ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم التاني القيمة المتوقعة والتباين لعدة متغيرات

أهداف التعلم

1. تعريف المتغيّر العشوائي وتحديد قيمته المتوقعة (E).
2. تطبيق خاصية الخطية على مجموع متغيّرات عشوائية (E(X+Y)=E(X)+E(Y)).
3. حساب القيمة المتوقعة لتوليفة خطية من المتغيّرات (E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)).
4. تعريف الاستقلال المتبادل بين متغيّرين عشوائيين واستخدامه لحساب E(XY).
5. معرفة شرط جمع التباينات (Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) عندما تكون المتغيّرات مستقلة).
6. حل مسائل تطبيقية تتضمن عملات، نرد، وصناديق كرات باستخدام القواعد السابقة.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• المتغيّر العشوائي (Random Variable): دالة تُعطي قيمة عددية لكل نتيجة محتملة لتجربة عشوائية.
• القيمة المتوقعة (Expected Value): متوسط القيم التي يتوقع أن يحصل عليها المتغيّر العشوائي على عدد لا نهائي من التجارب. يرمز لها بـ E(·).
• الخطية في التوقع: إذا كان X و Y متغيّرين عشوائيين، فإن
  E(X + Y) = E(X) + E(Y).
  للثلاثة متغيّرات أو أكثر: E(X₁ + X₂ + … + Xₙ) = E(X₁)+E(X₂)+…+E(Xₙ).
• التوليفة الخطية: إذا كان a و b ثابتين غير صفريين، فإن
  E(aX + bY) = a·E(X) + b·E(Y).
• الاستقلال المتبادل (Mutual Independence): المتغيّرين X و Y مستقلان إذا تحقق لكل قيم a و b:
  P(X = a , Y = b) = P(X = a) × P(Y = b).
• قيمة التباين (Variance): مقياس لتشتت القيم حول القيمة المتوقعة. عندما تكون X و Y مستقلين، فإن
  Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).

---

القوانين والنظريات والقواعد

1. خاصية الخطية للقيمة المتوقعة للمجموع

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

شرط التطبيق: X و Y أي متغيّرين عشوائيين (لا يلزم الاستقلال).
ملاحظة: تسهّل الحسابات لأن حساب كل قيمة متوقعة منفردة أبسط من حساب قيمة المتوقعة للمجموع مباشرةً.

2. خاصية الخطية للمجموع لثلاثة متغيّرات أو أكثر

E(X₁ + X₂ + … + Xₙ) = Σ E(Xᵢ)   (i = 1 … n)

شرط التطبيق: لا شرط للاستقلال.
ملاحظة: يمكن توسيعها لأي عدد من المتغيّرات.

3. التوقع لتوليفة خطية (aX + bY)

E(aX + bY) = a·E(X) + b·E(Y)

شرط التطبيق: a و b ثابتان غير صفريين؛ X و Y متغيّران عشوائيان.
ملاحظة: إذا كان a أو b سالبًا، تُؤخذ الإشارة في الحساب.

4. تعريف الاستقلال المتبادل

P(X = a , Y = b) = P(X = a) × P(Y = b)   لكل a , b

شرط التطبيق: يجب أن تكون التجربتين (أو أكثر) غير مترابطة تمامًا.
ملاحظة: الاستقلال يضمن عدم تأثير نتيجة أحد المتغيّرين على الآخر.

5. قيمة المتوقعة لمنتج متغيّرين مستقلين

E(XY) = E(X) × E(Y)   إذا كان X و Y مستقلين

شرط التطبيق: X و Y مستقلان وفق التعريف السابق.
ملاحظة: إذا لم يكن الاستقلال متحققًا، لا يمكن استعمال هذه الصيغة.

6. جمع التباينات للمتغيّرات المستقلة

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)   إذا كان X و Y مستقلين

شرط التطبيق: الاستقلال المتبادل بين X و Y.
ملاحظة: إذا كان هناك ارتباط (Covariance ≠ 0) تُضاف حدّ الـ Covariance.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – حساب E(X+Y) من جداول التوزيع

المعطى:

(القيم الفعلية للاحتمالات غير مذكورة؛ نفترض أن الاحتمالات موزعة بالتساوي داخل كل جدول).

الحل:

1. حساب E(X):
   E(X) = (5 + 10 + 20) / 3 = 35 ÷ 3 ≈ 11.67.
2. حساب E(Y):
   E(Y) = (3 + 6) / 2 = 9 ÷ 2 = 4.5.
3. باستخدام خاصية الخطية:
   E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 11.67 + 4.5 = 16.17.

النتيجة: القيمة المتوقعة للمجموع X+Y هي تقريبًا 16.17.

---

مثال 2 – ثلاثة نردات (X, Y, Z)

المعطى: رمي نرد كبير، نرد متوسط، ونرد صغير مرة واحدة كلٌّ. القيم الممكنة لكل نرد هي {1,…,6} باحتمال متساوٍ.

المطلوب: إيجاد E(X + Y + Z).

الحل:

1. لكل نرد: E(N) = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 21 ÷ 6 = 3.5.
2. بما أن المتغيّرات مستقلة، يمكن جمع القيم المتوقعة:
   E(X + Y + Z) = E(X) + E(Y) + E(Z) = 3·3.5 = 10.5.

النتيجة: القيمة المتوقعة لمجموع الأعداد على النردات الثلاث هي 10.5.

---

مثال 3 – لعبة النقود ذات القيم 500 و 100 نقطة

المعطى: تُقذف عملتان قيمتهما 500 نقطة وعملتان قيمتهما 100 نقطة. كل عملة لها احتمال ½ للظهور على "وجه".

• X = عدد العملات ذات الـ500 نقطة التي تظهر على الوجه.
• Y = عدد العملات ذات الـ100 نقطة التي تظهر على الوجه.
• Z = مجموع النقاط التي تظهر على الوجه = 500·X + 100·Y.

المطلوب: حساب E(Z).

الحل:

1. لكل عملة ذات 500 نقطة:
   E(مظهر الوجه) = 1 × ½ + 0 × ½ = ½.
   بما أن هناك عملتين، فإن E(X) = 2 × ½ = 1.
2. لكل عملة ذات 100 نقطة:
   E(مظهر الوجه) = ½.
   مع عملتين، E(Y) = 2 × ½ = 1.
3. باستخدام خاصية الخطية لتوليفة خطية:
   E(Z) = 500·E(X) + 100·E(Y) = 500·1 + 100·1 = 600.

النتيجة: القيمة المتوقعة للنقاط الكلية Z هي 600 نقطة.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط بين الاستقلال والعدم الارتباط: وجود Covariance = 0 لا يعني استقلالًا؛ لا يجوز استعمال E(XY)=E(X)E(Y) إلا إذا كان المتغيّران مستقلين تمامًا.
• نسيان ضرب الثوابت في خاصية الخطية: عند حساب E(aX+bY) يجب ضرب الثابت a أو b بالقيمة المتوقعة للمتغيّر، لا تُجمع الثوابت مع القيم المتوقعة مباشرة.
• استخدام جدول احتمالات غير مكتمل: يجب التأكد من أن مجموع احتمالات كل جدول يساوي 1 قبل حساب القيمة المتوقعة.
• إهمال شرط الاستقلال عند جمع التباينات: إذا كان المتغيّران غير مستقلين، يجب إضافة حد الـ Covariance: Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2·Cov(X,Y).
• خطأ في حساب المتوسط للمتغيّر المتعدد القيم: لا تُحسب المتوسط عبر جمع القيم فقط؛ يجب ضرب كل قيمة في احتمالها ثم جمع النتائج.

---

قائمة المراجعة (Checklist)

1. هل عرفت تعريف المتغيّر العشوائي؟
2. هل حسبت قيمة متوقعة لكل متغيّر باستخدام جدول الاحتمالات (قيمة × احتمال)؟
3. هل تأكدت أن مجموع الاحتمالات يساوي 1؟
4. هل طبقت خاصية الخطية للمجموع E(X+Y)=E(X)+E(Y)؟
5. هل استخدمت الصيغة العامة للمجموع لثلاثة متغيّرات أو أكثر إذا لزم الأمر؟
6. هل حددت إذا ما كانت المتغيّرات مستقلة أم لا؟
7. إذا كانت مستقلة، هل استخدمت E(XY)=E(X)E(Y) لحساب قيمة المتوقعة للمنتج؟
8. هل طبقت E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) عندما يكون هناك ثوابت؟
9. هل تذكرت شرط جمع التباينات (الاستقلال) قبل استعمال Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)؟
10. هل راجعت جميع الجداول لتجنب الأخطاء الحسابية؟
11. هل قمت بتبسيط النتائج النهائية إلى أعداد عشرية أو كسور مبسطة حسب الحاجة؟
12. هل راعيت الوحدات (نقطة، عملة، عدد كرات) في كل خطوة؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(X₁ + X₂ + … + Xₙ) = Σ E(Xᵢ)
E(aX + bY) = a·E(X) + b·E(Y)
P(X = a , Y = b) = P(X = a) × P(Y = b)   (استقلال)
E(XY) = E(X) × E(Y)   (إذا كان X و Y مستقلين)
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)   (إذا كان X و Y مستقلين)

---

بالتوفيق في امتحاناتك!