ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم التاني التكامل: التكامل المحدد وتطبيقاته

أهداف التعلم

1. التعرف على التكامل غير المحدد كعملية عكسية للتفاضل وتحديد مفهوم الدالة الأصلية (primitive).
2. إجادة حساب التكامل غير المحدد للتابعات الجبرية البسيطة مع إضافة ثابت التكامل ‎$C$‎.
3. استخدام قاعدة الجمع والطرح والعامل الثابت لتبسيط عمليات التكامل.
4. استنتاج دالة من مشتقتها أو من معدل تغيرها (gradient) للخط المماس عند نقطة معينة.
5. فهم تعريف التكامل المحدد وربطه بـ نظرية الفاصل الأساسي (Fundamental Theorem of Calculus).
6. تطبيق خصائص التكامل المحدد (تبديل الحدود، جمع الحدود المتساوية، عامل ثابت) لحساب القيم العددية بسرعة.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

---

القوانين والنظريات والقواعد

1. تعريف التكامل غير المحدد

∫ f(x) dx = F(x) + C   حيث   F'(x) = f(x)

شرط التطبيق: يجب أن تكون ‎$f(x)$‎ قابلة للتكامل (متصلة على المجال المعني).
ملاحظة: لا يُذكر ‎$C$‎ في النصوص اللاحقة إلا عند الحاجة لتحديد قيمة عددية.

2. قاعدة الجمع

∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

شرط التطبيق: كلا الدالتين ‎$f$‎ و ‎$g$‎ يجب أن تكونا متصلتين على نفس المجال.

3. قاعدة الطرح

∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx

شرط التطبيق: كما في قاعدة الجمع.

4. قاعدة العامل الثابت

∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx   (k ثابت)

شرط التطبيق: ‎$k$‎ عدد ثابت لا يعتمد على ‎$x$‎.

5. خاصية تبديل حدود التكامل

∫_{a}^{b} f(x) dx = –∫_{b}^{a} f(x) dx

شرط التطبيق: لا يلزم أي شرط إضافي؛ تُطبق على أي دالة قابلة للتكامل.

6. خاصية الجمع عندما تكون الحدود متساوية

∫_{a}^{a} f(x) dx = 0

شرط التطبيق: صحيحة لأي ‎$f$‎ قابلة للتكامل.

7. خاصية الجمع المتتالية (خاصية (ii) في النص)

∫_{a}^{c} f(x) dx = ∫_{a}^{b} f(x) dx + ∫_{b}^{c} f(x) dx

شرط التطبيق: ‎$a ≤ b ≤ c$‎ ويجب أن تكون ‎$f$‎ متصلة على $[a,c]$.

8. قاعدة تحويل العامل إلى 1 (خاصية (i) في النص)

∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx

ملاحظة: تُستعمل لتسهيل حساب التكامل عندما يكون معامل ‎$x$‎ غير 1.

9. تعريف التكامل المحدد (نظرية الفاصل الأساسي)

∫_{a}^{b} f(x) dx = F(b) – F(a)   حيث   F'(x)=f(x)

شرط التطبيق: ‎$f$‎ مستمرة على $[a,b]$.

10. حساب الدالة من المشتقة (أو من معدل المماس)

F(x) = ∫ F'(x) dx + C

بعد إيجاد ‎$F(x)$‎ يُستبدل الشرط (نقطة تمرّ بها) لتحديد ‎$C$‎.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: حساب التكامل غير المحدد ‎$\displaystyle \int x ,dx$‎.

الحل:

1. نعرف أن ‎$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=x$‎.
2. إذن ‎$\displaystyle \int x ,dx = \frac{x^{2}}{2} + C$‎.

النتيجة: ‎$\displaystyle \int x ,dx = \frac{x^{2}}{2}+C$‎.

---

مثال 2 – متوسط

المطلوب: إيجاد الدالة ‎$F(x)$‎ التي تحقق ‎$F'(x)=3x^{2}+8x-1$‎ مع الشرط ‎$F(1)=7$‎.

الحل:

1. نكامل الطرف الأيمن:

$$\int (3x^{2}+8x-1),dx = 3\int x^{2}dx + 8\int x,dx - \int 1,dx$$

$$= 3\left(\frac{x^{3}}{3}\right) + 8\left(\frac{x^{2}}{2}\right) - x + C = x^{3} + 4x^{2} - x + C$$

2. نضع الشرط ‎$F(1)=7$:

$$1^{3}+4(1)^{2}-1 + C = 7 ;\Longrightarrow; 1+4-1 + C = 7 ;\Longrightarrow; C = 3$$

3. إذن ‎$F(x)=x^{3}+4x^{2}-x+3$‎.

النتيجة: ‎$F(x)=x^{3}+4x^{2}-x+3$‎.

---

مثال 3 – صعب

المطلوب: حساب التكامل المحدد ‎$\displaystyle \int_{0}^{2} (3x^{3}-4x),dx$‎ باستخدام خصائص التكامل.

الحل:

1. نطبق خاصية الجمع:

$$\int_{0}^{2} (3x^{3}-4x),dx = 3\int_{0}^{2} x^{3},dx - 4\int_{0}^{2} x,dx$$

2. نحسب كل تكامل على حدة (باستخدام قاعدة القوة):

$$\int x^{3},dx = \frac{x^{4}}{4} + C \quad\Rightarrow\quad \int_{0}^{2} x^{3},dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2}= \frac{2^{4}}{4}-0 = \frac{16}{4}=4$$

$$\int x,dx = \frac{x^{2}}{2}+C \quad\Rightarrow\quad \int_{0}^{2} x,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}= \frac{2^{2}}{2}-0 = \frac{4}{2}=2$$

3. نجمع النتائج مع الأخذ في الاعتبار العوامل الثابتة:

$$3\cdot 4 - 4\cdot 2 = 12 - 8 = 4$$

النتيجة: ‎$\displaystyle \int_{0}^{2} (3x^{3}-4x),dx = 4$‎.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان ثابت التكامل ‎$C$‎ في التكامل غير المحدد؛ يؤدي إلى فقدان حلول محتملة عند حل معادلات تفاضلية.
• خلط حدود التكامل عند حساب التكامل المحدد؛ إذا تم كتابة الحد العلوي بدلاً من السفلي سيُعطى الناتج سالباً.
• عدم تطبيق خاصية تبديل الحدود بصورة صحيحة؛ تذكر أن تبديل الحدود يغيّر الإشارة.
• استخدام قاعدة القوة على دوال غير قابلة للتكامل (مثل ‎$1/x$‎) دون تحويلها إلى صيغة مناسبة (مثلاً ‎$\ln|x|$‎).
• إهمال شرط الاستمرارية عند تطبيق نظرية الفاصل الأساسي؛ إذا كانت ‎$f$‎ غير مستمرة على $[a,b]$ قد لا تكون الصيغة ‎$F(b)-F(a)$‎ صالحة.
• الخطأ في حساب ثابت ‎$C$‎ عند إعطاء شرط نقطة؛ يجب استبدال ‎$x$‎ بالقيمة المحددة ثم حل المعادلة بدقة.

---

قائمة المراجعة

1. هل عرفت تعريف التكامل غير المحدد والدالة الأصلية؟
2. هل تذكر أن كل نتيجة تكامل غير محدد تُضاف إليها ‎$C$‎؟
3. هل تستطيع تطبيق قاعدة الجمع والطرح على تكاملات مركبة؟
4. هل تعرف كيفية استخراج عامل ثابت من داخل التكامل؟
5. هل تتقن خاصية تبديل حدود التكامل وتغيير الإشارة؟
6. هل تتذكر أن التكامل المحدد من ‎$a$‎ إلى ‎$a$‎ يساوي صفرًا؟
7. هل تستطيع تقسيم تكامل محدد إلى جزئين باستخدام خاصية (ii)؟
8. هل تعرف كيفية حساب ‎$F(b)-F(a)$‎ باستخدام نظرية الفاصل الأساسي؟
9. هل تستطيع إيجاد دالة من مشتقتها مع شرط نقطة معينة؟
10. هل تستطيع تحويل معدل المماس (gradient) إلى دالة أصلية؟
11. هل تتأكد من استمرارية ‎$f$‎ قبل استعمال نظرية الفاصل الأساسي؟
12. هل تتحقق من صحة الوحدات (الزمن، الجرعة، …) عند تطبيق التكامل في مسائل تطبيقية؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

∫ f(x) dx = F(x) + C                     (تعريف التكامل غير المحدد)
∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx
∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx                (k ثابت)
∫_{a}^{b} f(x) dx = –∫_{b}^{a} f(x) dx   (تبديل الحدود)
∫_{a}^{a} f(x) dx = 0                     (حدود متساوية)
∫_{a}^{c} f(x) dx = ∫_{a}^{b} f(x) dx + ∫_{b}^{c} f(x) dx
∫_{a}^{b} f(x) dx = F(b) – F(a)          (نظرية الفاصل الأساسي)
F(x) = ∫ F'(x) dx + C                     (إيجاد الدالة من مشتقتها)

---

بالتوفيق في امتحاناتك!