باختصار
«البندول البسيط» (الفصل 15) من منهج الفيزياء للصف الثاني الثانوي، الترم الأول. الملخص مقسّم لـ: أهداف التعلم، المصطلحات والتعريفات العلمية، القوانين والمعادلات الفيزيائية، الخصائص العامة للبندول البسيط، التجربة العملية وتطبيقات القوانين.
أهداف التعلم
- يستطيع الطالب أن يحدد فترة اهتزاز البندول البسيط باستخدام العلاقة $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ للزوايا الصغيرة.
- يستطيع الطالب أن يشرح لماذا تعتمد فترة البندول على الطول $L$ ومقدار تسارع الجاذبية $g$، ولا تعتمد على كتلة الكُرَة.
- يستطيع الطالب أن يبرهن أن الفترة تقريباً مستقلة عن السعة (زاوية الإزاحة) ما دامت الزاوية صغيرة (< 10°).
- يستطيع الطالب أن يميّز القوة المستعادة في البندول ويكتب معادلتها $F = -mg\sin\theta$.
- يستطيع الطالب أن يجري تجربة قياس الفترة مع تغيير طول الخيط أو كتلة الكُرَة أو السعة، ويحلّل النتائج وفقاً للنموذج النظري.
- يستطيع الطالب أن يحل مسائل عددية تتضمن حساب فترة البندول وتطبيق مفهوم التقريب الزاوي الصغير.
المصطلحات والتعريفات العلمية
| المصطلح | التعريف الكامل | الوحدة (SI) |
|---|---|---|
| البندول البسيط | نظام يتكوّن من كتلة صغيرة (كُرَة) معلقة بخيط خفيف غير قابل للتمدد، تُهزّ حول نقطة ثابتة. | – |
| الزاوية $\theta$ | الزاوية بين الخيط ووضعية التوازن العمودي. تُقاس بالراديان. | راديان (rad) |
| الإزاحة $,s$ | المسافة على القوس التي يقطعها الكُرَة من وضعية التوازن. | متر (m) |
| القوة المستعادة | القوة التي تعيد النظام إلى وضع التوازن وتُعطى بـ $F = -mg\sin\theta$. | نيوتن (N) |
| الثابت الفعّال $k$ | ثابت القوة المستعادة في حركة هزازة بسيطة، يساوي $k = mg/L$. | نيوتن/متر (N·m⁻¹) |
| الفترة $T$ | الزمن اللازم لإكمال تذبذب كامل (من أقصى إلى أقصى ثم العودة). | ثانية (s) |
| التقريب الزاوي الصغير | افتراض $\sin\theta \approx \theta$ عندما تكون $\theta < 10^\circ$ (≈ 0.174 rad). | – |
| التساوي الزمني (Isochronism) | خاصية أن فترة البندول لا تتغيّر مع تغير السعة إذا كانت الزاوية صغيرة. | – |
| تسارع الجاذبية $g$ | مقدار القوة الجاذبة للأرض على وحدة كتلة. | متر/ث² (m·s⁻²) |
| الكتلة $m$ | مقدار المادة في الكُرَة. | كيلوجرام (kg) |
| الطول $L$ | المسافة من نقطة التعليق إلى مركز الكُرَة. | متر (m) |
القوانين والمعادلات الفيزيائية
قانون القوة المستعادة للبندول
F = - m g sinθ
حيث:
| الرمز | المعنى | الوحدة SI |
|---|---|---|
| F | القوة المستعادة (متجه) | نيوتن (N) |
| m | كتلة الكُرَة | كيلوجرام (kg) |
| g | تسارع الجاذبية | متر/ث² (m·s⁻²) |
| θ | الزاوية من الوضع العمودي | راديان (rad) |
شرط التطبيق: يُستعمل عندما يكون الخيط غير ممتد والكتلة صغيرة، وتُقاس الزاوية بالراديان.
مثال عددي: إذا كان $m = 2.0$ kg، $g = 9.8$ m·s⁻²، $\theta = 5^\circ = 0.0873$ rad، فإن $F = -2.0 × 9.8 × sin(0.0873) ≈ -1.71$ N.
قانون الحركة التوافقية البسيطة (SHM)
F = - k x
حيث:
| الرمز | المعنى | الوحدة SI |
|---|---|---|
| k | ثابت القوة | نيوتن/متر (N·m⁻¹) |
| x | الإزاحة من التوازن | متر (m) |
شرط التطبيق: يُطبق عندما تكون القوة المستعادة متناسبة طرديًا مع الإزاحة وتُعطى بالاتجاه المعاكس.
مثال عددي: إذا كان $k = 15$ N·m⁻¹ و $x = 0.04$ m، فإن $F = -15 × 0.04 = -0.6$ N.
علاقة الفترة للكتلة‑قوة ثابتة في SHM
T = 2π √(m / k)
حيث:
| الرمز | المعنى | الوحدة SI |
|---|---|---|
| T | الفترة | ثانية (s) |
| m | الكتلة | كيلوجرام (kg) |
| k | ثابت القوة | نيوتن/متر (N·m⁻¹) |
شرط التطبيق: صالحة لأي نظام هزاز بسيط عندما تكون القوة المستعادة خطية.
مثال عددي: إذا كان $m = 0.5$ kg و $k = 20$ N·m⁻¹، فإن $T = 2π √(0.5/20) ≈ 0.99$ s.
ثابت القوة الفعّال للبندول
k = m g / L
حيث:
| الرمز | المعنى | الوحدة SI |
|---|---|---|
| L | طول الخيط | متر (m) |
شرط التطبيق: يُستعمل للربط بين معادلة القوة المستعادة للباندول وثابت SHM.
مثال عددي: إذا كان $m = 1.2$ kg، $g = 9.8$ m·s⁻²، $L = 0.6$ m، فإن $k = 1.2 × 9.8 / 0.6 ≈ 19.6$ N·m⁻¹.
علاقة الفترة للبندول البسيط (النتيجة النهائية)
T = 2π √(L / g)
حيث:
| الرمز | المعنى | الوحدة SI |
|---|---|---|
| T | الفترة | ثانية (s) |
| L | طول الخيط | متر (m) |
| g | تسارع الجاذبية | متر/ث² (m·s⁻²) |
شرط التطبيق: الزاوية $\theta$ صغيرة (≤ 10°) بحيث $\sin\theta ≈ \theta$؛ الخيط غير ممتد والكتلة صغيرة مقارنة بطول الخيط.
مثال عددي: مع $L = 1.8$ m و $g = 9.8$ m·s⁻²، نحسب
$T = 2π √(1.8 / 9.8) ≈ 2π √(0.1837) ≈ 2π × 0.4287 ≈ 2.69$ s.
الخصائص العامة للبندول البسيط
البندول البسيط هو نموذج أساسي يُستعمل لتوضيح مفهوم الحركة الاهتزازية البسيطة. يتكوّن من كتلة صغيرة (الكُرَة) معلقة بخيط خفيف غير قابل للتمدد، بحيث يكون الخيط غير مُمتد ولا يضيف كتلةً تُؤثر على الحركة. عندما يُزاح الكُرَة بزاوية صغيرة من وضع التوازن، يتولد مكوّن وزنٍ موازٍ للاتجاه المماس للقطعة الدائرية، وهو ما يُعطي القوة المستعادة $F = -mg\sin\theta$.
باستخدام تقريب الزاوية الصغيرة $\sin\theta \approx \theta$، يصبح $F = -(mg/L) s$ حيث $s = L\theta$ هو الإزاحة على القوس. بهذه الصيغة يتطابق البندول مع معادلة الحركة التوافقية البسيطة $F = -k s$ مع ثابت $k = mg/L$.
من العلاقة $T = 2π√(m/k)$، وبعد إلغاء الكتلة $m$، نحصل على الصيغة النهائية $T = 2π√(L/g)$ التي تُظهر أن الفترة تعتمد فقط على طول الخيط ومقدار تسارع الجاذبية.
نقاط رئيسية:
- الاعتماد على الطول: الفترة تتناسب مع الجذر التربيعي للطول؛ إذا ضُرب الطول بأربعة، تتضاعف الفترة.
- عدم الاعتماد على الكتلة: الكتلة تظهر في كل من القوة المستعادة والكتلة في معادلة الفترة، فتُلغى.
- الاعتماد على الجاذبية: كلما زاد $g$ (مثلاً على كوكب أقوى جاذبية) تقل الفترة.
- الاعتماد على السعة: في نطاق الزوايا الصغيرة (< 10°) لا تدخل السعة في الصيغة؛ وهذا ما يُسمّى التماثل الزمني (Isochronism).
التجربة العملية وتطبيقات القوانين
خطوات التجربة
- إعداد الجهاز: ربط كُرَة بكثافة عالية بخيط بطول يتراوح بين 1‑2 متر، وتعليقها من نقطة ثابتة.
- قياس الطول: يُقاس $L$ من نقطة التعليق إلى مركز الكُرَة.
- الإزاحة الصغيرة: يُسحب البندول بزاوية لا تتجاوز 10° ثم يُترك دون دفع إضافي.
- الزمن: يُقاس زمن عشرة تذبذبات كاملة باستخدام ساعة توقيت أو هاتف ذكي، ثم يُقسم على 10 للحصول على الفترة $T$.
- تغيير المتغيّر: يُعاد التجربة مع تغيير طول الخيط فقط، ثم كتلة الكُرَة فقط، ثم السعة فقط (مع الحفاظ على الزاوية الصغيرة).
جدول ملخص النتائج التجريبية
| المتغيّر المُغيّر | القيمة الجديدة | زمن 10 تذبذبات (s) | الفترة $T = t/10$ (s) |
|---|---|---|---|
| الطول $L$ (مضاعفة 4×) | 4 L₀ | تقريباً 2 × t₀ | تقريباً 2 × T₀ |
| كتلة الكُرَة (أثقل) | m₁ > m₀ | ≈ t₀ | ≈ T₀ |
| السعة (زاوية < 10°) | θ₁ > θ₀ | ≈ t₀ | ≈ T₀ |
تحليل النتائج
- الطول: زيادة الطول بأربعة أضعاف أدت إلى تقريباً مضاعفة الفترة، متطابقة مع $T ∝ √L$.
- الكتلة: تغيير الكتلة لم يُظهر أي فرق ملحوظ في الفترة، مؤكدًا إلغاء الكتلة من الصيغة.
- السعة: بقاء الزاوية ضمن نطاق التقريب الصغير حافظ على الفترة ثابتة، ما يثبت خاصية التماثل الزمني.
تطبيقات محلولة
مسألة 1
المعطى: طول خيط البندول $L = 0.75$ m، تسارع الجاذبية $g = 9.81$ m·s⁻². احسب الفترة.
الحل:
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.75}{9.81}}$$
$$\frac{0.75}{9.81} = 0.0765 ;\Rightarrow; \sqrt{0.0765}=0.2766$$
$$T = 2\pi × 0.2766 ≈ 1.74\ \text{ثانية}$$
الإجابة: $T ≈ 1.74$ s.
مسألة 2
المعطى: بندول بطول $L = 2.0$ m يُهز بزاوية 8° (صغيرة). إذا ارتفعت درجة الجاذبية إلى $g' = 12.0$ m·s⁻²، ما الفرق في الفترة؟
الحل:
الفترة الأصلية:
$$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{2.0}{9.8}} = 2\pi \sqrt{0.2041}=2\pi ×0.452≈2.84\ \text{s}$$
الفترة بعد تغيير $g$:
$$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{2.0}{12.0}} = 2\pi \sqrt{0.1667}=2\pi ×0.408≈2.56\ \text{s}$$
الفرق: $ΔT = T_1 - T_2 ≈ 0.28$ s.
الإجابة: الفترة تقلّ بحوالي 0.28 s عندما تزداد $g$ إلى 12 m·s⁻².
أخطاء شائعة في الامتحان
- استخدام الزاوية بالدرجة بدلًا من الراديان في معادلة $T = 2\pi\sqrt{L/g}$؛ يجب أن تكون الزاوية في الراديان فقط عند استعمال تقريب $\sin\theta ≈ \theta$.
- إدخال السعة في حساب الفترة؛ في نطاق الزوايا الصغيرة لا تظهر السعة في الصيغة، لذا لا تُضاف أي حد للزاوية.
- نسيان إلغاء الكتلة؛ عند كتابة $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ مع $k = mg/L$ يجب تبسيطها إلى $T = 2\pi\sqrt{L/g}$، وإلا سيظهر خطأ في النتيجة.
- قياس طول الخيط من نقطة التعليق إلى قاعدة الكُرَة بدلاً من مركز الكُرَة؛ هذا يضيف خطأً منهجيًا في $L$ ويؤثر على الفترة المحسوبة.
قائمة المراجعة السريعة
- [ ] تعريف البندول البسيط ومكوّناته.
- [ ] كتابة معادلة القوة المستعادة $F = -mg\sin\theta$.
- [ ] معرفة متى يُستعمل تقريب $\sin\theta ≈ \theta$ (θ < 10°).
- [ ] استخراج ثابت القوة $k = mg/L$.
- [ ] كتابة معادلة الفترة العامة $T = 2\pi\sqrt{m/k}$.
- [ ] إلغاء الكتلة للحصول على $T = 2\pi\sqrt{L/g}$.
- [ ] توضيح أن الفترة لا تعتمد على الكتلة.
- [ ] توضيح أن الفترة لا تعتمد على السعة (في النطاق الصغير).
- [ ] حساب الفترة لعدة أطوال خيط مختلفة.
- [ ] مقارنة النتائج التجريبية مع التوقع النظري (T ∝ √L).
- [ ] التحقق من صحة قياس الزمن عبر عدّ عدة تذبذبات لتقليل خطأ رد الفعل.
- [ ] مراجعة الوحدات في جميع المعادلات (L بالمتر، g بالمتر/ث²، T بالثانية).
- [ ] التأكد من تحويل الزوايا إلى راديان عند الحاجة.
جميع معادلات الفصل دفعة واحدة
F = - m g sinθ
F = - k x
T = 2π √(m / k)
k = m g / L
T = 2π √(L / g)
s = L θ
sinθ ≈ θ (θ < 10°)
بالتوفيق في امتحاناتك!
الملخص ده مكتوب بالذكاء الاصطناعي من نص الفصل في الكتاب المدرسي، وآخر تحديث ليه كان 7 أكتوبر 2026. لقيت فيه غلطة؟ ابعتهالنا على واتساب ونصلّحها. إزاي بنكتب الملخصات.