باختصار
«قوانين كبلر والجاذبية الكونية» (الفصل 12) من منهج الفيزياء للصف الثاني الثانوي، الترم الأول. الملخص مقسّم لـ: أهداف التعلم، المصطلحات والتعريفات العلمية، القوانين والمعادلات الفيزيائية، كبلر وحركة الأقمار الصناعية، الجاذبية الكونية وتطبيقاتها.
أهداف التعلم
- يستطيع الطالب أن يصف ويطبق قوانين كبلر الثلاثة لحركة الكواكب والأقمار.
- يستطيع الطالب أن يفسر العلاقة بين نصف قطر المدار والزمن الدوري لكل من الكواكب والأقمار الصناعية.
- يستطيع الطالب أن يحسب القوة الجاذبية بين جسمين باستخدام قانون الجاذبية العام.
- يستطيع الطالب أن يستنتج سرعة المدار (v) من نصف القطر (r) والزمن الدوري (T).
- يستطيع الطالب أن يحدد شدة المجال الجاذبي (g) عند مسافة معينة من جسم كروي.
- يستطيع الطالب أن يميز بين المجال الجاذبي المتجانس (خطوط متوازية) والمجال الشعاعي (خطوط متقاربة).
المصطلحات والتعريفات العلمية
- القوة الجاذبية: القوة التي تجذب كل جسم له كلًّا من الأجسام الأخرى نحو مركزه. (الوحدة: نيوتن N)
- قانون الجاذبية العام: العلاقة التي تربط بين كتلتي جسمين والمسافة بينهما، وتُعطى بـ F = G × m₁ × m₂ ÷ r². (الوحدة: نيوتن N)
- الثابت العام للجاذبية (G): ثابت طبيعي قيمته 6.67 × 10⁻¹¹ ن·م²·كغ⁻². (الوحدة: نيوتن·م²·كغ⁻²)
- القوة المركزية (قوة الطرد المركزي): القوة التي تُبقي الجسم في مسار دائري وتُعطى بـ F_c = m × v² ÷ r. (الوحدة: نيوتن N)
- سرعة المدار (v): السرعة التي يتحرك بها القمر أو القمر الصناعي في مداره الدائري، وتُحسب بـ v = 2π × r ÷ T. (الوحدة: متر/ثانية m·ث⁻¹)
- الزمن الدوري (T): الوقت الذي يستغرقه القمر أو الكوكب لإكمال دورة واحدة حول مركزه. (الوحدة: ثانية s أو يوم d)
- نصف المحور الرئيسي (a): نصف طول المحور الأكبر للمدار الإهليلجي. (الوحدة: متر m أو وحدة فلكية AU)
- قانون كبلر الأول: كل كوكب يتحرك في مسار إهليلجي مع الشمس في أحد البؤلين.
- قانون كبلر الثاني: المتجه الشعاعي من الشمس إلى الكوكب يقطع مساحات متساوية في أزمنة متساوية؛ أي أن السرعة الزاوية تتغير بحيث يبقى حاصل الضرب r × v sinθ ثابتًا.
- قانون كبلر الثالث: نسبة مربع الزمن الدوري إلى مكعب نصف المحور الرئيسي ثابتة لجميع الأجسام التي تدور حول نفس المركز. (T² ÷ a³ = ثابت)
- حقل جاذبي: منطقة يُؤثر فيها جسم كتلته على أجسام أخرى بقوة جاذبية غير متلامسة.
- شدة الحقل الجاذبي (g): القوة الجاذبية التي يتعرض لها وحدة كتلة صغيرة موضوعة في نقطة معينة؛ تُعطى بـ g = G × M ÷ r². (الوحدة: نيوتن/كغ أو م·ث⁻²)
- خطوط الحقل الجاذبي: خطوط تخيّلية تُظهر اتجاه وشدة الحقل؛ تتقارب قرب الكتلة وتكون متوازية في حقل متجانس.
القوانين والمعادلات الفيزيائية
قانون الجاذبية العام
F = G × m₁ × m₂ ÷ r²
حيث:
| الرمز | المعنى | الوحدة SI |
|---|---|---|
| F | القوة الجاذبية | نيوتن (N) |
| G | ثابت الجاذبية العام | نيوتن·م²·كغ⁻² |
| m₁ | كتلة الجسم الأول | كيلوجرام (kg) |
| m₂ | كتلة الجسم الثاني | كيلوجرام (kg) |
| r | المسافة بين مركزي الكتلتين | متر (m) |
شرط التطبيق: يُطبق عندما يكون الفاصل بين المراكز كبيرًا مقارنة بأحجام الأجسام (يمكن اعتبارها نقاطًا).
مثال عددي: إذا كان m₁ = 5 kg، m₂ = 10 kg، والمسافة r = 2 m، فإن
F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 5 × 10 ÷ 2² ≈ 8.34 × 10⁻¹⁰ N.
معادلة القوة المركزية (قوة الطرد المركزي)
F_c = m × v² ÷ r
حيث:
| الرمز | المعنى | الوحدة SI |
|---|---|---|
| F_c | القوة المركزية | نيوتن (N) |
| m | كتلة القمر أو القمر الصناعي | كيلوجرام (kg) |
| v | السرعة المدارية | متر/ثانية (m·ث⁻¹) |
| r | نصف القطر المداري | متر (m) |
شرط التطبيق: تُستعمل عندما يتحرك الجسم في مسار دائري ثابت السرعة.
مثال عددي: إذا كان m = 100 kg، v = 7.8 m·ث⁻¹، r = 6.78 × 10⁶ m، فإن
F_c = 100 × 7.8² ÷ 6.78 × 10⁶ ≈ 9.0 × 10⁻⁴ N.
علاقة السرعة المدارية بالزمن الدوري
v = 2π × r ÷ T
حيث:
| الرمز | المعنى | الوحدة SI |
|---|---|---|
| v | السرعة المدارية | متر/ثانية (m·ث⁻¹) |
| r | نصف القطر المداري | متر (m) |
| T | الزمن الدوري | ثانية (s) |
| π | ثابت رياضي ≈ 3.1416 | — |
شرط التطبيق: صالحة للمدارات الدائرية.
مثال عددي: إذا كان r = 4.22 × 10⁷ m (مدار جيوستايشنري) وT = 86 400 s (يوم)، فإن
v = 2π × 4.22 × 10⁷ ÷ 86 400 ≈ 3.07 × 10³ m·ث⁻¹.
قانون كبلر الثالث (العلاقة العامة)
T² = (4π² ÷ G M) × r³
أو بصورة مختصرة: T² ∝ r³.
حيث:
| الرمز | المعنى | الوحدة SI |
|---|---|---|
| T | الزمن الدوري | ثانية (s) |
| r | نصف القطر (أو a) | متر (m) |
| M | كتلة الجسم المركزي | كيلوجرام (kg) |
| G | ثابت الجاذبية العام | نيوتن·م²·كغ⁻² |
| π | ثابت رياضي | — |
شرط التطبيق: صالحة للأجسام التي تدور حول نفس المركز في مدارات إهليلجية أو دائرية.
مثال عددي: لكوكب يدور حول الشمس بــ r = 1 AU = 1.50 × 10¹¹ m، وM_الشمس = 1.99 × 10³⁰ kg، نحسب
T² = (4π² ÷ (6.67 × 10⁻¹¹ × 1.99 × 10³⁰)) × (1.50 × 10¹¹)³ ≈ (3.16 × 10⁷)² → T ≈ 3.16 × 10⁷ s ≈ 1 سنة.
شدة الحقل الجاذبي
g = G × M ÷ r²
حيث:
| الرمز | المعنى | الوحدة SI |
|---|---|---|
| g | شدة الحقل الجاذبي | نيوتن/كغ (N·كغ⁻¹) أو م·ث⁻² |
| G | ثابت الجاذبية العام | نيوتن·م²·كغ⁻² |
| M | كتلة الجسم المركزي | كيلوجرام (kg) |
| r | المسافة من مركز الجسم | متر (m) |
شرط التطبيق: يُطبق على جسم كروي متماثل الشكل.
مثال عددي: على سطح الأرض (M = 5.97 × 10²⁴ kg، r = 6.37 × 10⁶ m) نحصل على
g = 6.67 × 10⁻¹¹ × 5.97 × 10²⁴ ÷ (6.37 × 10⁶)² ≈ 9.81 m·ث⁻².
قانون كبلر الأول (المدار الإهليلجي)
كل كوكب يتحرك في مسار إهليلجي مع الشمس في أحد البؤلين.
المصطلحات:
- المحور الرئيسي: الخط الذي يمر عبر البؤلين.
- نصف المحور الرئيسي (a): نصف طول المحور الأكبر للمدار.
قانون كبلر الثاني (مساحة متساوية)
المتجه الشعاعي من الشمس إلى الكوكب يقطع مساحات متساوية في أزمنة متساوية؛ أي أن r × v sinθ ثابت.
المصطلحات:
- θ: الزاوية بين المتجه الشعاعي (r) ومتجه السرعة (v).
كبلر وحركة الأقمار الصناعية
قوانين كبلر التي صاغها كبلر في القرن السابع عشر لا تزال أساسًا لفهم حركة الكواكب والأقمار. عندما رصد العلماء أن القمر الصناعي "نيل سات" يبدو ثابتًا فوق نقطة معينة من سطح الأرض، استنتجوا أن ذلك يحدث عندما يكون الزمن الدوري للقطعة يساوي زمن دوران الأرض (24 ساعة) ويقع القمر على ارتفاع جيوستايشنري يساوي تقريبًا 35 800 km فوق سطح الأرض.
شرح الفكرة
- القوة الجاذبية تسحب القمر نحو الأرض، بينما السرعة المدارية تدفعه إلى الأمام؛ النتيجة هي سقوط حر مستمر حول الأرض دون أن يقترب منها.
- عندما تكون سرعة القمر مناسبة بحيث تكون القوة المركزية مساوية للقوة الجاذبية، يبقى القمر في مدار ثابت.
- إذا كان نصف القطر للمدار كبيرًا جدًا، يصبح الزمن الدوري أطول من 24 ساعة؛ إذا كان أصغر، يصبح أقصر وتظهر القمر في السماء كقمر سريع الحركة.
علاقة نصف القطر بالزمن الدوري
من قانون كبلر الثالث نحصل على علاقة T² ∝ r³؛ لذا بزيادة نصف القطر بمقدار 2، يزداد الزمن الدوري بحوالي 2√2 ≈ 2.83 مرة.
الجاذبية الكونية وتطبيقاتها
قانون نيوتن للجاذبية يفسّر لماذا تتبع الأقمار الصناعية والكواكب نفس النمط في العلاقة بين r و T. التجربة العملية التي أُجريت على أقمار المشتري الأربعة (يوروبا، جانيميد، كاليستو) أظهرت أن النسبة T² ÷ r³ تقريبًا ثابتة، مما يدل على أن الكتلة المركزية (M) هي المتحكم الوحيد في هذه النسبة.
جدول بيانات أقمار المشتري (مستخلص من النص)
| القمر | نصف القطر r (×10⁶ m) | الزمن الدوري T (يوم) | T² ÷ r³ (قيمة تقريبية) |
|---|---|---|---|
| يوروبا | 6.71 | 3.55 | 3.55² ÷ 6.71³ ≈ 0.013 |
| جانيميد | 10.7 | 7.15 | 7.15² ÷ 10.7³ ≈ 0.013 |
| كاليستو | 18.8 | 16.7 | 16.7² ÷ 18.8³ ≈ 0.013 |
الملاحظة: القيم تقريبًا ثابتة، وهذا يثبت صحة قانون كبلر الثالث ويؤكد أن M (كتلة المشتري) هي التي تحدد الثابت.
تطبيقات محلولة
مسألة 1
المعطى: قمر صناعي يدور على ارتفاع 20 000 km فوق سطح الأرض (نصف القطر الكلي r = 6 370 km + 20 000 km = 26 370 km). احسب سرعته المدارية (v) والزمن الدوري (T).
الحل:
- تحويل r إلى متر: r = 26 370 km = 2.637 × 10⁷ m.
- استخدم علاقة السرعة: v = √(G × M_الأرض ÷ r)
- M_الأرض = 5.97 × 10²⁴ kg.
- v = √(6.67 × 10⁻¹¹ × 5.97 × 10²⁴ ÷ 2.637 × 10⁷) ≈ √(1.51 × 10⁷) ≈ 3 887 m·ث⁻¹.
- الزمن الدوري: T = 2π × r ÷ v = 2π × 2.637 × 10⁷ ÷ 3 887 ≈ 4.26 × 10⁴ s ≈ 11.8 ساعة.
الإجابة: السرعة ≈ 3.9 km·ث⁻¹، الزمن الدوري ≈ 11.8 ساعة.
مسألة 2
المعطى: كتلة كوكب يساوي 4 × كتلة الأرض، نصف القطر المداري لقمره هو 1.2 × 10⁸ m. احسب الزمن الدوري للقمر.
الحل:
- كتلة الكوكب M = 4 × 5.97 × 10²⁴ kg = 2.39 × 10²٥ kg.
- استخدم قانون كبلر الثالث: T² = (4π² ÷ G M) × r³.
- احسب r³ = (1.2 × 10⁸)³ = 1.728 × 10²⁴ m³.
- T² = (4π² ÷ (6.67 × 10⁻¹¹ × 2.39 × 10²⁵)) × 1.728 × 10²⁴
≈ (39.48 ÷ 1.595 × 10¹⁵) × 1.728 × 10²⁴ ≈ (2.47 × 10⁻¹⁴) × 1.728 × 10²⁴ ≈ 4.27 × 10¹⁰ s². - T = √(4.27 × 10¹⁰) ≈ 2.07 × 10⁵ s ≈ 57.5 ساعة ≈ 2.4 يوم.
الإجابة: الزمن الدوري ≈ 2.4 يوم.
أخطاء شائعة في الامتحان
- خلط بين نصف القطر (r) ونصف المحور الرئيسي (a): في القوانين الدائرية يُستعمل r، أما في القوانين الإهليلجية فـ a.
- نسيان مربع المسافة في قانون الجاذبية: يجب أن تكون القوة عكسية للـ r²، لا للـ r.
- استخدام وحدة غير صحيحة للثابت G: يجب كتابة G بوحدات نيوتن·م²·كغ⁻².
- إهمال عامل 2π عند حساب السرعة من الزمن الدوري: v = 2πr ÷ T، وليس v = r ÷ T.
قائمة المراجعة السريعة
- [ ] أستطيع كتابة قانون الجاذبية العام وتحديد كل رموزه.
- [ ] أستطيع توضيح معنى القوة المركزية وعلاقتها بالسرعة المدارية.
- [ ] أستطيع حساب السرعة المدارية باستخدام v = 2πr ÷ T.
- [ ] أستطيع استنتاج الزمن الدوري من نصف القطر باستخدام قانون كبلر الثالث.
- [ ] أعرف تعريف نصف المحور الرئيسي (a) وموقعه في المدار الإهليلجي.
- [ ] أستطيع شرح قانون كبلر الأول مع رسم تخيلي للمدار.
- [ ] أستطيع توضيح قانون كبلر الثاني (مساحة متساوية في زمن متساو).
- [ ] أستطيع تطبيق قانون كبلر الثالث على كوكب أو قمر صناعي.
- [ ] أستطيع حساب شدة الحقل الجاذبي (g) عند مسافة معينة.
- [ ] أعرف الفرق بين حقل جاذبي متجانس وحقل شعاعي.
- [ ] أستطيع تفسير لماذا يبقى القمر الصناعي جيوستايشنري ثابتًا فوق نقطة على الأرض.
- [ ] أستطيع مقارنة القيم T² ÷ r³ لأجسام مختلفة وتحديد ما إذا كانت تدور حول نفس المركز.
جميع معادلات الفصل دفعة واحدة
F = G × m₁ × m₂ ÷ r²
F_c = m × v² ÷ r
v = 2π × r ÷ T
T² = (4π² ÷ G M) × r³
g = G × M ÷ r²
r × v × sinθ = ثابت
T² ÷ a³ = ثابت
بالتوفيق في امتحاناتك!
الملخص ده مكتوب بالذكاء الاصطناعي من نص الفصل في الكتاب المدرسي، وآخر تحديث ليه كان 7 أكتوبر 2026. لقيت فيه غلطة؟ ابعتهالنا على واتساب ونصلّحها. إزاي بنكتب الملخصات.