ملخص الفيزياء تانية ثانوي، الترم الأول الحركة الدائرية: الأفقية والرأسية

أهداف التعلم

• يستطيع الطالب أن يحدد القوى المؤثرة في الحركة الدائرية الأفقية والرأسية.
• يستطيع الطالب أن يحلل حركة جسم في دائرة رأسية مع تغير السرعة على مدار المسار.
• يستطيع الطالب أن يحسب توتر الحبل (الشد) في مختلف مواضع الحركة الدائرية.
• يستطيع الطالب أن يستنتج الحد الأدنى للسرعة المطلوبة عند أعلى نقطة في دائرة رأسية.
• يستطيع الطالب أن يفسر تجربة الدلو المملوء بالماء ويبرهن على سبب بقاء الماء داخل الدلو.
• يستطيع الطالب أن يطبق معادلة البندول المخروطي لحساب السرعة والزاوية والمدة الزمنية.

---

المصطلحات والتعريفات العلمية

• الحركة الدائرية: حركة جسم يتبع مساراً دائرياً حول نقطة ثابتة. (الوحدة: –)
• الحركة الدائرية الأفقية: حركة جسم في دائرة مستوية أفقياً، بحيث لا يتغير ارتفاعه. (الوحدة: –)
• الحركة الدائرية الرأسية: حركة جسم في دائرة مستوية رأسية، يتغير ارتفاعه مع المسار. (الوحدة: –)
• القوة المركزية (القوة الجاذبة): القوة التي توجه نحو مركز المسار وتسبب تغير اتجاه السرعة. (الوحدة: نيوتن N)
• الشد (Tension): القوة التي يطبقها الحبل على الجسم، ولا يمكن أن تكون سلبية (الحبل لا يدفع). (الوحدة: نيوتن N)
• الوزن (Weight): القوة الناتجة عن الجاذبية وتساوي كتلة الجسم مضروبة في تسارع الجاذبية. (الوحدة: نيوتن N)
• السرعة الزاوية (Angular speed): معدل تغير الزاوية مع الزمن. (الوحدة: راديان/ثانية rad·s⁻¹)
• الزاوية θ: الزاوية التي يصنعها الحبل مع الاتجاه العمودي في البندول المخروطي. (الوحدة: درجة أو راديان)

---

القوانين والمعادلات الفيزيائية

قانون القوة المركزية

F = m × v² ÷ r

حيث:

شرط التطبيق: يُطبق عندما يتحرك الجسم في مسار دائري ثابت أو متغير، ويجب أن تكون السرعة موجهة موازية للمسار.

مثال عددي: إذا كان m = 2 kg، r = 0.5 m، v = 4 m·s⁻¹، فإن F = 2 × 4² ÷ 0.5 = 64 N.

---

قانون الوزن

W = m × g

حيث:

شرط التطبيق: يُستخدم دائمًا لتحديد القوة الناتجة عن الجاذبية على جسم ثابت أو متحرك.

مثال عددي: m = 0.3 kg → W = 0.3 × 9.81 ≈ 2.94 N.

---

مكوّنات الشد في البندول المخروطي

T sinθ = m × v² ÷ r
T cosθ = m × g

حيث:

شرط التطبيق: يُطبق عندما يتحرك جسم على مسار دائري أفقي ثابت، بحيث لا يتحرك في الاتجاه العمودي (توازن عمودي).

مثال عددي: m = 0.5 kg، r = 0.8 m، θ = 30° → T sin30° = 0.5 × v² ÷ 0.8 → T cos30° = 0.5 × 9.81. بحل المعادلتين نحصل على T ≈ 6.0 N و v ≈ 2.5 m·s⁻¹.

---

علاقة الزاوية للباندول المخروطي

tanθ = v² ÷ (r × g)

حيث:

شرط التطبيق: يُستنتج من قسمة معادلة الشد الأفقي على العمودي في البندول المخروطي.

مثال عددي: إذا كان r = 0.6 m، v = 3 m·s⁻¹، g = 9.81 m·s⁻² → tanθ = 9 ÷ (0.6 × 9.81) ≈ 1.52 → θ ≈ 56°.

---

السرعة الدنيا في الحركة الدائرية الرأسية

v_min = √(g × r)

حيث:

شرط التطبيق: يُطبق عندما يكون الشد في الحبل يساوي صفرًا عند أعلى نقطة، أي أن الوزن وحده يوفّر القوة المركزية المطلوبة.

مثال عددي: r = 0.8 m → v_min = √(9.81 × 0.8) ≈ √7.848 ≈ 2.80 m·s⁻¹.

---

علاقة السرعة في البندول المخروطي السطحي

v² = g × r × tanθ

حيث:

شرط التطبيق: يُطبق عندما يتحرك جسم على سطح مخروطي أملس، بحيث تكون القوة الناتجة عن التلامس (القوة العمودية) مكوّنة من وزن الجسم ومكوّن أفقي يقدّم القوة المركزية.

مثال عددي: r = 0.5 m، θ = 45° → tanθ = 1 → v² = 9.81 × 0.5 × 1 = 4.905 → v ≈ 2.21 m·s⁻¹.

---

الحركة الدائرية الرأسية

تُعَدُّ الحركة الدائرية الرأسية من الظواهر التي تُظهر تداخل الوزن والشد لتوفير القوة المركزية المطلوبة. عند أعلى نقطة من الدائرة، يتجه كل من الوزن (W) والشد (T) نحو مركز المسار، وبالتالي يصبح مجموعهما هو القوة المركزية المطلوبة:

$$T + W = m \frac{v^{2}}{r}$$

عند الحد الأدنى للسرعة يصبح الشد صفرًا (T = 0) ويُعتمد الوزن فقط لتوفير القوة المركزية، ما يُعطي معادلة السرعة الدنيا $v_{\min } = \sqrt{g r}$. إذا انخفضت السرعة عن هذا الحد، يصبح الشد سالبًا (مستحيل في الواقع) فتفقد الحبل توتراً وتفقد الماء القدرة على البقاء داخل الدلو، فينسكب.

تجربة الدلو المملوء بالماء توضح ذلك بوضوح: عندما تُحرك الدلو بسرعة كافية، يبقى الماء داخل الدلو لأن القاعدة الفيزيائية تقول إن كل جسم يسعى إلى الاستمرار في حركته المستقيمة (قانون القصور الذاتي). الشد في الحبل يخلق قوة مركزية تُسحب الماء إلى داخل الدلو، بينما الوزن يضيف إلى هذه القوة في أعلى نقطة. عندما تُقلل السرعة، يقل مقدار القوة المركزية المتوفرة، وعند نقطة معينة لا تكفي لتغلب على وزن الماء، فينتقل إلى الخارج.

ملخص النقاط الأساسية:

• السرعة في الدائرة الرأسية غير ثابتة؛ أكبر عند الأسفل، أصغر عند الأعلى.
• الشد أقل عند الأعلى (قد يصبح صفرًا) وأعلى عند الأسفل.
• الحد الأدنى للسرعة عند الأعلى هو $v_{\min } = \sqrt{g r}$.
• إذا كان $v < v_{\min }$ فإن الشد يصبح سالبًا، فيحدث ارتخاء الحبل ويسرب الماء.

---

البندول المخروطي (الحركة الدائرية الأفقية)

في البندول المخروطي يتحرك جسم على مسار دائري أفقي بينما يظل الحبل مائلًا بزاوية ثابتة $\theta$ مع العمودي. القوى المؤثرة هي الوزن $W = mg$ المتجه إلى الأسفل، والشد $T$ المكوّن من جزأين:

• المكوّن العمودي: $T \cos\theta$ يوازن الوزن، لذا $T \cos\theta = mg$.
• المكوّن الأفقي: $T \sin\theta$ هو القوة المركزية المطلوبة لتدوير الجسم، لذا $T \sin\theta = m v^{2} / r$.

من القسمة نحصل على علاقة الزاوية: $\tan\theta = v^{2} / (r g)$ أو ما يعادلها $v^{2} = g r \tan\theta$.

خصائص الحركة:

• السرعة ثابتة (حركة دائرية منتظمة).
• نصف القطر الأفقي $r = l \sin\theta$ حيث $l$ هو طول الحبل.
• الفترة الزمنية للدورة $T_{\text{period}} = 2\pi r / v$.

تطبيق عملي: إذا عُرف طول الحبل $\ell$ والزاوية $\theta$، يمكن حساب نصف القطر، ثم السرعة باستخدام العلاقة السابقة، وأخيرًا الفترة الزمنية.

---

تطبيقات محلولة

مسألة 1 – الحد الأدنى للسرعة في دائرة رأسية

المعطيات: نصف القطر $r = 0.80$ m، تسارع الجاذبية $g = 9.81$ m·s⁻².

المطلوب: حساب الحد الأدنى للسرعة عند أعلى نقطة لتبقى الماء داخل الدلو.

الحل:

$$v_{\min } = \sqrt{g \times r}= \sqrt{9.81 \times 0.80}= \sqrt{7.848}= 2.80\ \text{m·s}^{-1}$$

الإجابة: الحد الأدنى للسرعة هو $2.80$ m·s⁻¹.

---

مسألة 2 – البندول المخروطي

المعطيات: كتلة الجسم $m = 0.50$ kg، طول الحبل $\ell = 1.20$ m، الزاوية $\theta = 30^{\circ}$.

المطلوب: حساب السرعة الخطية $v$ وفترة الدورة $T_{\text{period}}$.

الحل:

1. حساب نصف القطر الأفقي:

$$r = \ell \sin\theta = 1.20 \times \sin30^{\circ}=1.20 \times 0.5 = 0.60\ \text{m}$$

2. استعمال علاقة الزاوية:

$$\tan\theta = \frac{v^{2}}{r g};\Rightarrow; v^{2}= r g \tan\theta$$

$$\tan30^{\circ}=0.577;\Rightarrow; v^{2}=0.60 \times 9.81 \times 0.577 \approx 3.40$$

$$v = \sqrt{3.40}\approx 1.84\ \text{m·s}^{-1}$$

3. حساب الفترة الزمنية:

$$T_{\text{period}} = \frac{2\pi r}{v}= \frac{2\pi \times 0.60}{1.84}\approx \frac{3.77}{1.84}\approx 2.05\ \text{s}$$

الإجابات: السرعة $v \approx 1.84$ m·s⁻¹، وفترة الدورة $T_{\text{period}} \approx 2.05$ s.

---

أخطاء شائعة في الامتحان

1. خلط اتجاه الوزن مع الاتجاه المركزي – في أعلى نقطة من الدائرة الرأسية، الوزن يتجه إلى الأسفل (نفس اتجاه المركز)، وليس عكسه.
2. اعتبار الشد هو الوحيد الذي يوفر القوة المركزية – عند الحد الأدنى للسرعة يصبح الشد صفرًا ويعتمد الوزن فقط.
3. استخدام نصف القطر الخاطئ في البندول المخروطي – يجب أخذ نصف القطر الأفقي $r = \ell \sin\theta$، لا طول الحبل بالكامل.
4. إهمال أن الشد لا يمكن أن يكون سالبًا – إذا حسبت قيمة سلبية للشد فهذا يعني أن الحالة غير ممكنة (الحبل ارتخى).

---

قائمة المراجعة السريعة

• [ ] تحديد ما إذا كانت الحركة أفقية أم رأسية.
• [ ] رسم مخطط القوى (الوزن، الشد، القوة المركزية).
• [ ] كتابة معادلة القوة المركزية $F = m v^{2} / r$.
• [ ] حساب الوزن $W = m g$.
• [ ] في البندول المخروطي: كتابة معادلتين $T \sin\theta$ و$T \cos\theta$.
• [ ] استخراج علاقة $\tan\theta = v^{2} / (r g)$.
• [ ] حساب نصف القطر الأفقي $r = \ell \sin\theta$.
• [ ] حساب السرعة من العلاقة $v^{2} = g r \tan\theta$.
• [ ] حساب الحد الأدنى للسرعة في دائرة رأسية $v_{\min } = \sqrt{g r}$.
• [ ] التحقق من أن الشد لا يصبح سالبًا.
• [ ] حساب الفترة الزمنية للدورة $T = 2\pi r / v$.
• [ ] مراجعة الوحدات لكل قيمة (kg, N, m·s⁻¹ …).
• [ ] التأكد من أن جميع القيم تُستبدل بالقيم المعطاة قبل الحساب.

---

جميع معادلات الفصل دفعة واحدة

F = m × v² ÷ r
W = m × g
T sinθ = m × v² ÷ r
T cosθ = m × g
tanθ = v² ÷ (r × g)
v_min = √(g × r)
v² = g × r × tanθ

بالتوفيق في امتحاناتك!