ملخص الفيزياء تانية ثانوي، الترم الأول البندول الزنبركي

أهداف التعلم

• يستطيع الطالب أن يحدد الفترة (T) للذبذبة في نظام البندول الزنبركي من الكتلة (m) وثابت الزنبرك (k).
• يستطيع الطالب أن يشرح تأثير الكتلة والسعة (الأمبلتود) على الفترة في الاهتزازات الصغيرة.
• يستطيع الطالب أن يميّز بين الزنبرك الأفقي والزنبرك العمودي ويبرهن أن لهما نفس الفترة.
• يستطيع الطالب أن يحسب السرعة القصوى (Vₘₐₓ) والتسارع الأقصى (aₘₐₓ) في حركة بسيطة تذبذبية.
• يستطيع الطالب أن يطبق معادلة قوة الاسترجاع (F = –k x) لتحديد ثابت الزنبرك من التجربة.
• يستطيع الطالب أن يحل مسائل تطبيقية تشمل حساب الفترة، السرعة، التسارع، ووقت الوصول إلى نقطة التوازن.

المصطلحات والتعريفات العلمية

• البندول الزنبركي: نظام يتكوّن من كتلة معلقة على زنبرك يمكن أن يهتز في اتجاه عمودي أو أفقي. (الوحدة: —)
• الزنبرك (spring): جسم مرن ينتج قوة استرجاع تتناسب مع إزاحة الطرف عن وضع التوازن. (الوحدة: نيوتن/متر N ÷ m)
• ثابت الزنبرك (k): معامل يحدد صلابة الزنبرك؛ كلما زاد k كان الزنبرك أكثر صلابة. (الوحدة: نيوتن/متر N ÷ m)
• الكتلة (m): مقدار المادة في الجسم المعلق على الزنبرك. (الوحدة: كيلوجرام kg)
• نقطة التوازن (equilibrium position): الموضع الذي يتوازن فيه وزن الكتلة مع قوة استرجاع الزنبرك. (الوحدة: متر m)
• القوة الاسترجاعية (restoring force): القوة التي تعيد الجسم إلى نقطة التوازن وتكتب F = –k x. (الوحدة: نيوتن N)
• الفترة (period, T): الزمن اللازم لإكمال دورة اهتزازية واحدة. (الوحدة: ثانية s)
• التردد الزاوي (angular frequency, ω): عدد الدورات الزاوية في الثانية، ω = √(k ÷ m). (الوحدة: راديان/ثانية rad ÷ s)
• السعة (amplitude, A): أقصى إزاحة للجسم عن نقطة التوازن. (الوحدة: متر m)
• السرعة (velocity, v): معدل تغير الإزاحة؛ في الحركة التوافقية البسيطة v = A ω cos ωt. (الوحدة: متر/ثانية m ÷ s)
• التسارع (acceleration, a): معدل تغير السرعة؛ في الحركة التوافقية البسيطة a = –ω² x. (الوحدة: متر/ثانية² m ÷ s²)
• السرعة القصوى (maximum speed, Vₘₐₓ): السرعة عند مركز الحركة، Vₘₐₓ = A ω. (الوحدة: متر/ثانية m ÷ s)
• التسارع الأقصى (maximum acceleration, aₘₐₓ): التسارع عند طرفي الحركة، aₘₐₓ = ω² A. (الوحدة: متر/ثانية² m ÷ s²)

القوانين والمعادلات الفيزيائية

قانون الفترة للزنبرك (Period of a Mass‑Spring Oscillator)

T = 2π √(m ÷ k)

حيث:

شرط التطبيق: ينطبق على نظام كتلة‑زنبرك يتحرك بحركة توافقية بسيطة (SHM) مع إزاحة صغيرة بحيث يبقى الزنبرك في نطاق مرن خطي.

مثال عددي: إذا كان m = 0.10 kg و k = 40 N ÷ m، فإن
$T = 2π √(0.10 ÷ 40) ≈ 2π √(0.0025) ≈ 2π × 0.05 ≈ 0.314 s$.

---

قانون القوة الاسترجاعية (Restoring Force)

F = –k × x

حيث:

شرط التطبيق: صالح عندما يكون الزنبرك في نطاق مرن خطي (قانون هوك).

مثال عددي: إذا كان k = 50 N ÷ m و x = 0.08 m، فإن
$F = –50 × 0.08 = –4 N$ (القوة موجهة نحو نقطة التوازن).

---

علاقة السرعة بالزمن في SHM

v = A × ω × cos(ωt)

حيث:

شرط التطبيق: الحركة توافقية بسيطة مع إزاحة صغيرة.

مثال عددي: A = 0.05 m، ω = √(k ÷ m) = √(40 ÷ 0.10) = √400 = 20 rad ÷ s. عند t = 0،
$v = 0.05 × 20 × cos(0) = 1.0 m ÷ s$.

---

علاقة التسارع بالزمن في SHM

a = –ω² × x

حيث:

شرط التطبيق: نفس شرط معادلة السرعة.

مثال عددي: باستخدام ω = 20 rad ÷ s و x = 0.05 m،
$a = –20² × 0.05 = –400 × 0.05 = –20 m ÷ s²$.

---

السرعة القصوى

Vₘₐₓ = A × ω

حيث: نفس الرموز السابقة.

مثال عددي: A = 0.05 m، ω = 20 rad ÷ s → Vₘₐₓ = 1.0 m ÷ s.

---

التسارع الأقصى

aₘₐₓ = ω² × A

مثال عددي: ω = 20 rad ÷ s، A = 0.05 m → aₘₐₓ = 400 × 0.05 = 20 m ÷ s².

---

علاقة التوازن العمودي

k × x₀ = m × g

حيث:

شرط التطبيق: الزنبرك معلق عمودياً؛ عند التوازن يتساوى وزن الكتلة مع قوة استرجاع الزنبرك.

مثال عددي: m = 0.10 kg، k = 40 N ÷ m →
$x₀ = (0.10 × 9.8) ÷ 40 = 0.0245 m$.

---

زمن الانتقال من الطرف إلى المركز

t = T ÷ 4

حيث: T هي الفترة الكاملة.

مثال عددي: T = 0.314 s → t = 0.0785 s.

---

الخصائص العامة للبندول الزنبركي

البندول الزنبركي هو مثال كلاسيكي على الحركة التوافقية البسيطة (SHM). عندما تُعلق كتلة على زنبرك وتُسحب مسافة صغيرة من وضع التوازن ثم تُترك، فإنها تتذبذب حول نقطة التوازن بنمط دوري. في هذه الحالة، القوة الاسترجاعية تتناسب عكسياً مع الإزاحة (قانون هوك)، ما يجعل المعادلة التفاضلية للحركة تأخذ الشكل $m\ddot{x} + kx = 0$.

تتحدد الفترة للذبذبة بواسطة الكتلة وثابت الزنبرك فقط، وفق العلاقة $T = 2π√(m/k)$. وهذا يعني أن زيادة الكتلة تُطيل الفترة، بينما زيادة صلابة الزنبرك تُقصرها. لا تعتمد الفترة على السعة (الأمبلتود) ما دامت الإزاحة صغيرة بحيث يبقى الزنبرك في نطاق مرن خطي.

في الإعداد العمودي، يضيف وزن الكتلة إزاحة ثابتة $x₀ = mg/k$ إلى طول الزنبرك، لكن بعد حساب هذه الإزاحة يصبح النظام مماثلاً تماماً للنظام الأفقي من حيث القوة الاسترجاعية، وبالتالي فإن الفترة تبقى نفسها.

من الناحية الحركية، السرعة القصوى تحدث عند مركز الحركة وتساوي $Vₘₐₓ = Aω$، بينما التسارع الأقصى يحدث عند الطرفين ويعطى بـ $aₘₐₓ = ω²A$. لذا فإن سحب الكتلة بمسافة أكبر (زيادة السعة) لا يغيّر الفترة لكنه يزيد من السرعة والتسارع القصوى.

نقاط رئيسية

• الفترة لا تعتمد على السعة في الاهتزازات الصغيرة.
• الزنبرك العمودي يملك نفس الفترة كالزنبرك الأفقي بعد أخذ إزاحة التوازن في الاعتبار.
• السرعة القصوى تحدث في مركز الحركة؛ التسارع الأقصى يحدث عند الطرفين.
• ثابت الزنبرك يمكن قياسه من خلال علاقة $k = F ÷ x$ أو من خلال قياس الفترة.

تأثير الكتلة والسعة على الفترة (تحليل تجريبي)

في التجربة العملية، تم تعليق كيس من العملات على زنبرك وقياس الفترة لعدة قيم للكتلة (عدد العملات) وسعات مختلفة. النتائج أظهرت أن:

1. زيادة الكتلة أدت إلى زيادة ملحوظة في زمن الدورة (الفترة). وهذا يتفق مع العلاقة $T ∝ √m$.
2. زيادة السعة (سحب الكيس إلى أسفل قبل الإطلاق) لم تُظهر فرقاً واضحاً في الفترة، رغم أن السرعة في المركز ارتفعت. وهذا يثبت أن الفترة لا تعتمد على السعة في نطاق الإزاحات الصغيرة.

جدول مقارنة (مستخلص من التجربة)

يتضح من الجدول أن الكتلة هي المتغير الرئيسي الذي يحدد الفترة، بينما السعة لا تُحدث تغيراً ملحوظاً.

تطبيقات محلولة

مسألة 1

المعطى: كتلة $m = 0.10 kg$ على زنبرك ثابته $k = 40 N ÷ m$. سُحب الكتلة مسافة $A = 0.050 m$ من وضع التوازن ثم أُطلقت.

المطلوب: حساب (أ) السرعة القصوى (Vₘₐₓ) (ب) الزمن اللازم للوصول إلى نقطة التوازن لأول مرة.

الحل:

1. حساب التردد الزاوي: $\displaystyle ω = √(k ÷ m) = √(40 ÷ 0.10) = √400 = 20 rad ÷ s$.
2. السرعة القصوى: $Vₘₐₓ = A × ω = 0.050 × 20 = 1.0 m ÷ s$.
3. الفترة: $T = 2π √(m ÷ k) = 2π √(0.10 ÷ 40) ≈ 0.314 s$.
4. زمن الانتقال من الطرف إلى المركز: $t = T ÷ 4 ≈ 0.314 ÷ 4 = 0.0785 s$.

الإجابة: Vₘₐₓ = 1.0 m ÷ s، الوقت للوصول إلى نقطة التوازن ≈ 0.079 s.

---

مسألة 2

المعطى: زنبرك ثابته $k = 50 N ÷ m$ يحمل كتلة $m = 2.0 kg$. في الوضع الأفقي تم سحب الكتلة مسافة $A = 0.08 m$ ثم أُطلقت.

المطلوب: (أ) حساب الفترة (T) (ب) حساب السرعة القصوى (Vₘₐₓ) (ج) حساب التسارع الأقصى (aₘₐₓ).

الحل:

1. التردد الزاوي: $\displaystyle ω = √(k ÷ m) = √(50 ÷ 2.0) = √25 = 5 rad ÷ s$.
2. الفترة: $T = 2π ÷ ω = 2π ÷ 5 ≈ 1.257 s$. (أو باستخدام الصيغة التقليدية $2π √(m/k)$ تعطي نفس النتيجة).
3. السرعة القصوى: $Vₘₐₓ = A × ω = 0.08 × 5 = 0.40 m ÷ s$.
4. التسارع الأقصى: $aₘₐₓ = ω² × A = 5² × 0.08 = 25 × 0.08 = 2.0 m ÷ s²$.

الإجابة: T ≈ 1.26 s، Vₘₐₓ = 0.40 m ÷ s، aₘₐₓ = 2.0 m ÷ s².

أخطاء شائعة في الامتحان

1. خلط ثابت الزنبرك مع ثابت العطالة – يجب تمييز $k$ (N ÷ m) عن $I$ (kg·m²).
2. استخدام صيغة الفترة للبتلة البندولية $(T = 2π √(L/g))$ بدلاً من صيغة الزنبرك.
3. إهمال إزاحة التوازن العمودية عند حساب القوة الاسترجاعية؛ يجب أولاً حساب $x₀ = mg/k$.
4. الاعتقاد بأن الفترة تعتمد على السعة؛ في SHM الصغيرة لا تتأثر الفترة بالأمبلتود.

قائمة المراجعة السريعة

• [ ] احسب ثابت الزنبرك من تجربة قياس القوة والإزاحة.
• [ ] احسب التردد الزاوي $\omega = √(k ÷ m)$.
• [ ] احسب الفترة باستخدام $T = 2π √(m ÷ k)$.
• [ ] تحقق من أن $\omega = 2π ÷ T$.
• [ ] احسب إزاحة التوازن العمودية $x₀ = mg ÷ k$.
• [ ] احسب السرعة القصوى $Vₘₐₓ = A × ω$.
• [ ] احسب التسارع الأقصى $aₘₐₓ = ω² × A$.
• [ ] تأكد من أن الفترة لا تتغير بتغيير السعة (لإزاحات صغيرة).
• [ ] استخدم زمن الربع دورة $t = T ÷ 4$ لتحديد وقت الانتقال من الطرف إلى المركز.
• [ ] راجع الفروق بين الحركة الأفقية والعمودية للزنبرك.
• [ ] تحقق من وحدات جميع القيم قبل الإدخال في الصيغ.
• [ ] احرص على كتابة الإشارات السالبة في قانون القوة الاسترجاعية.

جميع معادلات الفصل دفعة واحدة

T = 2π √(m ÷ k)
F = –k × x
v = A × ω × cos(ωt)
a = –ω² × x
Vₘₐₓ = A × ω
aₘₐₓ = ω² × A
k × x₀ = m × g
t = T ÷ 4
ω = √(k ÷ m)

بالتوفيق في امتحاناتك!