باختصار
«أساسيات التفاضل والتكامل (النهايات والمشتقات)» (الفصل 27) من منهج الرياضيات للصف الثاني الثانوي، الترم التاني. الملخص مقسّم لـ: أهداف التعلم، المفاهيم والتعريفات الرياضية، القوانين والنظريات والقواعد، أمثلة محلولة، أخطاء شائعة وحالات خاصة.
أهداف التعلم
- التمييز بين المفهوم الهندسي والرياضي لمعدل التغير المتوسط وربطه بمفهوم النهاية.
- حساب معدل التغير المتوسط لأي دالة على فترة محددة.
- تعريف النهاية (الحد) واستخدام قواعدها لتقييم النهايات التي تظهر على شكل 0/0 أو ∞/∞.
- استنتاج تعريف المشتقة (المعامل التفاضلي) من معدل التغير المتوسط عندما يقترب الفاصل الزمني إلى صفر.
- كتابة صيغة المشتقة العامة للدالة وتطبيق عملية الاشتقاق باستخدام التعريف.
- توظيف المشتقة لحساب السرعة اللحظية أو معدل التغير الفوري في مسائل تطبيقية (مثل حركة جسم سقوط حر).
المفاهيم والتعريفات الرياضية
| المصطلح | التعريف |
|---|---|
| معدل التغير المتوسط | للتابع y = f(x) عندما يتغير x من a إلى b يُعرّف بـ $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. وهو يمثل ميل الخط المستقيم AB الذي يربط نقطتي الرسم (a,f(a)) و (b,f(b)). |
| النهاية (الحد) | إذا اقترب x إلى قيمة a وكانت قيم f(x) تقترب إلى عدد ثابت L، يكتب ذلك $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L$. يُطلق على L اسم قيمة النهاية عند x→a. |
| المعامل التفاضلي (المشتقة عند نقطة) | للتابع f(x)، إذا كان حد $\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ موجوداً، فإن هذا الحد يُسمّى المعامل التفاضلي أو المشتقة عند x=a ويُرمز له $f'(a)$. |
| المشتقة (دالة مشتقة) | بربط كل قيمة a في مجال f بمشتقتها $f'(a)$ نحصل على دالة جديدة تُسمّى المشتقة وتُكتب $f'(x)$. وتعطى الصيغة العامة $f'(x)=\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$. |
| الاشتقاق | عملية إيجاد $f'(x)$ من $f(x)$ تُسمّى الاشتقاق. |
القوانين والنظريات والقواعد
1. قاعدة معدل التغير المتوسط
معدل التغير المتوسط = (f(b) – f(a)) / (b – a)
شرط التطبيق: يجب أن تكون f معرفة عند النقطتين a و b.
ملاحظة: إذا كان b = a فإن الصيغة غير معرفة وتستدعي الانتقال إلى مفهوم النهاية.
2. قاعدة حساب النهاية بالتعويض المباشر
إذا كان f(x) مستمرًا عند a، فإن lim_{x→a} f(x) = f(a)
شرط التطبيق: وجود الاستمرارية عند a.
ملاحظة: إذا أدى التعويض إلى 0/0 أو ∞/∞ يجب تبسيط الكسر أولاً.
3. قاعدة تبسيط الكسر قبل أخذ النهاية
lim_{h→0} (f(a+h) – f(a)) / h
شرط التطبيق: يجب تبسيط البسط بحيث لا يبقى h في المقام بعد الاختزال.
ملاحظة: عدم تبسيط الكسر يؤدي إلى شكل غير معرف 0/0.
4. تعريف المعامل التفاضلي (المشتقة عند نقطة)
f'(a) = lim_{h→0} (f(a+h) – f(a)) / h
شرط التطبيق: وجود الحد السابق.
ملاحظة: إذا لم يتحقق الشرط فإن المشتقة عند a غير موجودة.
5. تعريف المشتقة العامة (دالة مشتقة)
f'(x) = lim_{h→0} (f(x+h) – f(x)) / h
شرط التطبيق: يجب أن تكون الدالة f معرفة في جوار x.
ملاحظة: النتيجة هي دالة جديدة يمكن استخدامها لحساب معدلات تغير لحظية لأي قيمة x.
6. قاعدة حساب النهاية للمتسلسلات البسيطة
lim_{h→0} (k·h) / h = k (حيث k ثابت)
شرط التطبيق: وجود حد ثابت k في البسط.
ملاحظة: تُستعمل لتبسيط حدود من الشكل k·h.
7. قاعدة النهاية للحدود التي تحتوي على جذور أو أسس
lim_{x→a} (xⁿ – aⁿ) / (x – a) = n·a^{n-1}
شرط التطبيق: n عدد صحيح موجب.
ملاحظة: تُستنتج من قاعدة الفرق بين القوتين وتُستعمل في حساب المشتقة للـ xⁿ.
أمثلة محلولة
مثال 1 – سهل
المطلوب: حساب معدل التغير المتوسط للدالة $f(x)=x^{2}+2x$ عندما يتغير x من -1 إلى 3.
الحل:
$$\text{معدل التغير المتوسط}= \frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)} = \frac{(3^{2}+2·3)-((-1)^{2}+2·(-1))}{4} = \frac{(9+6)-(1-2)}{4} = \frac{15-(-1)}{4} = \frac{16}{4}=4$$
النتيجة: معدل التغير المتوسط هو 4.
مثال 2 – متوسط
المطلوب: حساب النهاية $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{6h+2h}{h}$.
الحل:
$$\frac{6h+2h}{h}= \frac{8h}{h}=8 \quad (\text{بعد إلغاء }h\neq0)$$
وبما أن التعبير لا يحتوي على h بعد الإلغاء، فإن الحد عندما h→0 يساوي 8.
$$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{6h+2h}{h}=8$$
النتيجة: النهاية تساوي 8.
مثال 3 – صعب
المطلوب: إيجاد المشتقة العامة للدالة $f(x)=x^{2}+3x$ باستخدام التعريف.
الحل:
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}+3(x+h)-\bigl(x^{2}+3x\bigr)}{h}$$
نوسّع البسط:
$$(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$$
$$3(x+h)=3x+3h$$
إذن:
$$f(x+h)-f(x)=\bigl[x^{2}+2xh+h^{2}+3x+3h\bigr]-\bigl[x^{2}+3x\bigr] =2xh+h^{2}+3h$$
نقسم على h:
$$\frac{2xh+h^{2}+3h}{h}=2x+h+3$$
الحد عندما h→0:
$$f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h+3)=2x+3$$
النتيجة: المشتقة هي $f'(x)=2x+3$.
أخطاء شائعة وحالات خاصة
- التعويض المباشر دون تبسيط: يؤدي إلى شكل 0/0 غير معرف؛ يجب تبسيط الكسر أولاً (مثال: $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$).
- خلط معدل التغير المتوسط مع المشتقة: المعدل المتوسط يحتاج فاصل زمني غير صفر، بينما المشتقة تحتاج فاصل يقترب من الصفر.
- الافتراض بأن الدالة يجب أن تكون معرفة عند النقطة لتوجد النهاية: يمكن أن توجد النهاية حتى وإن كانت الدالة غير معرفة عند a (مثال: الدالة $f(x)=5$ لكل x≠2، غير معرفة عند 2، لكن $\lim_{x\to2}f(x)=5$ موجود).
- نسيان شرط الاستمرارية عند استعمال قاعدة التعويض المباشر.
- إهمال إشارة h في عمليات الإلغاء؛ يجب التأكد من أن h≠0 أثناء الإلغاء ثم أخذ الحد.
قائمة المراجعة
- هل كتبت صيغة معدل التغير المتوسط بصورة صحيحة؟
- هل تحقق من وجود الدالة عند النقطتين a و b قبل استعمال الصيغة؟
- عند حساب النهاية، هل جربت التعويض المباشر أولاً؟
- إذا ظهر 0/0 أو ∞/∞، هل قمت بتبسيط الكسر أو ضرب المقام بالمرافق؟
- هل استخدمت قاعدة الفرق بين القوتين لحساب مشتقة xⁿ؟
- عند حساب المشتقة بالحد، هل أبقيت على h في البسط حتى تبسيطه؟
- هل ألغيت h بشكل صحيح قبل أخذ الحد h→0؟
- هل تأكدت من أن الدالة مستمرة في جوار النقطة المطلوبة؟
- هل كتبت النتيجة النهائية للمشتقة بصيغة $f'(x)=...$ أو $f'(a)=...$؟
- هل تحققت من أن جميع الحدود التي تُستبدل بـ 0 أو ∞ لا تغير إشارة النتيجة؟
- هل استخدمت الوحدات المناسبة في مسائل التطبيقات (مثل السرعة بالمتر/ثانية)؟
- هل راجعت أن المشتقة هي دالة جديدة يمكن تقييمها عند أي قيمة ضمن مجال f؟
- هل تذكرت أن النهاية قد توجد حتى وإن كانت الدالة غير معرفة عند النقطة؟
جميع القوانين دفعة واحدة
معدل التغير المتوسط = (f(b) – f(a)) / (b – a)
lim_{x→a} f(x) = L (إذا كانت f مستمرة عند a)
f'(a) = lim_{h→0} (f(a+h) – f(a)) / h
f'(x) = lim_{h→0} (f(x+h) – f(x)) / h
lim_{h→0} (k·h) / h = k
lim_{x→a} (xⁿ – aⁿ) / (x – a) = n·a^{n-1}
بالتوفيق في امتحاناتك!
الملخص ده مكتوب بالذكاء الاصطناعي من نص الفصل في الكتاب المدرسي، وآخر تحديث ليه كان 7 أكتوبر 2026. لقيت فيه غلطة؟ ابعتهالنا على واتساب ونصلّحها. إزاي بنكتب الملخصات.