ملخص الرياضيات تالتة ثانوي الصورة المثلثية للعدد المركب

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• مستوى أرجاند: مستوى إحداثي يمثل محوره الأفقي الجزء الحقيقي من العدد المركب ومحوره الرأسي الجزء التخيلي؛ فالعدد س + ص ت تمثله النقطة (س ، ص).
• المقياس: |ع| = ل = √(س² + ص²) وهو بُعد النقطة عن نقطة الأصل.
• السعة θ: الزاوية التي يصنعها المتجه الواصل من الأصل إلى النقطة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات، وتأخذ عدداً لا نهائياً من القيم θ + 2ن π.
• السعة الأساسية: السعة التي تنتمي إلى الفترة ]−π ، π].
• الأعداد المترافقة: ع = س + ص ت و ع̄ = س − ص ت، وتمثلهما نقطتان متماثلتان حول محور السينات.

القوانين والنظريات والقواعد

المقياس والسعة

ل = |ع| = √(س² + ص²)       ظاθ = ص/س
الصورة المثلثية:  ع = ل (جتاθ + ت جاθ)    حيث θ ∈ ]−π ، π]

تحديد θ حسب الربع

الربع الأول  (س>0 ، ص>0):  θ = ظا⁻¹(ص/س)
الربع الثاني (س<0 ، ص>0):  θ = π + ظا⁻¹(ص/س)
الربع الثالث (س<0 ، ص<0):  θ = −π + ظا⁻¹(ص/س)
الربع الرابع (س>0 ، ص<0):  θ = ظا⁻¹(ص/س)
س>0 ، ص=0 ⇒ θ = 0      س<0 ، ص=0 ⇒ θ = π
س=0 ، ص>0 ⇒ θ = π/2    س=0 ، ص<0 ⇒ θ = −π/2

خواص المقياس والسعة

|ع| = |ع̄| = |−ع| ≥ 0
ع × ع̄ = |ع|²
سعة ع̄ = −θ ، سعة (−ع) = θ ± π

الضرب والقسمة بالصورة المثلثية

ع₁ × ع₂ = ل₁ل₂ (جتا(θ₁+θ₂) + ت جا(θ₁+θ₂))     |ع₁ع₂| = |ع₁||ع₂| ،  سعة الناتج = θ₁ + θ₂
ع₁ ÷ ع₂ = (ل₁/ل₂) (جتا(θ₁−θ₂) + ت جا(θ₁−θ₂))   |ع₁/ع₂| = |ع₁|/|ع₂| ،  سعة الناتج = θ₁ − θ₂
ع⁻¹ = (1/ل)(جتا(−θ) + ت جا(−θ)) ،  ع² = ل²(جتا2θ + ت جا2θ)

ملاحظة: بعد جمع أو طرح السعات تُرد السعة إلى الفترة ]−π ، π] بإضافة أو طرح مضاعفات 2π.

الصورة الأسية (أويلر)

هـ^(تθ) = جتاθ + ت جاθ        ع = ل هـ^(تθ)       (θ بالراديان)
ع₁ع₂ = ل₁ل₂ هـ^(ت(θ₁+θ₂))     ع₁/ع₂ = (ل₁/ل₂) هـ^(ت(θ₁−θ₂))

حالات مهمة

1 = جتا0 + ت جا0          −1 = جتاπ + ت جاπ
ت = جتا(π/2) + ت جا(π/2)   −ت = جتا(−π/2) + ت جا(−π/2)

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): أوجد المقياس والسعة الأساسية للعدد ع = −√3 + ت. س = −√3 ، ص = 1 في الربع الثاني: ل = √(3 + 1) = 2 ، θ = π + ظا⁻¹(1/(−√3)) = π − π/6 = 5π/6.

مثال 2 (متوسط): أوجد 2(جتا25° + ت جا25°) × 3(جتا35° + ت جا35°). = 6(جتا60° + ت جا60°) = 6(1/2 + ت √3/2) = 3 + 3√3 ت.

مثال 3 (صعب): أوجد المقياس والسعة الأساسية للعدد ع = −8(جتا45° + ت جا45°). ع = 8(−جتا45° − ت جا45°) وهو في الربع الثالث؛ −جتا45° = جتا225° = جتا(−135°) و −جا45° = جا(−135°) ، فالمقياس 8 والسعة الأساسية −135° = −3π/4.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• إهمال تحديد الربع الصحيح قبل حساب السعة، مما يعطي قيمة خاطئة (مثلاً ظا⁻¹ تعطي دائماً زاوية في الربعين الأول أو الرابع).
• كتابة سعة غير أساسية (خارج ]−π ، π]) كإجابة نهائية.
• الخلط بين الصورة المثلثية ل(جتاθ + ت جاθ) وصورة تحتوي على جاθ − ت جتاθ دون تحويلها أولاً.
• عدم تحويل ع = −ل(جتاθ + ت جاθ) (ل سالب) إلى صورة مقياسها موجب.
• نسيان أن السعة تقاس بالراديان في الصورة الأسية.

قائمة المراجعة

• [ ] أمثل العدد ومرافقه في مستوى أرجاند.
• [ ] أحسب المقياس ل = √(س² + ص²).
• [ ] أحدد ربع العدد قبل إيجاد السعة.
• [ ] أطبق قاعدة السعة الأساسية للأرباع الأربعة.
• [ ] أعرف السعة لحالات الأعداد على المحاور (0 ، π ، ±π/2).
• [ ] أكتب العدد بالصورة المثلثية ل(جتاθ + ت جاθ).
• [ ] أحول ل(جاθ − ت جتاθ) إلى الصورة المثلثية القياسية.
• [ ] أضرب عددين مركبين بضرب المقياسين وجمع السعتين.
• [ ] أقسم عددين مركبين بقسمة المقياسين وطرح السعتين.
• [ ] أكتب العدد بصورة أويلر ل هـ^(تθ).
• [ ] أحول العدد من الصورة الأسية إلى الجبرية.
• [ ] أرد السعة الناتجة إلى ]−π ، π].

جميع القوانين دفعة واحدة

ل = √(س² + ص²)
ع = ل(جتاθ + ت جاθ) = ل هـ^(تθ)
θ بحسب الربع: ظا⁻¹(ص/س) | π + ظا⁻¹(ص/س) | −π + ظا⁻¹(ص/س) | ظا⁻¹(ص/س)
|ع₁ع₂| = |ع₁||ع₂|   سعة(ع₁ع₂) = θ₁ + θ₂
|ع₁/ع₂| = |ع₁|/|ع₂|   سعة(ع₁/ع₂) = θ₁ − θ₂
ع̄ = ل(جتا(−θ) + ت جا(−θ))