ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم التاني التفاضل: الطرق والتطبيقات

أهداف التعلم

1. استيعاب قاعدة القوة في التفاضل وتطبيقها على حدود متعددة الحدود.
2. معرفة كيفية التفريق بالنسبة لمتغير غير المتغير الأساسي (مثال: التفريق بالنسبة للزمن t).
3. تطبيق قاعدة التفاضل على الحدود الثابتة وإدراك أن مشتقة الثابت تساوي صفر.
4. استخراج المشتقة عند نقطة معينة باستخدام التعويض x = a للحصول على المشتقة العددية f'(a).
5. بناء معادلة الخط المماس للمنحنى عند نقطة معينة باستخدام صيغة المماس y‑y₁ = m(x‑x₁) حيث m = f'(a).
6. استنتاج الدالة الأصلية من المشتقة أو من مجموعة من الشروط (قيمة الدالة ومشتقتها عند نقاط محددة).
7. حل معادلات متعددة الحدود من الدرجة الثانية لتحديد معاملات a, b, c باستخدام نظام معادلات.
8. تحليل خصائص هندسية للمنحنى عبر المماس (تقاطع المماس مع المحاور، مساحة المثلث المتكوّن).
9. التمييز بين التفاضل بالنسبة للمتغير x والمتغيرات الأخرى وتطبيق قاعدة الثابت.
10. تنمية القدرة على حل مسائل تطبيقية في الفيزياء والهندسة تتطلب حساب معدلات التغير السريعة.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• المشتقة: تمثل معدل تغير الدالة y = f(x) عند نقطة معينة، وتكتب f'(x) أو dy/dx.
• الحد الثابت: أي عدد لا يتغير مع المتغير المستقل؛ مشتقته تساوي صفرًا.
• قانون القوة: إذا كانت f(x) = xⁿ حيث n عدد صحيح، فإن f'(x) = n·xⁿ⁻¹.
• التفريق بالنسبة لمتغير غير x: يُعامل المتغير غير المستقل كثابت، وتُطبق قاعدة القوة على المتغير المتفاضل فقط.
• المشتقة العددية عند نقطة: f'(a) تُحصل عليها بتعويض x = a في صيغة المشتقة العامة.
• معادلة الخط المماس: إذا كان (a, f(a)) نقطة تماس، فإن معادلة المماس هي
  y - f(a) = f'(a)·(x - a).
• دالة رباعية (درجة ثانية): f(x) = ax² + bx + c؛ مشتقتها f'(x) = 2ax + b.
• شروط تحديد دالة: مجموعة من القيم (مثل f(1)=2, f'(2)=5 …) تُستعمل لتحديد معاملات a, b, c عبر حل نظام معادلات.

---

القوانين والنظريات والقواعد

قاعدة القوة

(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹

شرط التطبيق: n عدد صحيح (موجب أو سالب) أو كسر بسيط.
ملاحظة: إذا كان n = 0 فإن x⁰ = 1 ومشتقته صفر.

مشتقة الثابت

(c)' = 0   (حيث c ثابت)

شرط التطبيق: المتغير لا يظهر في الحد.
ملاحظة: لا يهم قيمة الثابت، المشتقة دائمًا صفر.

التفريق بالنسبة لمتغير آخر

d/dt (k·t^m) = k·m·t^(m‑1)   (k ثابت بالنسبة للـ t)

شرط التطبيق: المتغير المتفاضل هو t، وجميع المتغيرات الأخرى تُعامل كثوابت.
ملاحظة: إذا كان المتغير المتفاضل غير موجود في الحد، فإن المشتقة صفر.

المشتقة العددية عند نقطة

f'(a) = (قيمة المشتقة العامة) عند x = a

شرط التطبيق: يجب أن تكون المشتقة معرفة صراحةً.
ملاحظة: تُستعمل لتحديد ميل المماس أو لحساب قيمة عددية.

معادلة الخط المماس

y - f(a) = f'(a)·(x - a)

شرط التطبيق: النقطة (a, f(a)) يجب أن تكون على المنحنى.
ملاحظة: إذا كان f'(a) = 0 فإن المماس يكون أفقياً.

تحديد دالة من مشتقتها وشروط نقطية

1. افترض الشكل العام للدالة (مثلاً ax² + bx + c).
2. احسب المشتقة العامة (2ax + b).
3. عوّض القيم المعطاة (مثل f(1)=2, f'(2)=5) لتكوين معادلات.
4. حل نظام المعادلات لإيجاد a, b, c.

شرط التطبيق: عدد الشروط يجب أن يساوي عدد المعاملات غير المعروفة.
ملاحظة: قد تظهر حلول متعددة إذا كان النظام غير محدد.

حساب مساحة المثلث المتكوّن من تقاطع المماس مع المحاور

1. احصل على معادلة المماس.
2. احسب تقاطعه مع محور x (ضع y = 0) ومع محور y (ضع x = 0).
3. استخدم صيغة مساحة المثلث القائم:
   المساحة = (|x₀|·|y₀|)/2 حيث (x₀,0) و (0,y₀) نقطتا التقاطع.

شرط التطبيق: يجب أن يكون المماس غير موازٍ لأي من المحاور.
ملاحظة: إذا كان أحد التقاطعين سالبًا، تُؤخذ القيمة المطلقة في حساب المساحة.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: احسب مشتقة الدالة f(x) = 5x³ – 2x + 7.

الحل:

1. نطبق قاعدة القوة على كل حد:
   • (5x³)' = 5·3·x² = 15x²
   • (-2x)' = -2·1·x⁰ = -2
   • (7)' = 0
2. نجمع النتائج:
   f'(x) = 15x² – 2.

النتيجة: المشتقة هي 15x² – 2.

---

مثال 2 – متوسط

المطلوب: أوجد معادلة المماس للمنحنى y = x³ – 4x + 1 عند النقطة (3, –2).

الحل:

1. احسب المشتقة العامة:
   y' = 3x² – 4.
2. عوّض x = 3 للحصول على الميل:
   f'(3) = 3·9 – 4 = 27 – 4 = 23.
3. استخدم صيغة المماس:
   y – (‑2) = 23·(x – 3).
4. بسط المعادلة:
   y + 2 = 23x – 69 → y = 23x – 71.

النتيجة: معادلة المماس هي y = 23x – 71.

---

مثال 3 – صعب

المطلوب: حدد الدالة التربيعية f(x) = ax² + bx + c التي تحقق الشروط:

• f(0) = 6
• f'(1) = 4
• f(2) = 14

الحل:

1. نكتب المشتقة العامة: f'(x) = 2ax + b.
2. نكوّن المعادلات من الشروط:
   • من f(0) = 6: c = 6.
   • من f'(1) = 4: 2a·1 + b = 4 → 2a + b = 4.
   • من f(2) = 14: a·4 + b·2 + c = 14 → 4a + 2b + 6 = 14 → 4a + 2b = 8.
3. نحل نظام المعادلتين:
   • من 2a + b = 4 نحصل على b = 4 – 2a.
   • نعوّض في 4a + 2b = 8:
     4a + 2(4 – 2a) = 8 → 4a + 8 – 4a = 8 → 8 = 8 (صحيح).
   • إذن لا يوجد قيد إضافي على a؛ نختار a = 1 (أبسط قيمة).
   • عندها b = 4 – 2·1 = 2.
4. نجمع المعاملات: a = 1, b = 2, c = 6.
5. الدالة المطلوبة: f(x) = x² + 2x + 6.

النتيجة: الدالة هي f(x) = x² + 2x + 6 (مع اختيار a = 1؛ أي حل آخر يحقق الشروط إذا كان a قيمة أخرى سيؤدي إلى نفس النتيجة لأن المعادلتين المتبقيتين لا تحددان a بصورة فريدة).

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط المتغيرات: عند التفريق بالنسبة للمتغير t، لا تُعامل x كمتغير متغير؛ يُعامل كثابت.
• نسيان قاعدة الثابت: كثيرًا ما يُنسى أن مشتقة أي ثابت هي صفر، مما يؤدي إلى أخطاء في جمع الحدود.
• إهمال إشارة المشتقة: عند حساب المماس، إذا كان f'(a) = 0 فإن المماس أفقي؛ لا تُضيف حدًا مائل.
• استخدام قاعدة القوة على الأسس غير الصحيحة: يجب أن يكون الأس عددًا حقيقيًا؛ لا تُطبق القاعدة على أسس دوال غير جبرية (مثل sin(x)).
• خطأ في التعويض: عند حساب f'(a)، يجب أولًا حساب المشتقة العامة ثم التعويض، لا التعويض داخل الدالة الأصلية.
• إهمال شرط وجود نقطة: لا يمكن بناء معادلة المماس إذا لم تكن النقطة (a, f(a)) على المنحنى.
• تجاهل القيم السالبة في حساب المساحة: عند حساب مساحة المثلث من تقاطع المماس مع المحاور، تُؤخذ القيم المطلقة للمتغيرات.

---

قائمة المراجعة

1. هل عرفت تعريف المشتقة ورمزها f'(x) أو dy/dx؟
2. هل حفظت قاعدة القوة (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹؟
3. هل تذكر أن مشتقة الثابت صفر؟
4. هل تستطيع التفريق بالنسبة لمتغير غير x مع اعتبار المتغيرات الأخرى ثوابت؟
5. هل تجيد حساب المشتقة العددية f'(a) عبر التعويض؟
6. هل تعرف صيغة معادلة المماس y - f(a) = f'(a)(x - a)؟
7. هل تستطيع استخراج معادلة المماس من دالة معطاة ونقطة معينة؟
8. هل تستطيع بناء نظام معادلات لتحديد معاملات دالة تربيعية من شروط نقطية؟
9. هل تتقن حل نظام معادلات خطية (3 معادلات لثلاثة مجهولات)؟
10. هل تعرف كيفية حساب تقاطع المماس مع محوري x وy؟
11. هل تستطيع حساب مساحة المثلث المتكوّن من تقاطع المماس مع المحاور؟
12. هل تتجنب الأخطاء الشائعة المذكورة أعلاه؟
13. هل تتأكد من أن جميع المتغيرات في الصيغة هي نفسها (مثلاً لا تخلط x مع t)؟
14. هل تتحقق من صحة النتائج عبر التعويض مرة أخرى في الدالة الأصلية؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
(c)' = 0
d/dt (k·t^m) = k·m·t^(m‑1)
f'(a) = (المشتقة العامة) عند x = a
y - f(a) = f'(a)·(x - a)
f(x) = ax² + bx + c   →   f'(x) = 2ax + b
مساحة المثلث = (|x₀|·|y₀|)/2   (من تقاطع المماس مع المحاور)

بالتوفيق في امتحاناتك!