳ (معامل الثاني)ʳ