ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم التاني تطبيقات التكامل في الهندسة

أهداف التعلم

1. استيعاب مفهوم التكامل المحدد واستخدامه لحساب مساحات المناطق المغلقة.
2. معرفة الصيغة العامة لحساب مساحة المنطقة الواقعة بين منحنى ومحور السينات.
3. معرفة الصيغة العامة لحساب مساحة المنطقة الواقعة بين منحنيين أو بين منحنى وخط مستقيم.
4. القدرة على تحديد حدود التكامل من خلال إيجاد نقاط التقاطع أو نقاط الصفر للمنحنيات.
5. التمييز بين الحالات التي تكون فيها الدالة فوق أو تحت محور السينات وتطبيق الإشارة المناسبة.
6. تطبيق هذه القواعد على مسائل هندسية واقعية (تصميم واجهات زجاجية، جدران احتجاز، مسارات تصريف).

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• التكامل المحدد: قيمة عددية تُعطى بالرمز ∫ₐᵇ f(x) dx تمثل المساحة الموقعة تحت منحنى y = f(x) بين x = a و x = b مع اعتبار الإشارة.

• منطقة محصورة: مجموعة من النقاط في المستوى تُحدَّد بحدود من منحنيات (مثل y = f(x)، y = g(x)) وخطوط عمودية (x = a، x = b) أو بمحور السينات.

• نقطة تقاطع: قيمة x تجعل قيمتين للمنحنى متساويتين، أي حل المعادلة f(x)=g(x) أو f(x)=0.

• المنحنى فوق/تحت محور السينات: إذا كان f(x) ≥ 0 على الفترة [a,b] فإن المنطقة تقع فوق المحور؛ إذا كان f(x) ≤ 0 فإنها تقع تحته ويُؤخذ السالب في حساب المساحة.

• المنطقة بين منحنيين: إذا كان f(x) أعلى من g(x) على الفترة [a,b] فإن المساحة تُعطى بـ ∫ₐᵇ (f(x)‑g(x)) dx.

---

القوانين والنظريات والقواعد

قانون مساحة المنطقة تحت منحنى y = f(x)

إذا كان f(x) ≥ 0 على a ≤ x ≤ b فإن
S = ∫ₐᵇ f(x) dx

شرط التطبيق: f(x) لا تغير إشارته داخل الفترة.
ملاحظة: إذا كان f(x) ≤ 0 فإن S = –∫ₐᵇ f(x) dx.

قانون مساحة المنطقة بين منحنيين y = f(x) و y = g(x)

إذا كان f(x) ≥ g(x) على a ≤ x ≤ b فإن
S = ∫ₐᵇ (f(x) – g(x)) dx

شرط التطبيق: يجب رسم المنحنى لتحديد أي منهما أعلى.
ملاحظة: إذا تغير الترتيب داخل الفترة يجب تقسيم التكامل إلى أجزاء حيث يكون الترتيب ثابتاً.

قاعدة إيجاد حدود التكامل من نقاط الصفر أو التقاطع

حل المعادلة f(x) = 0 لإيجاد نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات.
حل المعادلة f(x) = g(x) لإيجاد نقاط تقاطع المنحنيين.

شرط التطبيق: يجب اختيار القيم التي تُحدِّد المنطقة المطلوبة فقط.

قاعدة التحقق من الإشارة (أعلى أو أسفل)

ارسم المخطط أو استخدم اختبار قيمة (مثلاً x = (a+b)/2) لتحديد ما إذا كانت الدالة موجبة أو سالبة.

شرط التطبيق: لا تُحسب المساحة مباشرةً قبل التأكد من الإشارة.

قاعدة التعامل مع الدوال المطلقة

إذا كانت المنطقة تشمل جزءاً من الدالة السالبة، استعمل |f(x)| أو ضع إشارة سالب أمام التكامل.

ملاحظة: نادراً ما تُستعمل الدوال المطلقة في النص الأصلي، لكن الفكرة تُستنتج من الحاجة إلى إشارة سالبة.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المسألة: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين القطع المكافئ y = 2x² + 1، محور السينات، والخطين x = ‑2 و x = 1.

الحل:

1. نلاحظ أن y = 2x² + 1 ≥ 1 > 0 على الفترة [‑2, 1]، إذًا الدالة فوق المحور.
2. نكتب صيغة المساحة:
   S = ∫₋₂¹ (2x² + 1) dx.
3. نحسب التكامل:
   ∫ (2x² + 1) dx = (2·x³/3) + x = (2/3)x³ + x.
4. نطبّق الحدود:
   S = [(2/3)(1)³ + 1] – [(2/3)(‑2)³ + (‑2)]
   = [(2/3) + 1] – [(2/3)(‑8) – 2]
   = (5/3) – (‑16/3 ‑ 2)
   = (5/3) + 16/3 + 2
   = 21/3 + 2 = 7 + 2 = 9.
   النتيجة: مساحة المنطقة = 9 وحدات مربعة.

مثال 2 – متوسط

المسألة: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين القطع المكافئ y = x² + x ‑ 6، محور السينات، والخطين x = ‑2 و x = 1.

الحل:

1. نحتاج أولاً إلى نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات (f(x)=0):
   x² + x ‑ 6 = 0 → (x + 3)(x ‑ 2) = 0 → x = ‑3 أو x = 2.
2. على الفترة [‑2, 1] تكون قيمة f(x) سلبية (لأن الجذرين خارج الفترة). لذا الدالة تحت المحور.
3. نكتب المساحة مع إشارة سالبة:
   S = –∫₋₂¹ (x² + x ‑ 6) dx.
4. نحسب التكامل:
   ∫ (x² + x ‑ 6) dx = (x³/3) + (x²/2) – 6x.
5. نطبّق الحدود:
   قيمة عند x = 1: (1/3) + (1/2) – 6 = 0.333… + 0.5 – 6 = –5.1667.
   قيمة عند x = ‑2: ((‑8)/3) + (4/2) – (‑12) = –2.6667 + 2 + 12 = 11.3333.
   الفرق = (‑5.1667) – 11.3333 = –16.5.
6. نأخذ السالب: S = –(–16.5) = 16.5.
   النتيجة: مساحة المنطقة = 16.5 وحدة مربعة.

مثال 3 – صعب

المسألة: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى y = x² ‑ 2 والخط y = x، بين نقاط التقاطع.

الحل:

1. إيجاد نقاط التقاطع بحل x² ‑ 2 = x → x² ‑ x ‑ 2 = 0 → (x‑2)(x+1) = 0 → x = 2 أو x = ‑1.
2. نرسم المخطط (أو نختبر قيمة وسطية مثل x = 0) لنرى أي منحنى أعلى:
   عند x = 0: y₁ = ‑2 (منحنى x² ‑ 2) ، y₂ = 0 (منحنى y = x). إذًا الخط y = x أعلى.
3. صيغة المساحة:
   S = ∫₋₁² [x ‑ (x² ‑ 2)] dx = ∫₋₁² (‑x² + x + 2) dx.
4. نحسب التكامل:
   ∫ (‑x² + x + 2) dx = (‑x³/3) + (x²/2) + 2x.
5. نطبّق الحدود:
   عند x = 2: (‑8/3) + (4/2) + 4 = (‑8/3) + 2 + 4 = (‑8/3) + 6 = (‑8 + 18)/3 = 10/3.
   عند x = ‑1: (‑(‑1)³/3) + ((‑1)²/2) + 2(‑1) = (1/3) + (1/2) – 2 = 0.333… + 0.5 – 2 = –1.1667.
   الفرق = 10/3 – (‑1.1667) = 10/3 + 1.1667 ≈ 3.333… + 1.1667 = 4.5.
   النتيجة: مساحة المنطقة = 4.5 وحدة مربعة.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان إشارة السالب عندما تكون الدالة تحت محور السينات؛ يؤدي ذلك إلى الحصول على قيمة سالبة للمساحة.
• اختيار حدود التكامل غير صحيحة نتيجة عدم حساب جميع نقاط التقاطع أو الصفر؛ قد يُضمّن جزءاً غير مطلوب أو يُستثنى جزءاً مهمًا.
• عدم التحقق من أي منحنى أعلى في حالة وجود منحنيين؛ قد يُحسب الفرق بالعكس ويعطي نتيجة سالبة.
• استخدام الصيغة S = ∫ f(x) dx مباشرةً دون فحص ما إذا كانت الدالة موجبة على كامل الفترة.
• إهمال تقسيم الفترة عندما يتبدل ترتيب المنحنيين داخل الفترة؛ يجب تقسيم التكامل إلى جزأين كلٌ حسب الترتيب الصحيح.
• الخلط بين المتغيرات (مثلاً كتابة y = x² + 2 بدلاً من y = x² + x ‑ 6)؛ يؤدي إلى حساب غير صحيح.

---

قائمة المراجعة

1. هل رسمت المخطط لتحديد الشكل العام للمنطقة؟
2. هل حددت جميع نقاط الصفر أو التقاطع بدقة؟
3. هل اخترت حدود التكامل a و b وفقاً لتلك النقاط؟
4. هل تأكدت من إشارة الدالة (أعلى أو تحت المحور) على كل جزء من الفترة؟
5. إذا كان هناك أكثر من منحنى، هل حددت أي منهما أعلى؟
6. هل قسمت الفترة إلى أجزاء عندما يتبدل الترتيب بين المنحنيين؟
7. هل استخدمت الصيغة المناسبة (∫ f(x) dx أو –∫ f(x) dx أو ∫ (f‑g) dx)؟
8. هل أجرى حساب التكامل خطوةً بخطوة دون اختصار غير مبرر؟
9. هل عوضت الحدود بصورة صحيحة؟
10. هل تحققت من وحدة النتيجة (وحدات مساحة)؟
11. هل راجعت الإجابة للتأكد من عدم وجود إشارة سالبة غير مقصودة؟
12. هل استخدمت القواعد الخاصة بالمنحنيات المطلقة إذا لزم الأمر؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

S = ∫ₐᵇ f(x) dx               (إذا كان f(x) ≥ 0 على [a,b])
S = –∫ₐᵇ f(x) dx              (إذا كان f(x) ≤ 0 على [a,b])
S = ∫ₐᵇ (f(x) – g(x)) dx      (إذا كان f(x) ≥ g(x) على [a,b])
إيجاد نقاط الصفر: حل f(x)=0
إيجاد نقاط التقاطع: حل f(x)=g(x)
تحقق من الإشارة: ارسم المخطط أو اختبر قيمة وسطية
قسم الفترة إذا تغير الترتيب بين المنحنيين

---

بالتوفيق في امتحاناتك!