ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم التاني تطبيقات التفاضل: كثيرات الحدود

أهداف التعلم

1. تحديد نقاط القيم العظمى والصغرى المحلية للدوال متعددة الحدود من الدرجة الثالثة والرابعة باستخدام اختبار المشتقة الأولى.
2. رسم مخطط إشارة المشتقة لتحديد فترات الزيادة والنقصان للدالة.
3. حساب القيم العظمى والصغرى المطلقة على مجال مغلق باستخدام مقارنة القيم عند النقاط الحرجة ونهايات المجال.
4. استخدام المعلومات المتطرفة (القيم العظمى/الصغرى) لاستنتاج معادلة الدالة وتحديد الثوابت المجهولة.
5. تحليل تطبيقات هندسية (مثل تصميم الأفعوانيات، صواريخ، توربينات مائية، وغواصات) عبر نماذج كثيرات الحدود.
6. تطبيق اختبار المشتقة الأولى على مسائل واقعية لتحديد أقصى كفاءة أو أدنى غوص.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• المشتقة الأولى $y' = \frac{dy}{dx}$ هي معدل تغير الدالة $y = f(x)$ بالنسبة إلى المتغيّر $x$.
• إشارة المشتقة:
  • إذا كان $y' > 0$ على فترة ما، فإن $f(x)$ تزداد على تلك الفترة.
  • إذا كان $y' < 0$ على فترة ما، فإن $f(x)$ تنقص على تلك الفترة.
• النقطة الحرجة: قيمة $x = a$ تحقق $y'(a) = 0$ أو لا تكون المشتقة معرفة.
• القيمة العظمى المحلية: إذا تغيرت إشارة $y'$ من موجبة إلى سالبة حول $x = a$، فإن $f(a)$ تُسمى قيمة عظمى محلية.
• القيمة الصغرى المحلية: إذا تغيرت إشارة $y'$ من سالبة إلى موجبة حول $x = b$، فإن $f(b)$ تُسمى قيمة صغرى محلية.
• القيم المتطرفة: مجموعة القيم العظمى والصغرى المحلية تُسمى القيم المتطرفة.
• الجدول الإشاري (Sign Table): جدول يُظهر إشارة المشتقة على فترات مختلفة من $x$ لتحديد مناطق الزيادة والنقصان وتحديد القيم المتطرفة.
• القيمة العظمى المطلقة: أكبر قيمة للدالة على المجال المحدد، تُقارن بين القيم عند النقاط الحرجة ونهايات المجال.
• القيمة الصغرى المطلقة: أصغر قيمة للدالة على المجال المحدد، تُقارن بنفس الطريقة.

---

القوانين والنظريات والقواعد

قاعدة اختبار المشتقة الأولى

إذا كان y' يغيّر إشارته من + إلى – عند x = a → قيمة عظمى محلية عند a
إذا كان y' يغيّر إشارته من – إلى + عند x = b → قيمة صغرى محلية عند b

شرط التطبيق: يجب أن تكون المشتقة موجودة ومستمرة في جوار النقطة.
ملاحظة: إذا لم يتغيّر إشارة y' (مثلاً يبقى سالباً أو موجباً) فإن النقطة ليست قيمة متطرفة.

قاعدة رسم مخطط إشارة المشتقة

1- احسب y' = f'(x)
2- احل المعادلة y' = 0 لإيجاد النقاط الحرجة
3- ضع النقاط الحرجة على خط الأعداد
4- اختر قيم اختبار (test points) بين النقاط الحرجة لتحديد إشارة y'
5- دوّن الإشارة في جدول إشارة
6- استنتج مناطق الزيادة/النقصان والقيم المتطرفة

شرط التطبيق: الدالة يجب أن تكون متعددة حدود أو دالة قابلة للتفاضل على المجال.

قاعدة حساب القيم العظمى/الصغرى المطلقة على مجال مغلق

قيمة العظمى المطلقة = max { f(x_i) | x_i نقاط حرجة أو نهايات المجال }
قيمة الصغرى المطلقة = min { f(x_i) | x_i نقاط حرجة أو نهايات المجال }

شرط التطبيق: المجال يجب أن يكون مغلقًا ومحدودًا (مثلاً a ≤ x ≤ b).

قاعدة استنتاج معادلة من القيم المتطرفة

إذا كان f(a) = M و f'(a) = 0 → يعطينا معادلتين:
   1) f(a) = M
   2) f'(a) = 0
نستعملهما لحل الثوابت المجهولة في صيغة الدالة.

شرط التطبيق: الدالة يجب أن تكون من الشكل المعروف (مثلاً -x³ + ax + b).

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: إيجاد القيم المتطرفة للدالة $y = x³ - 6x² + 16$ ورسم مخطط إشارة المشتقة.

1. حساب المشتقة:
   $y' = 3x² - 12x$.
2. إيجاد النقاط الحرجة:
   $3x² - 12x = 0 \Rightarrow 3x(x - 4) = 0$ → $x = 0$ أو $x = 4$.
3. اختيار قيم اختبار:
   • للمنطقة $x < 0$ نختار $x = -1$: $y' = 3(1) + 12 = 15 > 0$ → إشارة +.
   • بين $0$ و$4$ نختار $x = 2$: $y' = 12 - 24 = -12 < 0$ → إشارة -.
   • للمنطقة $x > 4$ نختار $x = 5$: $y' = 75 - 60 = 15 > 0$ → إشارة +.
4. جدول الإشارة:

5. تحديد القيم المتطرفة:
   • عند $x = 0$ تغير الإشارة من + إلى – → قيمة عظمى محلية.
     $y(0) = 0 - 0 + 16 = 16$.
   • عند $x = 4$ تغير الإشارة من – إلى + → قيمة صغرى محلية.
     $y(4) = 64 - 96 + 16 = -16$.

النتيجة: قيمة عظمى محلية $16$ عند $x = 0$، قيمة صغرى محلية $-16$ عند $x = 4$.

---

مثال 2 – متوسط

المطلوب: إيجاد القيم المتطرفة للدالة $y = x³ - 3x$.

1. المشتقة: $y' = 3x² - 3 = 3(x² - 1)$.
2. النقاط الحرجة: $3(x² - 1) = 0 \Rightarrow x = \pm 1$.
3. اختبار الإشارة:
   • $x < -1$ (مثلاً $-2$): $y' = 12 - 3 = 9 > 0$.
   • $-1 < x < 1$ (مثلاً $0$): $y' = -3 < 0$.
   • $x > 1$ (مثلاً $2$): $y' = 12 - 3 = 9 > 0$.
4. جدول الإشارة يوضح أن الإشارة تتغير من + إلى – عند $x = -1$ ومن – إلى + عند $x = 1$.
5. القيم المتطرفة:
   • عند $x = -1$: $y(-1) = -1 + 3 = 2$ → قيمة عظمى محلية.
   • عند $x = 1$: $y(1) = 1 - 3 = -2$ → قيمة صغرى محلية.

النتيجة: عظمى محلية $2$ عند $-1$، صغرى محلية $-2$ عند $1$.

---

مثال 3 – صعب (تطبيق هندسي)

المطلوب: في نموذج توربين مائي، يُعطى الناتج الفعّال للطاقة بالدالة
$P(x) = a x³ - 6x² + 16$ حيث $a > 0$ يمثل زاوية شفرات التوربين.
حدد قيمة $x$ التي تعطي أقصى كفاءة (قيمة عظمى مطلقة) وأدنى كفاءة (قيمة صغرى مطلقة) على المجال المسموح $0 \le x \le 5$.

1. المشتقة: $P'(x) = 3a x² - 12x$.
2. حل $P'(x) = 0$:
   $3a x² - 12x = 0 \Rightarrow 3x(a x - 4) = 0$ → $x = 0$ أو $x = \frac{4}{a}$.
3. فحص ما إذا كان $\frac{4}{a}$ يقع داخل المجال $[0,5]$. بما أن $a > 0$ فإن $\frac{4}{a} \le 5$ عندما $a \ge \frac{4}{5}$. نفترض ذلك.
4. اختبار الإشارة:
   • للمنطقة $0 < x < \frac{4}{a}$ نختار قيمة صغيرة؛ إذا كان $a$ موجبًا، فإن $P'$ سالب → انخفاض.
   • للمنطقة $x > \frac{4}{a}$ يصبح $P'$ موجب → ارتفاع.
5. بناءً على تغير الإشارة من – إلى + عند $x = \frac{4}{a}$ نحصل على قيمة صغرى محلية.
6. القيم عند نهايات المجال:
   • $P(0) = 16$.
   • $P(5) = a·125 - 150 + 16 = 125a - 134$.
7. مقارنة القيم:
   • إذا كان $125a - 134 > 16$ (أي $a > \frac{150}{125}=1.2$) فإن الحد الأعلى هو عند $x = 5$.
   • وإلا فإن الحد الأعلى هو عند $x = 0$ (القيمة 16).
8. النتيجة العام:
   • أقصى كفاءة:
     • إذا $a > 1.2$ → عند $x = 5$ وتساوي $125a - 134$.
     • إذا $a \le 1.2$ → عند $x = 0$ وتساوي $16$.
   • أدنى كفاءة: عند $x = \frac{4}{a}$ وتساوي
     $P!\left(\frac{4}{a}\right) = a!\left(\frac{64}{a³}\right) - 6!\left(\frac{16}{a²}\right) + 16 = \frac{64}{a²} - \frac{96}{a²} + 16 = 16 - \frac{32}{a²}$.

هذا المثال يوضح كيف يُستَخدم اختبار المشتقة الأولى لتحديد القيم العظمى والصغرى في سياق هندسي واقعي.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• إهمال اختبار الإشارة: الاعتماد فقط على المشتقة الصفرية دون فحص تغير الإشارة قد يؤدي إلى تصنيف نقطة غير متطرفة كقيمة عظمى/صغرى.
• الخلط بين القيم المتطرفة والقيم المطلقة: القيم المتطرفة هي القيم العظمى/الصغرى المحلية فقط؛ القيم المطلقة تتطلب مقارنة مع نهايات المجال.
• نسيان نقاط النهاية عند حساب القيم المطلقة؛ قد تكون القيمة العظمى أو الصغرى المطلقة عند أحد الطرفين.
• استخدام المشتقة الثانية دون الحاجة: في هذا الفصل يُعتمد على اختبار المشتقة الأولى فقط؛ المشتقة الثانية تُستَخدم في فصول لاحقة.
• خطأ في حل المعادلة $y' = 0$: إهمال العامل المشترك أو إهمال الجذر المكرر قد يؤدي إلى فقد نقاط حرجة مهمة.

---

قائمة المراجعة (Checklist)

1. احسب المشتقة الأولى بدقة.
2. حل المعادلة $y' = 0$ للحصول على جميع النقاط الحرجة.
3. تحقق من وجود المشتقة في جوار كل نقطة حرجة.
4. اختر قيم اختبار بين النقاط الحرجة لتحديد إشارة المشتقة.
5. أنشئ جدول إشارة واضح يوضح مناطق الزيادة والنقصان.
6. حدد ما إذا كان تغير الإشارة يخلق قيمة عظمى أو صغرى محلية.
7. احسب قيمة الدالة عند كل نقطة حرجة.
8. إذا كان المجال مغلقًا، احسب قيمة الدالة عند نهايات المجال.
9. قارن القيم لتحديد القيم العظمى والصغرى المطلقة.
10. في مسائل استنتاج الدالة من القيم المتطرفة، استخدم المعادلتين $f(a)=M$ و$f'(a)=0$.
11. تحقق من صحة الثوابت المستنتجة بإعادة حساب القيم المتطرفة.
12. راجع الرسم البياني النهائي للتأكد من توافقه مع جدول الإشارة.

---

جميع القوانين دفعة واحدة

y' = dy/dx
إذا y' > 0 → y تزداد
إذا y' < 0 → y تنقص
نقطة حرجة: y'(x) = 0 أو غير معرفة
قيمة عظمى محلية: تغير y' من + إلى –
قيمة صغرى محلية: تغير y' من – إلى +
قيمة عظمى مطلقة = max{ f(x_i) | x_i نقاط حرجة أو نهايات المجال }
قيمة صغرى مطلقة = min{ f(x_i) | x_i نقاط حرجة أو نهايات المجال }
استنتاج معادلة من القيم المتطرفة:
   f(a) = M
   f'(a) = 0

بالتوفيق في امتحاناتك!