الرياضيات - الفصل 2: الأعداد المركبة والصورة المثلثية

# ملخص: الأعداد المركبة والصورة المثلثية

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم

1.  تمثيل العدد المركب ومرافقه بنقاط في مستوى إحداثي.
2.  تحديد المقياس والسعة للعدد المركب.
3.  التعرف على السعة الأساسية للعدد المركب.
4.  فهم الصور المثلثية للعدد المركب.
5.  تطبيق نظرية ديموافر وتطبيقاتها.
6.  استنتاج الجذور النونية لأي عدد مركب.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **العدد المركب:** $z = a + bi$، حيث $a$ و $b$ أعداد حقيقية و $i$ هي الوحدة التخيلية ($i^2 = -1$).
*   **مرافق العدد المركب:** إذا كان $z = a + bi$، فإن مرافقه هو $\bar{z} = a - bi$.
*   **مقياس العدد المركب:** إذا كان $z = a + bi$، فإن مقياسه هو $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
*   **الصورة المثلثية للعدد المركب:** $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$، حيث $r$ هو المقياس و $\theta$ هي السعة.
*   **نظرية ديموافر:** $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$.
*   **قانون أويلر:** $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$.

## القوانين والنظريات والقواعد

### نظرية ديموافر

$$
(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)
$$

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون $\theta$ زاوية في الراديان.

**ملاحظة:** هذه النظرية تعتبر أساسية في حل المشكلات المتعلقة بالأعداد المركبة.

### قانون أويلر

$$
e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta
$$

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون $\theta$ زاوية في الراديان.

**ملاحظة:** هذا القانون يربط بين الدوال المثلثية والأعداد المركبة.

### الصورة المثلثية للعدد المركب

$$
z = r(\cos \theta + i \sin \theta)
$$

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون $r$ المقياس و $\theta$ السعة.

**ملاحظة:** هذه الصورة تعتبر أساسية في تمثيل الأعداد المركبة.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: تحويل العدد المركب إلى الصورة المثلثية

حول العدد المركب $z = 3 + 4i$ إلى الصورة المثلثية.

**الحل:**

*   المقياس: $r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$
*   السعة: $\theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$
*   الصورة المثلثية: $z = 5\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$

### مثال 2: تطبيق نظرية ديموافر

استخدم نظرية ديموافر لإيجاد $(\cos \theta + i \sin \theta)^3$.

**الحل:**

*   طبق نظرية ديموافر: $(\cos \theta + i \sin \theta)^3 = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta)$

### مثال 3: إيجاد الجذور النونية للواحد

إيجاد الجذور النونية للواحد.

**الحل:**

*   استخدم الصورة المثلثية للواحد: $1 = \cos(0) + i\sin(0)$
*   طبق نظرية ديموافر: $(\cos(0) + i\sin(0))^n = \cos(n\cdot0) + i\sin(n\cdot0) = 1$

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   الأخطاء الشائعة في هذا الموضوع تتضمن عدم فهم الصورة المثلثية للأعداد المركبة وعدم تطبيق نظرية ديموافر بشكل صحيح.
*   الحالات الخاصة تتضمن الأعداد المركبة التي لها جزء حقيقي أو تخيلي يساوي صفر.

## قائمة المراجعة

1.  تعريف العدد المركب.
2.  مرافق العدد المركب.
3.  مقياس العدد المركب.
4.  الصورة المثلثية للعدد المركب.
5.  نظرية ديموافر.
6.  قانون أويلر.
7.  تحويل العدد المركب إلى الصورة المثلثية.
8.  تطبيق نظرية ديموافر.
9.  إيجاد الجذور النونية للواحد.
10. الأخطاء الشائعة في هذا الموضوع.
11. الحالات الخاصة في هذا الموضوع.
12. تطبيق الصورة المثلثية في حل المشكلات.

## جميع القوانين دفعة واحدة

```
z = a + bi
\bar{z} = a - bi
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
z = r(\cos \theta + i \sin \theta)
(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)
e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta
```

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

تمثيل الأعداد المركبة في مستوى أرجاند

يتعلم الطالب كيفية تمثيل الأعداد المركبة ومرافقاتها بيانيًا على مستوى أرجاند.

2

إيجاد مقياس العدد المركب

يتعلم الطالب كيفية حساب مقياس العدد المركب باستخدام الصيغة المناسبة.

3

إيجاد سعة العدد المركب

يتعلم الطالب كيفية إيجاد سعة العدد المركب، مع الأخذ في الاعتبار الربع الذي يقع فيه العدد.

4

إيجاد السعة الأساسية

يتعلم الطالب كيفية تحديد السعة الأساسية للعدد المركب.

5

التحويل من الصورة الجبرية إلى المثلثية

يتعلم الطالب كيفية تحويل عدد مركب من صورته الجبرية (س + ص ت) إلى صورته المثلثية (ل(جتاθ + ت جاθ)).

6

التحويل من الصورة المثلثية إلى الجبرية

يتعلم الطالب كيفية تحويل عدد مركب من صورته المثلثية إلى صورته الجبرية.

7

استخدام نظرية ديموافر

يتعلم الطالب كيفية تطبيق نظرية ديموافر لتبسيط حساب قوى الأعداد المركبة.

8

إيجاد الصورة الأسية للعدد المركب

يتعلم الطالب كيفية كتابة الأعداد المركبة بالصورة الأسية (صورة أويلر).

9

ضرب وقسمة الأعداد المركبة بالصورة الأسية

يتعلم الطالب كيفية إجراء عمليات الضرب والقسمة على الأعداد المركبة باستخدام الصورة الأسية.

10

حل مسائل على الصورة المثلثية

يحل الطالب مسائل متنوعة تتطلب استخدام الصورة المثلثية للأعداد المركبة.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: الأعداد المركبة والصورة المثلثية - 1

LO-1

الأعداد المركبة والصورة المثلثية

أهداف الدرس الأساسية

تمثيل الأعداد المركبة في مستوى أرجاند

إيجاد مقياس العدد المركب

إيجاد سعة العدد المركب

إيجاد السعة الأساسية

التحويل من الصورة الجبرية إلى المثلثية

التحويل من الصورة المثلثية إلى الجبرية

استخدام نظرية ديموافر

إيجاد الصورة الأسية للعدد المركب

ضرب وقسمة الأعداد المركبة بالصورة الأسية

حل مسائل على الصورة المثلثية

الشرح المرئي (Slides)

كمّل مذاكرة مع الزتونة