ملخص الرياضيات تالتة ثانوي نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• المقدار ذو الحدين: مقدار جبري مكون من حدين مثل (س + أ).
• مثلث باسكال: ترتيب مثلثي لمعاملات مفكوك (س + أ)ⁿ؛ الصف الأول 1 1، والثاني 1 2 1، والثالث 1 3 3 1، والرابع 1 4 6 4 1، والخامس 1 5 10 10 5 1، وكل عنصر هو مجموع العنصرين فوقه.
• الربط بالتوافيق: عناصر الصف رقم ن في مثلث باسكال هي ⁿو₀ ، ⁿو₁ ، … ، ⁿوₙ ، ومجموعها يساوي عدد المجموعات الجزئية لمجموعة عدد عناصرها ن، أي 2ⁿ.
• الحد العام: الحد الذي رتبته (ر + 1) في المفكوك ويرمز له ح₍ᵣ₊₁₎ حيث 0 ≤ ر ≤ ن.
• الحد الأوسط: الحد الذي يقع في منتصف المفكوك.

القوانين والنظريات والقواعد

مفكوك ذات الحدين

(س + أ)ⁿ = سⁿ + ⁿو₁ سⁿ⁻¹ أ + ⁿو₂ سⁿ⁻² أ² + … + أⁿ
(س − أ)ⁿ = سⁿ − ⁿو₁ سⁿ⁻¹ أ + ⁿو₂ سⁿ⁻² أ² − … + (−أ)ⁿ

شرط التطبيق: ن ∈ ص⁺ (عدد صحيح موجب). ملاحظات على المفكوك:

• عدد الحدود (ن + 1) حداً.
• مرتب تنازلياً حسب قوى س وتصاعدياً حسب قوى أ.
• مجموع أس س وأس أ في أي حد = ن.
• دليل ⁿوᵣ في أي حد = رتبة الحد − 1.

حالتان خاصتان

(1 + س)ⁿ = 1 + ⁿو₁ س + ⁿو₂ س² + … + سⁿ
(1 − س)ⁿ = 1 − ⁿو₁ س + ⁿو₂ س² − … + (−1)ⁿ سⁿ
بوضع س = 1:   ⁿو₀ + ⁿو₁ + ⁿو₂ + … + ⁿوₙ = 2ⁿ

الحد العام

ح₍ᵣ₊₁₎ = ⁿوᵣ (س)ⁿ⁻ʳ (أ)ʳ
معامل ح₍ᵣ₊₁₎ = ⁿوᵣ (معامل الحد الأول)ⁿ⁻ʳ (معامل الحد الثاني)ʳ

ملاحظة: الحد من النهاية: الحد رقم ك من النهاية في (س + أ)ⁿ هو الحد رقم ك من البداية في (أ + س)ⁿ، ورتبته من البداية = ن + 2 − ك.

قاعدتان للمجموع والفرق

(س + أ)ⁿ + (س − أ)ⁿ = 2(ح₁ + ح₃ + ح₅ + …)
(س + أ)ⁿ − (س − أ)ⁿ = 2(ح₂ + ح₄ + ح₆ + …)

الحد الأوسط

ن زوجي:  حد أوسط واحد رتبته (ن/2) + 1
ن فردي:  حدان أوسطان رتبتاهما (ن+1)/2 و (ن+3)/2

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): اكتب مفكوك (2س + 3ص)⁴. (2س)⁴ + ⁴و₁(2س)³(3ص) + ⁴و₂(2س)²(3ص)² + ⁴و₃(2س)(3ص)³ + (3ص)⁴ = 16س⁴ + 96س³ص + 216س²ص² + 216سص³ + 81ص⁴.

مثال 2 (متوسط): أوجد معامل الحد السادس في مفكوك (س + 2/س)⁸. ح₆ = ⁸و₅ (س)³ (2/س)⁵ = 56 × 32 × س⁻² = 1792 س⁻²، فمعامل الحد = 1792.

مثال 3 (صعب): أوجد الحد الأوسط في مفكوك (2س + 1/(2س))⁸. ن = 8 زوجي فللمفكوك حد أوسط واحد رتبته 5: ح₅ = ⁸و₄ (2س)⁴ (1/(2س))⁴ = 70 × 16 × 1/16 = 70.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان أن رتبة الحد = ر + 1 (فالحد السادس يقابل ر = 5).
• إهمال إشارة السالب عند فك (س − أ)ⁿ: الحدود ذات الرتبة الزوجية سالبة.
• إهمال تربيع أو تكعيب معامل س عند حساب (2س)³ أو (3ص)².
• الخلط بين رتبة الحد من النهاية ورتبته من البداية.
• عند ن فردي يوجد حدان أوسطان وليس حداً واحداً.

قائمة المراجعة

• [ ] أكتب مثلث باسكال حتى الصف السادس.
• [ ] أعرف أن عدد حدود (س + أ)ⁿ هو ن + 1.
• [ ] أكتب الحد العام ح₍ᵣ₊₁₎ = ⁿوᵣ سⁿ⁻ʳ أʳ.
• [ ] أستخرج معامل أي حد بمعلومية رتبته.
• [ ] أحسب الحد من النهاية بتحويله إلى حد من البداية.
• [ ] أحدد رتبة الحد الأوسط عند ن زوجي وفردي.
• [ ] أعرف أن ⁿو₀ + ⁿو₁ + … + ⁿوₙ = 2ⁿ.
• [ ] أستخدم س = 1 لإيجاد مجموع معاملات المفكوك.
• [ ] أستعمل قاعدة (س + أ)ⁿ + (س − أ)ⁿ = 2(ح₁ + ح₃ + …).
• [ ] أفرّق بين معامل الحد والحد نفسه.
• [ ] أتحقق من أن مجموع الأسس في كل حد = ن.
• [ ] أحل معادلة التوافيق ⁿوᵣ = ⁿوₛ باستخدام ر + س = ن.

جميع القوانين دفعة واحدة

(س + أ)ⁿ = Σ ⁿوᵣ سⁿ⁻ʳ أʳ  (ر من 0 إلى ن)
ح₍ᵣ₊₁₎ = ⁿوᵣ (س)ⁿ⁻ʳ (أ)ʳ
عدد الحدود = ن + 1
ⁿو₀ + ⁿو₁ + … + ⁿوₙ = 2ⁿ
ⁿو₀ − ⁿو₁ + ⁿو₂ − … = 0
رتبة الحد الأوسط (ن زوجي) = ن/2 + 1
رتبتا الحدين الأوسطين (ن فردي) = (ن+1)/2 ، (ن+3)/2
رتبة الحد رقم ك من النهاية = ن + 2 − ك