الصف الثالث الثانوي الفصل 1

نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب

الرياضيات

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم

1. يتعرف على نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب.
2. يستنتج علاقات بين التوافيق مستخدمًا مفكوك ذات الحدين.
3. يستنتج الحد العام في مفكوك ذات الحدين.
4. يستنتج العلاقة بين مثلث باسكال ومعاملات مفكوك ذات الحدين.
5. يستنتج النسبة بين كل حد والحد السابق له في مفكوك ذات الحدين، ويستنتج بعض الأنماط في مثلث باسكال.
6. يحل تطبيقات متنوعة على نظرية ذات الحدين.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

* **نظرية ذات الحدين**: هي نظرية رياضية تُستخدم لتحويل عبارة من الصورة $(a+b)^n$ إلى مجموع من الحدود.
* **مثلث باسكال**: هو جدول رقمي يُستخدم في حساب معاملات مفكوك $(a+b)^n$ لقيم مختلفة من $n$.
* **الحد العام**: هو الحد رقم $k$ في مفكوك $(a+b)^n$، ويكتب كالتالي: $T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
* **معامل التوافيق**: هو معامل الحد رقم $k$ في مفكوك $(a+b)^n$، ويكتب كالتالي: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

## القوانين والنظريات والقواعد

### نظرية ذات الحدين
$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$
**شرط التطبيق:** يجب أن يكون $n$ عددًا صحيحًا موجبًا.
**ملاحظة:** هذه النظرية تُستخدم لتحويل عبارة من الصورة $(a+b)^n$ إلى مجموع من الحدود.

### الحد العام
$$ T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$
**شرط التطبيق:** يجب أن يكون $k$ عددًا صحيحًا من 0 إلى $n$.
**ملاحظة:** هذا الحد هو الحد رقم $k$ في مفكوك $(a+b)^n$.

### معامل التوافيق
$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$
**شرط التطبيق:** يجب أن يكون $n$ و $k$ أعدادًا صحيحة، و $0 \leq k \leq n$.
**ملاحظة:** هذا المعامل هو معامل الحد رقم $k$ في مفكوك $(a+b)^n$.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: إيجاد معاملات مفكوك $(1+x)^3$
$$ (1+x)^3 = \binom{3}{0} + \binom{3}{1} x + \binom{3}{2} x^2 + \binom{3}{3} x^3 $$
$$ (1+x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3 $$

### مثال 2: إيجاد الحد العام في مفكوك $(a+b)^4$
$$ T_{k+1} = \binom{4}{k} a^{4-k} b^k $$
$$ T_{k+1} = \frac{4!}{k!(4-k)!} a^{4-k} b^k $$

### مثال 3: إيجاد معامل الحد الذي يحتوي على $x^2$ في مفكوك $(x+y)^5$
$$ T_{k+1} = \binom{5}{k} x^{5-k} y^k $$
$$ T_{3} = \binom{5}{2} x^{3} y^2 $$
$$ T_{3} = \frac{5!}{2!(5-2)!} x^{3} y^2 $$
$$ T_{3} = 10 x^{3} y^2 $$

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

* يجب أن يكون $n$ عددًا صحيحًا موجبًا في نظرية ذات الحدين.
* يجب أن يكون $k$ عددًا صحيحًا من 0 إلى $n$ في الحد العام.
* يجب أن يكون $n$ و $k$ أعدادًا صحيحة، و $0 \leq k \leq n$ في معامل التوافيق.

## قائمة المراجعة

1. نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب.
2. مثلث باسكال.
3. الحد العام في مفكوك ذات الحدين.
4. معامل التوافيق.
5. العلاقة بين مثلث باسكال ومعاملات مفكوك ذات الحدين.
6. النسبة بين كل حد والحد السابق له في مفكوك ذات الحدين.
7. الأنماط في مثلث باسكال.
8. تطبيقات نظرية ذات الحدين.
9. معامل أي حد في مفكوك ذات الحدين.
10. معامل أي قوة للمتغير $x$ في مفكوك $(x+y)^n$.
11. الحد الخالي من $x$ في مفكوك $(x+y)^n$.
12. أكبر حد في مفكوك ذات الحدين.

## جميع القوانين دفعة واحدة
$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$
$$ T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$
$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

التعرف على نظرية ذات الحدين

يتعرف الطالب على مفهوم نظرية ذات الحدين وصيغتها العامة.

فهم مثلث باسكال

يتعرف الطالب على مثلث باسكال وكيفية استخدامه في إيجاد معاملات مفكوك ذات الحدين.

تطبيق صيغة الحد العام

يستخدم الطالب صيغة الحد العام لإيجاد أي حد في مفكوك ذات الحدين.

إيجاد معامل حد معين

يحدد الطالب معامل حد معين في مفكوك ذات الحدين.

إيجاد الحد المشتمل على قوة معينة

يحدد الطالب الحد الذي يحتوي على قوة معينة للمتغير x في مفكوك ذات الحدين.

إيجاد الحد الخالي من x

يحدد الطالب الحد الذي لا يحتوي على المتغير x في مفكوك ذات الحدين.

إيجاد الحد الأوسط

يحدد الطالب الحد (أو الحدود) الأوسط في مفكوك ذات الحدين.

إيجاد أكبر حد

يحدد الطالب أكبر حد في مفكوك ذات الحدين.

استنتاج علاقات بين التوافيق

يستخدم الطالب مفكوك ذات الحدين لاستنتاج علاقات بين التوافيق.

حل مسائل متنوعة

يحل الطالب مسائل متنوعة على نظرية ذات الحدين.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب - 1

LO-1

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد