ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم التاني أساسيات المتغيرات العشوائية

أهداف التعلم

1. تعريف المتغير العشوائي وتمييزه بين المتغيرات المتقطعة والمستمرة.
2. بناء جدول توزيع الاحتمالات للمتغيرات المتقطعة وتفسير معنى كل عنصر فيه.
3. حساب احتمالات الأحداث على شكل $P(X=a)$ و$P(a\le X\le b)$.
4. تعريف القيمة المتوقعة (المتوسط) للمتغير العشوائي المتقطع وصياغة صيغتها العامة.
5. استعمال خواص الخطية للقيمة المتوقعة لتبسيط حسابات المتغيرات المركبة.
6. حل مسائل تطبيقية تشمل رمي النرد، رمي العملات، سحب الكرات من حقيبة، واختبار ميكرو‑فلوديك.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

---

القوانين والنظريات والقواعد

تعريف المتغير العشوائي وتوزيع الاحتمالات

X : Ω → ℝ
P(X = x_i) = p_i   مع   Σ p_i = 1

شرط التطبيق: يجب أن تكون جميع القيم $x_i$ ممكنة في التجربة وأن تكون احتمالاتها غير سالبة وتجمع إلى 1.
ملاحظة: إذا كان المتغير مستمراً يُستبدل الجدول بدالة كثافة احتمالية.

حساب احتمالات الأحداث

P(X = a) = قيمة الاحتمال المقابلة في جدول التوزيع
P(a ≤ X ≤ b) = Σ_{x_i∈[a,b]} P(X = x_i)

شرط التطبيق: القيم يجب أن تكون من ضمن مجموعة القيم الممكنة للمتغير.

القيمة المتوقعة للمتغير المتقطع

E(X) = Σ x_i·P_i

شرط التطبيق: يجب أن تكون جميع القيم $x_i$ واحتمالاتها $P_i$ معروفة.

خاصية الخطية للقيمة المتوقعة

E(aX) = a·E(X)
E(aX + b) = a·E(X) + b

شرط التطبيق: $a,b$ ثابتان حقيقيان.

متوسط مربع المتغير (E(X²))

E(X²) = Σ x_i²·P_i

شرط التطبيق: يُستعمل لحساب التباين أو لتبسيط تعبيرات تتضمن مربعات المتغير.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل (عدد الرؤوس عند رمي 3 عملات)

المعطى: رمي 3 عملات متطابقة، المتغير $X$ هو عدد الرؤوس.

1. قائمة القيم الممكنة: $X = 0,1,2,3$.
2. احتمالات القيم:
   • $P(X=0)=\frac{1}{8}$ (TTT)
   • $P(X=1)=\frac{3}{8}$ (HTT, THT, TTH)
   • $P(X=2)=\frac{3}{8}$ (HHT, HTH, THH)
   • $P(X=3)=\frac{1}{8}$ (HHH)
3. جدول التوزيع:

4. القيمة المتوقعة:
   $E(X)=0·\frac{1}{8}+1·\frac{3}{8}+2·\frac{3}{8}+3·\frac{1}{8}= \frac{3}{8}+ \frac{6}{8}+ \frac{3}{8}= \frac{12}{8}=1.5$.

النتيجة: متوسط عدد الرؤوس هو 1.5 رأس.

---

مثال 2 – متوسط (مجموع نقطتين عند رمي نردين)

المعطى: رمي نردين معًا، المتغير $X$ هو مجموع الأعداد الظاهرة.

1. قائمة القيم الممكنة: من 2 إلى 12.
2. عدد الحالات لكل مجموع (من جدول الجمع):
   • 2: 1 حالة
   • 3: 2 حالة
   • 4: 3 حالة
   • 5: 4 حالة
   • 6: 5 حالة
   • 7: 6 حالة
   • 8: 5 حالة
   • 9: 4 حالة
   • 10: 3 حالة
   • 11: 2 حالة
   • 12: 1 حالة
3. احتمال كل مجموع: $P(X=k)=\frac{\text{عدد الحالات}}{36}$.
4. احتمال الحدث $5<X<8$:
   $P(6\le X\le7)=P(X=6)+P(X=7)=\frac{5}{36}+\frac{6}{36}= \frac{11}{36}$.

النتيجة: احتمال أن يكون المجموع بين 6 و7 هو $\frac{11}{36}$.

---

مثال 3 – صعب (متوسط الانحراف الأيضي بعد 4 حقن في نظام ميكرو‑فلوديكي)

المعطى: لكل حقن مستقل:

• زيادة (+1) باحتمال 0.5
• انخفاض (‑2) باحتمال 0.5

المتغير $X$ هو صافي الانحراف بعد 4 حقن.

1. قائمة القيم الممكنة: كل حقن يضيف إما +1 أو ‑2؛ بعد 4 حقن القيم الممكنة هي $-8,-5,-2,1,4$. (تحقق من الجمع: عدد الزيادات $k$ من 0 إلى 4؛ الصافي = $k·(+1)+(4‑k)·(‑2)=k‑8+2k = 3k‑8$ → قيم $k=0,1,2,3,4$ تعطي $-8,-5,-2,1,4$).
2. احتمال كل قيمة: يستخدم توزيع ثنائي الحدين مع $p=0.5$.
   • $P(k\text{ زيادات}) = \binom{4}{k}(0.5)^k(0.5)^{4‑k}= \binom{4}{k}/16$.
   • إذن:
     • $X=-8$ (k=0): $P=1/16$
     • $X=-5$ (k=1): $P=4/16$
     • $X=-2$ (k=2): $P=6/16$
     • $X=1$ (k=3): $P=4/16$
     • $X=4$ (k=4): $P=1/16$
3. جدول التوزيع:

4. القيمة المتوقعة:
   $E(X)=(-8)·\frac{1}{16}+(-5)·\frac{4}{16}+(-2)·\frac{6}{16}+1·\frac{4}{16}+4·\frac{1}{16}$
   = $\frac{-8-20-12+4+4}{16}= \frac{-32}{16}= -2$.

النتيجة: متوسط الصافي بعد 4 حقن هو $-2$ وحدة.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان شرط جمع الاحتمالات إلى 1: عند بناء جدول التوزيع يجب التأكد من أن مجموع جميع القيم $P_i$ يساوي 1؛ وإلا تكون النتائج غير صحيحة.
• خلط المتغير المتقطع بالمستمر: لا يجوز استخدام جدول توزيع للمتغيرات المستمرة؛ يجب استعمال دالة كثافة واحتمال الفواصل الصغيرة.
• حساب القيمة المتوقعة بدون ضرب الاحتمال: يجب ضرب كل قيمة في احتمالها، لا جمع القيم فقط.
• استخدام خاصية الخطية على متغير غير ثابت: الخاصية تنطبق فقط عندما يكون الثابت $a$ أو $b$ عددًا حقيقيًا ثابتًا، ولا يمكن استبداله بمتغير عشوائي آخر.
• إهمال التماثل في تجارب النرد أو العملات: في مثال مجموع النردين، عدد الحالات لكل مجموع لا يتساوى؛ لذا لا يمكن افتراض أن كل مجموع له نفس الاحتمال.

---

قائمة المراجعة (أكثر من 12 نقطة)

1. هل عرفت تعريف المتغير العشوائي؟
2. هل حددت ما إذا كان المتغير متقطعًا أم مستمرًا؟
3. هل كتبت جميع القيم الممكنة للمتغير في جدول؟
4. هل تحقق من أن مجموع الاحتمالات يساوي 1؟
5. هل استخدمت الصيغة $P(X=a)$ للعثور على احتمال قيمة معينة؟
6. هل حسبت $P(a\le X\le b)$ بجمع الاحتمالات داخل النطاق؟
7. هل كتبت صيغة القيمة المتوقعة $E(X)=\sum x_i·P_i$؟
8. هل طبقت خاصية الخطية عندما كان المتغير مضروبًا في ثابت أو مضافًا إلى ثابت؟
9. هل حسبت $E(X^2)$ عندما طُلب ذلك (مثال التباين أو المتغير المربع)؟
10. هل استخدمت توزيع ثنائي الحدين في مسائل الحقن أو سحب الكرات المتساوية الاحتمال؟
11. هل راجعت جدول القيم واحتمالاته قبل إجراء أي حسابات؟
12. هل تحققت من صحة الأعداد في الجداول (مثلاً عدد حالات مجموع النرد)؟
13. هل قمت بكتابة النتيجة النهائية بصورة مبسطة (ككسر مبسط أو عدد عشري إذا لزم)؟
14. هل راعيت أن جميع القيم المستخدمة في الصيغ هي أعداد حقيقية (ليس رموزًا غير معرفة)؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

X : Ω → ℝ                     // تعريف المتغير العشوائي
Σ P_i = 1                     // مجموع الاحتمالات يساوي 1
P(X = a) = قيمة الاحتمال في الجدول
P(a ≤ X ≤ b) = Σ_{x_i∈[a,b]} P_i
E(X) = Σ x_i·P_i
E(aX) = a·E(X)
E(aX + b) = a·E(X) + b
E(X²) = Σ x_i²·P_i

---

بالتوفيق في امتحاناتك!